Евдокс (ок. 408–355 гг. до н. э.) наряду с Архимедом (ок. 287–212 гг. до н. э.), Пифагором (570–500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325–265 гг. до н. э.) был одним из важнейших представителей греческой математики. В области концептуальной математики он, вне всяких сомнений, намного превосходил всех остальных.

В те времена греческая математика все еще переживала удар, вызванный открытием иррациональных чисел, несоизмеримых с целыми. Ясного критерия для сравнения величин разной природы не существовало. Евдокс первым дал этому четкое определение (определение 5 книги V «Начал» Евклида): «Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке».

В переводе на более современный язык это означает, что два отношения а/Ь и c/d равны, если для двух любых натуральных чисел k и k' выполняется условие:

если ka < k'b, то kc < k'd;

если ka = k'b, то kc = k'd;

если ka > k'b, to kc > k'd.

Определение кажется тривиальным, но это совершенно не так. Нужно учитывать, что в формулировке Евдокса оно применимо к соотношениям корней чисел и даже к геометрическим фигурам. Например, первые две величины могут обозначать сферы, третья и четвертая — кубы, построенные на диаметрах этих сфер. Более того, в этих правилах можно увидеть первые наброски будущего определения иррационального числа, данного в XIX веке Рихардом Дедекиндом с помощью метода, который он сам называл методом сечений.

* * *

* * *

Еще одним важным открытием Евдокса стала так называемая аксиома о непрерывности, также известная как лемма Архимеда (сам Архимед писал, что автором этой леммы является Евдокс), которая гласит: «Для данных двух величин, между которыми существует соотношение, можно найти одну из них, превосходящую другую». Важность этой леммы заключается в том, что она позволяет доказать путем доведения до абсурда одно из самых важных утверждений в истории математики, благодаря которому Евдокс и многие другие ученые смогли вычислить площади и объемы криволинейных фигур. Утверждение Евдокса звучит так: «Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины».

На этом утверждении также основано первое четкое и непротиворечивое определение предела, данное в XIX веке Карлом Вейерштрассом (1815–1897), которое стало важной вехой в истории математики.

Метод Евдокса для вычисления площадей и объемов, основанный на этом утверждении, известен как метод исчерпывания. Неудивительно, что многие историки считают основание школы Платона моментом рождения греческой математики, так как Евдокс заложил основы нового раздела математики, который много веков спустя стал называться анализом бесконечно малых.

Метод исчерпывания позволял получить верные доказательства, если его предпосылки были верны (так было в большинстве случаев), но обладал определенным недостатком: с его помощью нельзя было получить новые результаты. Напомним, что в этом методе результат считался истинным и рассматривались возможные способы, которыми можно было прийти к этому результату. Например, было известно, что формулы объема конуса и пирамиды, доказанные Евдоксом, были получены математиками прошлого, в частности Демокритом, без каких-либо выводов или доказательств.

В настоящее время нам известен метод интегрирования, позволяющий произести необходимые вычисления по четко определенному алгоритму. Это означает, что необходимые расчеты может произвести машина. В основе этого метода лежит сформулированная древнегреческими математиками идея, тесно связанная с аппроксимацией площади фигуры с помощью прямоугольников, о чем мы говорили выше (в некотором роде метод исчерпывания схож с современным методом суммирования по Риману).

Этот метод заключается в построении ряда прямоугольников, высота которых не превосходит высоту кривой, иными словами, прямоугольников, нижнее основание которых располагается на оси, а верхнее — под искомой кривой.

Сумма площадей всех прямоугольников, построенных по этому методу, будет очевидно меньше, чем площадь искомой фигуры. С увеличением числа прямоугольников их общая площадь будет все ближе к значению площади фигуры, ограниченной кривой. Это же построение можно повторить так, чтобы верхние основания прямоугольников находились над кривой.

* * *

* * *

Так мы гарантируем, что сумма площадей прямоугольников будет больше искомой площади. Теперь мы снова можем увеличить число прямоугольников, и сумма их площадей вновь будет приближаться к искомой, на этот раз сверху. Мы получим две последовательности площадей, приближающихся к искомой площади снизу и сверху соответственно. Так в схематичном и упрощенном виде происходит вычисление площадей. Похожий метод используется и для вычисления объемов.

Результаты сравниваются со значением, которое, как предполагается, должна иметь данная величина (напомним, что метод исчерпывания используется для проверки уже известного результата). С помощью оценок данной величины сверху и снизу мы подтверждаем, что если эти оценки превосходят искомую величину, это приводит к противоречию. Позднее, в XVII веке, этот метод получил название «апагогия», или «доведение до абсурда».

В любом случае в методе неизбежно рассматривается актуальная бесконечность, для чего в современном анализе выполняется переход к пределу. Если бы древние греки применили этот подход при решении этой и других схожих задач, то добились бы потрясающих результатов.