Суббота, 10.04.2021, 14:09
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 4
Гостей: 4
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ

Иррациональные числа
28.05.2015, 00:10
Без чисел 1, 2, 3, …» которые мы обычно используем при счете, во время измерений не обойтись. Если мы возьмем, например, сравнительно ровный кусок дерева и нанесем на него метки, соответствующие каждому числу так, что они будут находиться на равном расстоянии друг от друга, то сможем измерять расстояния. Расстояние между двумя соседними отметками будет единицей измерения.
Допустим, что наша единица измерения задается отрезком ОА, и мы хотим измерить длину доски В. Наложим единичный отрезок на доску и подсчитаем, сколько раз он укладывается на ней. Допустим, что отрезок укладывается на доске ровно пять раз. В этом случае говорят, что длина доски равна 5 единицам. Нам повезло: результат оказался целым числом.
Но могло случиться и так, что длина составила бы 4 с половиной единицы. Ничего страшного — это означает, что нужно всего лишь разделить нашу единицу измерения пополам. На языке математики это записывается дробью вида 1/2. Именно так изготавливаются линейки, и чем больше на них делений, тем выше точность измерений.
Очевидно, что точность измерений в этом случае будет иметь предел по чисто физическим причинам, связанным с шириной отметок и нашей способностью различить их. В школьных линейках расстояние между соседними отметками обычно равняется одному миллиметру, то есть единица измерения (сантиметр) делится на десять частей.
Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые определения элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник АВС, изображенный на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона — гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, и лежит она против прямого угла.
Знаменитая теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, выполняется равенство:
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _25.jpg
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _26.jpg
С его помощью можно найти длину гипотенузы по известным катетам. Например, в треугольнике
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _27.jpg
выполняется равенство
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _28.jpg
Таким образом, длина гипотенузы равна 5.
Теперь предположим, что мы выбрали единицу измерения на прямой с началом отсчета в точке О так, что ОС = 1. Построим отрезок, перпендикулярный этой прямой, проходящий через точку С, такой что длина CD также будет равна 1. Как можно видеть на следующем рисунке, мы получили прямоугольный треугольник OCD с гипотенузой OD.
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _30.jpg
Применив теорему Пифагора, получим


Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _31.jpg
Таким образом,
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _32.jpg откуда OD = √2.
Если мы с помощью циркуля отложим значение OD на прямой, то не сможем присвоить отрезку ОС никакого значения. В этом смысле отрезок ОС является несоизмеримым.
Это означает, что √2 нельзя представить в виде дроби, что приводит нас к строгому определению рационального числа: говорят, что произвольное число N является рациональным, когда его можно представить в виде частного двух целых.
По этому определению, рациональными являются 2/3, 8/5, 2773/12452. Логично, что целые числа также являются рациональными, так как любое целое можно представить в виде частного двух других: например 8 можно представить как 16/2.
В некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида можно встретить доказательство того, что √2 не является рациональным (доказательство, изложенное на языке современной математики, приведено в приложении).
Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, что очень точно характеризует их природу. Однако более серьезная проблема заключается в том, что не только диагонали квадратов, но и соотношения между высотой и стороной равностороннего треугольника или между диагональю и стороной правильного пятиугольника также выражаются иррациональными числами. Иными словами, мы открыли не единственное иррациональное число, а множество иррациональных чисел. С помощью целых чисел нельзя с точностью измерить размеры фигур, имевших наибольшее значение для пифагорейцев. Можно решительно утверждать, что открытие иррациональных чисел привело к беспрецедентному кризису в истории греческой математики. В школах пифагорейцев, куда не допускались непосвященные, одним из самых тщательно охраняемых секретов было существование иррациональных чисел. По легенде, разглашение этого секрета каралось смертью.
Если мы рассмотрим представление рациональных и иррациональных чисел в виде десятичных дробей, то увидим, что между ними имеется существенная разница. Например, число 1/2 в виде десятичной дроби записывается как 0,5, а 1/3 = 0,333333333 … — в записи этого числа бесконечно много десятичных знаков, однако ситуация по-прежнему у нас под контролем, так как все эти знаки равны 3.
Число вида (325/100) = 3,25 имеет всего два десятичных знака.
(95/99) = 0,4545… имеет бесконечно много знаков, но цифры 45 повторяются бесконечное число раз (эта группа цифр называется периодом).
(47113/ 9000) = 5,2347777… представляет собой еще один вид десятичных дробей, в записи которых период появляется после непериодической части.
Квадратный корень из 2 записывается в виде бесконечной десятичной дроби, цифры которой чередуются без всякого порядка, как если бы они выбирались с помощью рулетки. Можем ли мы говорить, что нам действительно известно значение √2? Ответ: нам известно лишь его приближенное значение, хотя точность может быть сколь угодно высокой — не больше и не меньше. При этом слова «точность может быть сколь угодно высокой» подразумевают, что эта бесконечная десятичная дробь полностью находится под нашим контролем.
Британский математик Брук Тейлор (1685–1731) вычислил приближенное значение √2 при помощи последовательности сумм:
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _33.jpg


Члены этой последовательности постепенно сходятся к √2 поочередно слева и справа, что можно видеть в следующей таблице, где представлены значения первых девяти членов.
Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _34.jpg
Таким образом, начав с 1 — оценки √2 слева и 1,5 — оценки справа, мы постепенно приближаемся к истинному значению этого числа. Речь идет о бесконечных последовательностях, которые постепенно приближаются к истинному значению √2, однако утверждать, что √2 — конкретное число, означает признать существование актуальной бесконечности.
Если кто-то, подобно древним грекам и многим другим математикам различных эпох, утверждает, что иррациональных чисел не существует, то можно быть уверенным, что он, пусть и неявно, отрицает существование актуальной бесконечности.
Категория: БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ | Добавил: admin | Теги: Мир Математики, бесконечность в математике, занимательная математика, непрерывность, дидактический материал по математик, популярная математика
Просмотров: 1044 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ

ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"

ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru