Термин
«квадратура» означает построение квадрата, равного по площади данной
фигуре. Задача о вычислении площадей всегда была одной из самых
популярных задач прикладной математики. Известны сравнительно простые
способы вычисления площадей плоских фигур, ограниченных отрезками
прямых. Теорема Пифагора и геометрия Евклида позволили вычислять площади
треугольников и всевозможных прямоугольников. Более сложные фигуры
можно было разбить на треугольники и прямоугольники. Для этого
требовались немалые знания и умения, однако в большинстве случаев эта
задача имела решение. Задача существенно усложнялась, если некоторые
стороны фигуры были криволинейными — приемы вычисления их площадей не
были известны. Греки производили подобные расчеты, однако им не удалось
избавиться от неудобств, вызванных присутствием актуальной
бесконечности. Почему
как только фигура перестает быть прямолинейной, в расчетах ее площади
начинает фигурировать бесконечность и возникают связанные с этим
проблемы? Причина
в том, что кривая линия представляется как бесконечная
последовательность отрезков прямой, или, что равносильно, прямая
представляется как результат аппроксимации незамкнутыми кривыми, как
показано на рисунке.
По мере спрямления кривых расстояние между ними и прямой уменьшается, особенно в окрестности точки Р. На бесконечности прямая и кривая совпадают. Представим себе прямую, произвольную точку Р на этой прямой и ряд кривых, касающихся прямой в точке Р,
кривизна которых постепенно уменьшается, и они все больше приближаются к
прямой. Очевидно, что сколько бы кривых, касающихся прямой в точке Р,
мы ни рисовали, ни одна из них не будет совпадать с исходной прямой.
Можно представить, что это все-таки произошло, и бесконечные кривые в
итоге совпали с прямой. Потенциально это возможно, но «актуально» (здесь
мы делаем отсылку к актуальной бесконечности) мы не располагаем
каким-либо четким методом для реализации этого. Вновь возникает вопрос о
переходе к бесконечности как к чему-то конкретному и вызванные им
радикальные изменения. Кривые, которые все больше приближаются к прямой,
обладают общим свойством: для всех них можно определить величину,
которая будет числовой характеристикой их кривизны. В
пределе, когда кривые превращаются в прямую, эта величина исчезает
(можно говорить о кривых нулевой кривизны) — в этом и заключается тот
самый радикальный переход, о котором мы говорим. Именно по этой причине
бесконечность ассоциируется с загадкой творения. В какой-то, недоступный
нам, момент времени в определенной точке пространства происходит
преобразование, и одна из кривых превращается в прямую. Мы говорим «одна
из кривых» не в буквальном смысле, поскольку не существует «последней
кривой», так как в этом случае понятие бесконечно малого исчезает и
непрерывный процесс сменяется дискретным переходом от последней кривой к
прямой. Этот акт творения оказал огромное влияние на научную мысль
ввиду сопутствовавших ему философских и религиозных коннотаций и
определил границы запретной темы как в философии, так и в религии.
Возможно, было бы разумнее говорить о мутации, а не о творении, что
ближе к восточной философии, где религиозная мысль теснее связана с
философской. В этом смысле более уместно и, возможно, более точно было
бы говорить, что кривая мутирует в прямую.
