На одну квинту выше ноты си находится фа-диез, который должен совпадать с соль-бемоль. Но это не один и тот же звук: разница между фа-диез и соль-бемоль называется пифагорейской коммой. Аналогично, определив частоты фа-диез и ре-бемоль, мы увидим, что они отстоят друг от друга не на одну кварту, а на интервал, который отличается от квинты на одну пифагорейскую комму. Эта квинта, которая немного меньше настоящей, называется волчьей квинтой.

Построив квинтовый круг из 12 квинт, мы получим ноту, которая немного отличается от первоначальной и отстоит от нее на семь октав:

Это «немного» и есть пифагорейская комма. Ее значение (обозначим его ПК) можно вычислить, взяв за основу частоту f и сравнив цепочку из 12 квинт, начиная с f, с цепочкой из семи октав:

Отличие будет чуть больше 1 % октавы или, что равносильно, почти четверть полутона. Это отличие вызвано тем, что дробь, соответствующая квинте, несовместима с дробью, соответствующей октаве, что нетрудно показать. Для этого попробуем найти такие показатели степеней х и у, которые позволят связать эти две дроби:

Из последнего равенства следует, что нужно найти число, которое одновременно было бы степенью двух и трех. Однако, так как 2 и 3 являются простыми числами, это противоречит основной теореме арифметики, согласно которой любое положительное число можно однозначно представить в виде произведения простых множителей. Эту теорему, которую сформулировал Евклид, впервые полностью доказал Карл Фридрих Гаусс. Из нее следует, что квинта и октава пифагорейского строя никогда не совпадут, то есть не существует хроматического строя без пифагорейской коммы, что аналогично.

И человеческий голос, и безладовые инструменты допускают использование так называемого натурального строя, в котором ноты более согласованны, гармоничны. И голос, и струнные инструменты допускают незначительное изменение высоты издаваемого звука (корректировку строя) для наибольшего созвучия. Как вы увидели, пифагорейский строй создается на основе одной главной ноты, из которой получаются остальные ноты путем упорядочивания чистых квинт. Однако это вызывает некоторые математические затруднения: во-первых, несовместимость квинты и октавы ведет к появлению уже упомянутой волчьей квинты, во-вторых, существует несовместимость между квинтами и большими терциями.

В пифагорейском строе соотношение частот для терций получается с помощью цепочки из четырех квинт. Используя смещение на одну или несколько октав, получим, что соотношение частот равно 81:64. Однако существует и другой способ определения терции с помощью простого соотношения 5/4 или, что равносильно, 80:64. Это чистая терция.

Отсюда следует, что в пифагорейском строе, представляемом в виде последовательности квинт, терции не являются чистыми. На белых клавишах пианино расположены три терции: до — ми, фа — ля и соль — си. Можно сказать, что пифагорейский строй состоит из чистых квинт в ущерб чистоте терций.