Бонавентура
Кавальери (1598–1647), иезуит и преподаватель математики в Болонье, был
одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями
площадей и объемов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему,
озаглавленный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых
непрерывного». Название
говорит само за себя: с одной стороны, Кавальери был сторонником
принципа непрерывности, с другой — он был готов считать, что непрерывные
объекты можно разделить на элементарные части — монады, подобные
атомам, которые далее нельзя разделить на более мелкие части. Он
полагал, что прямая состоит из точек, подобно тому, как ожерелье состоит
из бусинок, а объемное тело — из плоскостей, точно так же, как книга —
из страниц. Иными словами, неделимыми для прямой являются точки,
неделимыми для плоскости — прямые, равноудаленные между собой,
неделимыми для твердого тела — множество параллельных плоскостей,
удаленных друг от друга на равное расстояние. Кавальери понимал, что
число этих неделимых должно было быть бесконечным, но деликатно обходил
этот вопрос. Более того, свой метод он назвал методом бесконечных, но
работу озаглавил «Трактат о неделимых». * * * ТЕОРЕМА КАВАЛЬЕРИ Метод,
использованный Кавальери для вычисления объемов, можно наглядно
объяснить так: представьте, что перед вами — две стопки монет или фишек
казино одинаковой высоты. Сдвинем монеты во второй стопке так, что она
перестанет иметь форму цилиндра. Вычислить объем полученной фигуры будет
достаточно сложно. Тем не менее теорема Кавальери гласит, что объем
обеих стопок одинаков. В этом примере каждая монета представляет собой
неделимое. По теореме Кавальери, объем обеих стопок монет одинаков, хотя в одном случае они уложены идеально ровно, в другом — нет. * * * Принцип
Кавальери в современном виде формулируется так: если два тела имеют
одинаковую высоту и площади их плоских сечений, взятых на одной высоте,
равны, то объемы этих тел одинаковы. С
помощью этого метода Кавальери доказал, что объем конуса равен 1/3
объема описанного вокруг него цилиндра. Не стоит и говорить, что его
подход вызвал жестокую критику современников, на которую ученый не мог
возразить, поскольку не мог представить достаточное математическое
обоснование своих рассуждений. В
защиту Кавальери следует сказать, что он не стремился создать строгий
метод, а всего лишь хотел разработать алгоритм, применимый на практике. И
ему это удалось: метод Кавальери с успехом использовали такие
математики, как Ферма, Паскаль и Роберваль. Особенно значительных
результатов достиг последний, вычислив площадь, ограниченную дугой
циклоиды.
| 
