Существует четкая разница между потенциально возможным действием и действием совершенным. Например, может случиться так, что я захочу перешагнуть линию, но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не позволит мне сделать этот шаг.

Мы говорим, что последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, … является бесконечной. Изначально это никто не подвергает сомнению, поскольку для любого числа n мы всегда можем получить следующее число n + 1, сколь бы велико ни было n. Однако одно дело — иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое — совершить его в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. Возможность совершить действие определяет потенциальную бесконечность, а результат такого действия — актуальную бесконечность. Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или, по меньшей мере, не до конца понятны. Возможно, более уместно (но также не совсем удобно) было бы называть потенциальную бесконечность теоретической, а актуальную — истинной бесконечностью.

Никто не может записать все целые числа — это неоспоримый факт. Так же верно, что никто никогда не видел две параллельные прямые, поскольку прямые бесконечны и мы можем видеть лишь их отрезки. Значит ли это, что параллельных прямых не существует? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей известной книге «Начала» пытался рассматривать эту тему, поскольку, упоминая о прямых, он говорил об отрезках, чья длина может быть произвольно большой. Это весьма явная параллель с потенциальной бесконечностью.

Принятие актуальной бесконечности — не просто вопрос выбора, вкуса или предпочтений. Это нетривиальная философская задача. Следует учитывать, что в математике (ив науке вообще) до конца XIX века признавалось существование только потенциальной бесконечности. В философской школе Аристотеля был негласный запрет на использование актуальной бесконечности. «Невозможно чтобы бесконечность существовала в действительности как нечто сущее либо как субстанция и первоначало, — писал он и добавлял: — А что много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного, — [это тоже] очевидно», поскольку бесконечность «существует потенциально […] благодаря прибавлению или делению».

Так, по Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограниченное число раз.

Мы задали перечисленные ниже вопросы о бесконечности обычному человеку, не имеющему специального математического или философского образования. Отвечать требовалось быстро, не раздумывая, в соответствии со «здравым смыслом», который является отражением наших культурных представлений.

* * *

* * *

Вопрос: Что такое бесконечность?

Ответ: Что-то, что никогда не заканчивается.

Вопрос: И что это означает?

Ответ: Что ее части можно пересчитывать бесконечно долго.

Вопрос: Почему счет никогда не закончится?

Ответ: Потому что последнего числа не существует.

Вопрос: Откуда вы знаете?

Ответ: Я не могу это доказать. Я в это верю.

Вопрос: Иными словами, речь идет о вере.

Ответ: Не совсем. Я знаю, что каким бы большим ни было число, я всегда могу прибавить к нему другое число.

Вопрос: Я не согласен с этим. Даже если всю жизнь вы будете заниматься исключительно подсчетами, ваша жизнь конечна, и вы не сможете складывать числа неограниченное время.

Ответ: Это не важно — подсчетами могут заниматься несколько поколений людей.

Вопрос: Но жизнь на Земле также не вечна. Даже время существования самой Солнечной системы четко отмерено.

Ответ: Все равно. Не нужно, чтобы кто-то выполнял эти подсчеты в действительности. Достаточно знать, что это можно сделать. Даже если бы на Земле не было людей, это можно было бы сделать. Если никто не может сделать что-то, это не означает, что это «что-то» не существует.

Вопрос: Таким образом, бесконечность — это нечто, существующее независимо от нас.

Ответ: Разумеется.

В этих вопросах и ответах скрыты основные различия между актуальной и потенциальной бесконечностью. Тот, кому мы задали эти вопросы, очевидно склоняется к точке зрения Аристотеля.

* * *

Бронзовый барельеф итальянского скульптора Этторе Феррари (1848–1929), на котором изображен суд римской инквизиции над Джордано Бруно. Кампо деи Фиори, Рим.