В последние годы Средневековья особое внимание стало уделяться знаниям и способам их передачи, произошел возврат к древнегреческой культуре и науке, созданной в золотой век человеческой цивилизации. Ученые того времени стремились всеми силами обновить математику. Они говорили о ее «восстановлении» и «реставрации». Их целью, к которой они упорно двигались, было возрождение математики, позднее ставшее первой приметой возрождения науки, которое пришлось на вторую половину XV века. Этот этап стал переходным от ограниченной средневековой математики, обогатившейся с возвратом к древнегреческому наследию и благодаря вкладу арабских ученых, к новой, современной науке, первым представителем которой стал Галилей в XVII веке.

Любопытно, что труды древних греков попали в Европу по суше — благодаря переводу книг арабских ученых, выполненных в Толедской школе переводчиков, и по морю — благодаря торговле морских республик Италии с народами Северной Африки.

Бурный экономический рост Венеции, Амальфи, Пизы и Генуи, вызванный обширной морской торговлей и крестовыми походами, превратил Италию в естественный мост между Северной Африкой и Ближним Востоком с одной стороны и севером Европы с другой. Итальянские торговцы стали посредниками между восточными купцами, поставлявшими ценные товары — шелк, специи и драгоценные камни, — и купцами севера, которые преимущественно торговали шерстью и тканями тонкой работы. Развитие итальянской торговли привело к созданию новых финансовых инструментов, в частности векселей, и к зарождению первых банковских институтов. Отдельные коммерсанты становились главами крупных торговых компаний, и им требовались работники, умеющие читать, писать и способные быстро и точно производить вычисления.

В XV веке Европа восстанавливалась от эпидемии чумы, получившей название «черная смерть», пришедшей из Китая и опустошившей континент в 1348–1350 годах. Эпидемия быстро распространилась по всему миру, уничтожив десять процентов населения Земли. Боккаччо в предисловии к «Декамерону» указывает, что во Флоренции от чумы погибло более ста тысяч человек. Эпидемия имела парадоксальные последствия: условия жизни выживших улучшились, так как заработки выросли, а цены на продовольствие снизились, чего до 1348 года не случалось.

На ход европейской истории оказали влияние три важных события, произошедших в XV веке, имевших особое значение для западной культуры. Этими событиями были (в хронологическом порядке) изобретение книгопечатания примерно в 1447 году, падение Константинополя в 1453 году и открытие Америки Христофором Колумбом в 1492 году.

Trattato d'arismetricha (ок. 1460) Бенедетто да Фиренце, один из важнейших трудов по вычислениям с помощью абака.

В этом же веке произошло слияние искусства и математики, которое выразилось в постановке новых задач и в смене самого образа мысли. Это слияние стало одной из характерных черт Возрождения. Такие художники, как Пьеро делла Франческа и Альбрехт Дюрер, в своих картинах и книгах демонстрировали интерес к математике и впоследствии опубликовали трактаты по этой дисциплине.

Появление книгопечатания подвижными литерами, изобретенного Гутенбергом, произвело революцию в распространении продуктов культуры. С 1447 года, когда в Европе была отпечатана первая книга, и до конца столетия свет увидело более 6000 книг — так называемых инкунабул. Лишь немногие из них были посвящены математике и другим наукам. Большинство немногочисленных книг по математике представляли собой переводы трудов арабских ученых на латынь, так как арабские трактаты по арифметике и алгебре использовались ремесленниками в новых экономических условиях и были проще, чем работы классических греческих авторов. Эти немногие труды, которые сохранялись на протяжении веков усилиями переписчиков, подготовили почву для развития математики в Европе. Лишь в начале XVI века начал расти интерес к переводам классических трактатов по математике и было издано множество подобных работ.

Развитие гуманизма и увлеченность древнегреческой наукой и искусством привели к тому, что центр внимания постепенно сместился от арабской математики к древнегреческой. Геометрия постепенно начала восстанавливать свое основное место в математике. Средневековые и гуманистические представления о науке сосуществовали в течение длительного времени. Результатом этого сосуществования стало развитие алгебры в Италии XVI века.

Школы абака возникли на севере Италии в XIII веке и работали вплоть до XVI столетия. Глядя на их название, возможно, произошедшее от названия первой книги, написанной для подобных школ, «Книги абака» Фибоначчи, можно подумать, что в них изучались способы вычислений с помощью этого устройства для счета. Однако это совершенно не так. В этих школах учили производить вычисления без помощи абака. Тому служили индоарабские цифры и арабские алгоритмы вычислений, а все расчеты производились с помощью пера и бумаги, напоминавших современные. В школах абака также изучалось применение этих вычислений в торговле. Как следствие, в этом контексте слово «абак» понималось как синоним слов «вычисление» и «арифметическое действие». Название «Книги абака» Фибоначчи следует понимать как «Книга вычислений».

* * *

ТИПОГРАФИКА В МАТЕМАТИКЕ

С изобретением книгопечатания подвижными литерами возникла необходимость в новой типографике. Некоторые шрифты, в частности разработанные Клодом Гарамоном (1490–1561), благодаря своей красоте и элегантности сохранились до наших дней.

Создание хорошего шрифта требовало знаний эстетики, пропорций и геометрии. Поэтому неудивительно, что разработкой шрифтов для обозначения математических символов занимались и художники, и математики.

Приведем в качестве примера два варианта написания буквы М, первой буквы слова «математика», созданные в период перехода от кватроченто к чинквеченто. Первый вариант предложил математик Лука Пачоли, второй — художник Альбрехт Дюрер.

Буква «М» Луки Пачоли, созданная в 1509 году.

Буква «М» Альбрехта Дюрера, созданная в 1525 году.

* * *

«Книга абака» послужила основой для множества руководств и учебников по арифметике, написанных в популярном стиле. Это были так называемые трактаты абака, издававшиеся в течение всего XIV века вплоть до начала XVI столетия.

Эти книги предназначались для преподавателей школ абака. Для них была характерна практическая направленность, так как задачи в них объединялись в классы и приводились методы их решения без изучения общих теорий. Они были написаны на тосканском языке, что упрощало чтение. Сохранилось около 300 подобных текстов, как рукописных, так и печатных, написанных в XIV–XVI веках. Некоторые из них за свою обширность могут считаться настоящими справочными руководствами.

Хотя основной задачей школ абака было обучение будущих работников торговли, в них также учились ремесленники, архитекторы, художники, картографы — все, кому требовалось базовое математическое образование. Дети начинали обучение в возрасте восьми лет. В течение некоторого времени они посещали школу, где учились читать и писать. Двумя годами позже они переходили в школу абака. Обучение там также длилось два года. Эти школы иногда назывались botteghe d’abaco — «мастерские абака», что подчеркивало их схожесть с мастерскими ремесленников, где обучались подмастерья. Ученики в некотором роде были похожи на подмастерьев и называли преподавателей «мастер» — точно так же подмастерья называли своих хозяев. Позднее те, кто хотел заниматься торговлей или ремеслами, нанимались в качестве подмастерьев в торговые дома и мастерские.

Изучение учебников, которые использовались в школах абака, показывает, что хорошему мастеру абака требовалось достаточно широкое образование: помимо практической и торговой арифметики он должен был знать теорию арифметики, теорию чисел, алгебру, теоретическую и практическую геометрию.

Занятия, которые вели мастера абака, можно разделить на три уровня. На начальном уровне ученики изучали, как читать и записывать числа в индоарабской системе счисления, способы счета на пальцах, алгоритмы вычислений, действия с дробями, правило пропорции, денежные системы, системы мер и весов, а также некоторые понятия практической геометрии. На этом уровне обучались ремесленники и работники художественных мастерских. На втором уровне изучалась арифметика в торговле и бухгалтерия. Ученики, прошедшие обучение на этом уровне, обладали необходимыми знаниями для работы в крупных торговых компаниях. Третий уровень предназначался для тех, кто увлекался математикой и хотел со временем стать мастером абака. На этом уровне изучалось решение уравнений и некоторых задач из теории чисел. Также рассматривались отдельные сложные задачи из сферы торговли.

Заключительной книгой в цикле трудов абака была Summa de arithmetica geometría proportioni et proportionalita («Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности») Луки Пачоли, первое издание которой было опубликовано в Венеции в 1494 году.

* * *

ЛУКА ПАЧОЛИ И «СУММА АРИФМЕТИКИ»

Монах-францисканец Лука Пачоли был одним из наиболее любопытных представителей итальянского Возрождения и одним из самых известных математиков той эпохи. Он родился в 1445 году в Борго-Сан-Сеполькро — там же, где и Пьеро делла Франческа. Возможно, последний в некотором роде был его учителем математики. Кроме того, Пачоли дружил с Леонардо да Винчи, с которым жил в одном доме несколько лет, и с Леоном Баттистой Альберти, у которого они оба жили в Риме.

Его важнейшей работой является «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности», завершенная в 1494 году и отпечатанная в Венеции под его непосредственным наблюдением. Книга была посвящена герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро.

«Сумма арифметики», написанная на итальянском языке, представляла собой энциклопедию объемом свыше 600 страниц, содержавшую все алгебраические знания прошлых веков. Этот труд стал обязательным к изучению для алгебраистов XVI века, которые с его помощью смогли совершить новые открытия. Все они упоминают Пачоли в своих трудах: Джероламо Кардано (1501–1576) в своей «Практике арифметики» почтительно отзывается о нем, несмотря на то что уделяет целую главу исправлению многочисленных ошибок в работе Пачоли. Рафаэль Бомбелли (1526–1572) в предисловии к своей «Алгебре» утверждает, что после Фибоначчи Пачоли «первым пролил свет на эту науку».

Лука Пачоли умер в родном городе около 1517 года.

Фронтиспис «Суммы арифметики» Луки Пачоли.

* * *

Ниже представлен фрагмент «Суммы арифметики» Пачоли, где он восторженно отзывается о книге «О перспективе в живописи»:

Отрывок «Суммы арифметики» Пачоли, законченной в 1494 году, где он упоминает труд Пьеро делла Франческа.

«Еl su/blime pictore (ali di nostri anchor vivente) maestro Piero de li Franceschi, nostro conterra/neo del borgo San Sepolcro, hane in questi di composto degno Hbro de ditta prospectiva. Nel/qual altamente de la pictura parla, ponendo sempre al suo dir ancora el modo e la figura/del fare. El quale tutto habiamo lecto e discorso, el qual lui feci vulgare, e poi el famoso ora/tore, poeta, e rethorico, greco e latino (suo assiduo consotio, e similmente conterráneo) mae/stro Matteo lo recco alengua latina ornatissimamente de verbo ad verbum, con exquisiti/vocabuli».

(«Благородный художник (живущий в наши дни) мастер Пьеро делла Франческа, наш соотечественник из Борго-Сан-Сеполькро, недавно составил достойную книгу о перспективе, в которой со знанием говорит о живописи, и, по его словам, подтвержденным рисунками, обладает методом ее совершения. Эту книгу, которую он написал простонародным языком, мы прочли и изучили.

Затем знаменитый оратор, поэт и риторик, знаток греческого и латинского (его непременный сотоварищ и соотечественник) мастер Маттео дословно перевел ее на латинский язык элегантнейшим образом с превосходными изречениями».)

Как указано в тексте, книга «О перспективе в живописи» Пьеро делла Франче ска была переведена на латынь его другом, мастером Маттео.