Прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор, работая над определением вещественной прямой, следовал путем, который мы уже описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчета и выбрал единицу измерения. В начальную точку он поместил число 0, справа от него — целые положительные числа, слева — отрицательные. Добавим к ним рациональные числа, то есть дроби: положительные расположим справа, отрицательные — слева. Напомним, что с добавлением рациональных чисел эта прямая приобрела свойство плотности, согласно которому между двумя любыми рациональными числами всегда находится другое рациональное число.

Вы уже знаете, какой масштабный кризис вызвало открытие числа √2 в древнегреческой математике. Суть проблемы заключалась в том, что это число можно было совершенно четко представить с помощью прямоугольного треугольника с катетами единичной длины, но длина гипотенузы этого треугольника, выражаемая иррациональным числом, не входила во множество точек прямой, на которой мы определили единицу измерения катетов. Таким образом, длина гипотенузы имела смысл как величина, но не существовала как число. В этом смысле можно было утверждать, что вещественная прямая содержала бесконечное множество промежутков, пустых точек, которым не соответствовали никакие числа, следовательно, вещественная прямая не была непрерывной.

С введением иррациональных чисел всем точкам этой прямой оказались присвоены числа, рациональные или иррациональные, и промежутки на ней исчезли. Теперь прямая по праву могла называться вещественной.

С другой стороны, утверждение, согласно которому прямая как геометрическая сущность полностью, без промежутков, заполнена числами, оставалось не до конца обоснованным. Размышления на эту тему привели к тому, что Кантор стал больше интересоваться непрерывностью, чем бесконечностью, и определил важнейшее понятие счетности, которое стало первой альтернативой понятию бесконечности.