Чтобы найти простейшие решения уравнения Пифагора (5.1.1), перепишем его в виде

x² = z² — y² = (z + y)(z — y). (5.2.1)

Вспоминая, что х — четное, а у и z — оба нечетные, получаем, что все три числа

х, z + y, z — y

четные. Тогда мы можем разделить обе части уравнения (5.2.1) на 4 и получить

(1/2 x)² = 1/2 (z + y) 1/2 (z — y). (5.2.2)

Обозначим

m₁ = 1/2 (z + y), n₁ = 1/2 (z — y); (5.2.3)

тогда уравнение (5.2.2) перепишется как

(1/2 x)² = m₁n₁. (5.2.4)

Числа m₁ и n₁ взаимно простые. Чтобы это увидеть, предположим, что

d = D(m₁, n₁)

есть наибольший общий делитель чисел m₁ и n₁. Тогда, как это следует из § 1 гл. 4, число d должно делить оба числа

m₁ + n₁ = z, m₁ — n₁ = y.

Но единственным общим делителем чисел z и у в простейшей тройке может быть только 1, поэтому

d = D(m₁, n₁) = 1. (5.2.5)

Так как произведение (5.2.4) этих двух взаимно простых чисел является квадратом, то можно использовать результат, изложенный в конце § 2 гл. 4 (стр. 50), согласно которому числа m₁ и n₁ являются квадратами

m₁ = m², n₁ =, D(m, n) = 1. (5.2.6)

Здесь мы можем без нарушения общности считать, что m > 0, n > 0. Теперь подставим m² и n² вместо m₁ и n₁ соответственно в уравнения (5.2.3) и (5.2.4);

получим

m² = 1/2 z + 1/2 y, n² = 1/2 z — 1/2 y, m²n² = 1/4 x²,

т. е.

x = 2mn, y = m² — n², z = m² + n². (5.2.7)

Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х² + у² = z².

Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:

(1) (m, n) = 1,

(2) m > n, (5.2.8)

(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.

Доказательство. Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.

Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z.

Могут ли какие-нибудь два из этих трех чисел иметь общий простой множитель р? Такое простое число р, делящее два из них, должно также делить и третье в силу соотношения х² + у² = z². Если число р делит х, то оно в соответствии с (5.2.7) должно делить 2mn. Число р не может равняться 2, потому что у и z нечетные в соответствии с условием (3) и (5.2.7). Предположим, что р ≠ 2 — нечетное простое число, делящее m. Тогда условие (1) и выражение (5.2.7) показывают, что р не может делить у и z. Такие же рассуждения применимы и для случая, если р делит число n.

Найдя необходимые и достаточные условия (5.2.8) для того, чтобы m и n давали простейший треугольник, можно вычислить все такие треугольники с помощью соотношения (5.2.7). Например, пусть

m = 11, n = 8.

Наши условия выполнены, и мы находим, что

х = 176, у = 57, z = 185.

В табл. 3 приведены все простейшие треугольники х, у, z для нескольких первых значений чисел т и n.

Таблица 3

Система задач 5.2.

1. Продлите таблицу для всех значений m ≤ 10.

2. Могут ли два разных набора значений чисел m и п, удовлетворяющих условию (5.2.8), дать один и тот же треугольник?

3. Найдите все пифагоровы треугольники, у которых длина гипотенузы не превосходит 100.