Вторник, 18.02.2020, 03:53
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ [183]
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ [81]
ЗАДАЧИ НА ВЫРОСТ [141]
НЕСТАНДАРТНЫЕ УРОКИ МАТЕМАТИКИ [26]
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ИГРЫ НА УРОКЕ МАТЕМАТИКИ [37]
ИНФОРМАТИКА В ИГРАХ И ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПЯТИКЛАССНИКОВ [120]
УЧЕБНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ [5]
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ [28]
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ ИНФОРМАТИКИ [81]
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ [25]
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ [10]
МУЛЬТИМЕДИА И ВИРТУАЛЬНЫЕ МИРЫ [20]
ПРЕЗЕНТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ [24]
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [36]
СФЕРЛАНДИЯ [32]
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ПО ИНФОРМАТИКЕ [10]
В МИРЕ ЗАДАЧ [182]
УВЛЕКАТЕЛЬНАЯ ЭКСКУРСИЯ В МИР МАТЕМАТИКИ [30]
МАТЕМАТИКА В 10 КЛАССЕ [34]
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ [155]
МЕТОДИЧЕСКИЕ НАРАБОТКИ [82]
ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА [143]
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКТ К УРОКАМ [27]
МИР МАТЕМАТИКИ [778]
ОНЛАЙН-УЧЕБНИК ИНФОРМАТИКИ. 6 КЛАСС [36]
ПОДГОТОВКА К ГИА [11]
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ. 10 КЛАСС [45]
ПРЕЗЕНТАЦИИ ПО ИНФОРМАТИКЕ [26]
МАТЕМАТИКА В 5 КЛАССЕ [43]
МАТЕМАТИКА. 7 КЛАСС [69]
АЛГЕБРА. 8 КЛАСС [25]
МАТЕМАТИКА. 9 КЛАСС [9]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ/АЛГЕБРА [29]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ/ГЕОМЕТРИЯ [12]
ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ [55]
РАБОЧИЕ МАТЕРИАЛЫ К УРОКАМ ИНФОРМАТИКИ [90]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА И ТАЙНЫ [70]
МАТЕМАТИКА 8 КЛАСС [9]
МАТЕМАТИКА. 6 КЛАСС [78]
ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [12]
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ [0]
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ [47]
ГЕОМЕТРИЯ [0]
ГЕОМЕТРИЯ. 8 КЛАСС [36]
ТЕСТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ [31]
ЗАДАЧНИКИ ПО ИНФОРМАТИКЕ [26]
ЗАДАНИЯ ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ [29]
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ [7]
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ [82]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Несколько задач о треугольниках Пифагора
07.12.2013, 12:02

Мы решили задачу нахождения всех треугольников Пифагора. Здесь, как почти всегда в математике, решение одной задачи приводит к постановке ряда других задач. Часто новые вопросы оказываются значительно более трудными, чем первоначальный.

Одним из естественных вопросов о простейших треугольниках является следующий. Пусть задана одна из сторон простейшего треугольника Пифагора, как найти остальные? Первым рассмотрим случай, когда известна сторона у. В соответствии с (5.2.7)

y = m2n2 = (m + n)(m — п), (5.3.1)

где m и n—числа, удовлетворяющие условиям (5.2.8).

В уравнении (5.3.1) множители (m + n) и (m — n) взаимно простые. Чтобы в этом убедиться, заметим, что эти множители

а = m + n, b = m — n (5.3.2)

оба нечетные, так как одно из чисел m и n нечетное, а другое четное. Если числа а и b имеют общий нечетный простой множитель р, то число р должно было бы делить каждое из чисел

а b = mn + (m — n) = 2m

и

а — b = m + n — (m — n) = 2n,

т. е. р должно было бы делить числа m и n. Но это невозможно, так как D(m, n) = 1.

Предположим теперь, что есть разложение данного нечетного числа у на два множителя

y = a  b, a > b, D(a, b) = 1. (5.3.3)

Из (5.3.2) получаем

m = 1/2 (a + b), n = 1/2 (a — b). (5.3.4)

Эти два числа также взаимно простые, поскольку любой их общий множитель должен был бы делить числа а = m + n и bm — n. Кроме того, числа m и n не могут быть оба нечетными, ибо тогда каждое из чисел а и b делилось бы на 2. Отсюда заключаем, что числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8) и, таким образом, определяют простейший треугольник, одна из сторон которого у = m2n2.

Пример. Пусть y = 15. Для него существуют два разложения на множители, удовлетворяющие условиям (5.3.3), а именно:

у = 15 • 1 = 5 • 3.

Первое из них дает

m = 8, n = 7, x = 112, у = 15, z = 113,

а второе

m = 4, n = 1, x = 8, y = 15, z = 17.

Пусть, далее, задана сторона х. Так как какое-то из чисел m или n делится на 2, то очевидно, что х = 2mn должно делиться на 4. Если разложить число х/2 на два взаимно простых множителя, то больший из них можно взять в качестве числа m, а меньший — n.


Пример. Возьмем х = 24; тогда

1/2 x = 12 • 1 = 4 • 3.

Первое разложение дает

m = 12, n = 4, х = 24, y = 143, z = 145,

а второе

т = 4, n = 3, х = 24, у = 7, z = 25.

Третий и последний случай приводит нас к необходимости коснуться одной важной задачи теории чисел. Если z — гипотенуза простейшего треугольника Пифагора, то в соответствии с (5.2.7) имеем

z = m2 + n2. (5.3.5)

т. е. число z есть сумма квадратов чисел m и n, удовлетворяющих условиям (5.2.8).

Это приводит нас к постановке вопроса, уже решенного П. Ферма: когда целое число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

z = a2 + b2? (5.3.6)

На время забудем все ограничения на числа а и b. Пусть они могут иметь общие множители, а также каждое из них, или даже сразу оба могут обращаться в нуль. Перечислим все целые числа, меньшие десяти, представляемые в виде суммы двух квадратов:

0 = 02 + 02, 1 = 12 + 02, 2 = 12 + 12, 4 = 22 + 02, 5 = 22 + 12, 8 = 22 + 22, 9 = 32 + 02, 10 = 32+12.

Оставшиеся числа 3, 6 и 7 не представляются в виде суммы двух квадратов.

Опишем, как можно выяснить, является ли число суммой двух квадратов. К сожалению, мы не можем привести здесь доказательства ввиду его сложности.

Рассмотрим вначале простые числа. Каждое простое число вида р = 4n + 1 всегда является суммой двух квадратов; например,

5 = 22 + 12, 13 = 32 + 22, 17 = 42+12, 29 = 52 + 22.

Существенно, что такое представление может осуществляться единственным способом.

Остальные нечетные простые числа имеют вид q = 4n + 3, т. е.

q = 3, 7, 11, 19, 23, 31…

Ни одно такое простое число не представляется в виде суммы двух квадратов; более того, вообще ни одно число вида 4n + 3 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если целые числа а и b оба четные, то а2 и b2 оба делятся на 4, отсюда и а2 + b2 делится на 4. Если они оба нечетные, например, а = 2k + 1, b = 2l + 1, то а2 + b2 = 4k2 + 4k + 1 + 4l2 + 4l + 1 = 4 (k2l2k + l) + 2, поэтому а2 + b2 имеет при делении на 4 остаток 2. И наконец, если одно из целых чисел а и b четное, а другое — нечетное, скажем, а = 2k + 1, b = 2l, то а2 + b2 = 4k2 + 4k + 1 + 4l2 и имеет при делении на 4 остаток 1. Итак, мы перебрали все возможности и можем заключить, что сумма двух квадратов никогда не представима в виде 4n + 3.

Чтобы закончить наше исследование для простых чисел, заметим, что 2 = 12 + 12.

Для того чтобы проверить, является ли составное число z суммой двух квадратов, разложим его на простые множители

z = p1α1 p2α2 •… • pkαk. (5.3.7)

Число z оказывается суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда каждое простое число pi вида 4п + 3 входит в разложение в четной степени.

Примеры. Число z = 198 = 2 • З2 • 11 не является суммой двух квадратов, так как 11 имеет вид 4n + 3 и входит в разложение в первой степени.

Число z = 194 = 2 • 97 является суммой двух квадратов, так как ни один из его простых множителей не является числом вида 4n + 3. Действительно, z = 132 +52.

Вернемся к нашей первоначальной задаче нахождения всех чисел z, которые могут быть гипотенузами простейших треугольников Пифагора. Такое число z должно быть представимо в виде z = m2 + n2, где числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8). Необходимым и достаточным условием для этого является следующее: каждый из простых множителей числа z должен иметь вид 4n + 1. Доказательство этого утверждения мы вновь опускаем.

Примеры. z = 41. Это число легко представить в виде суммы двух квадратов искомого вида, z = 52 + 42, так что m = 5, n = 4 и x = 40, у = 9, z = 41 выражают длины сторон соответствующего треугольника.

z = 1105 = 5 • 13 • 17. Существуют четыре представления этого числа в виде суммы двух квадратов:

1105 = ЗЗ2 + 42 = 322 + 92 = 312 + 122 = 242 + 232.

Стороны соответствующих треугольников вычислите самостоятельно.

Целый ряд задач о треугольниках Пифагора может быть решен при помощи наших формул (5.2.7)

х = 2mn, у = m2n2, z = m2 + n2.

Например, можно искать треугольники Пифагора с заданной площадью А. Если такой треугольник является простейшим, то его площадь равна

А = 1/2 ху = mn (m — n) (+ n). (5.3.8)

Здесь три из четырех множителей нечетны. Нетрудно видеть, что они попарно взаимно простые. Поэтому, чтобы найти все возможные значения чисел m и n, можно выделить из числа А два взаимно простых нечетных множителя k и k (k > l), положив

m + n = k, m — n = l,

что дает

m = 1/2 (k + l), n = 1/2 (k — l).

После этого мы проверяем, удовлетворяют ли эти числа условиям (5.3.8).

Рассуждения несколько упрощаются, если заметить, что два множителя в выражении (5.3.8) могут равняться 1 только в единственном случае:

m = 2, n = 1, A = 6.

Действительно, два множителя в (5.3.8) могут быть равны 1, только если

n = m — n = 1,

что и дает указанное выше значение.

Пример. Найдем все треугольники Пифагора с площадью А = 360. Разложение числа А на простые множители таково: A = 23  32 • 5. Число А может быть единственным образом записано в виде произведения четырех взаимно простых множителей: А = 8 • 1 • 5 • 9. Если мы ищем простейший треугольник, то mn = 9. Однако если m = 8, то n = 1 и m — n = 7, но А не делится на 7, а вторая возможность (n = 8, m = 1) исключается условием > n. Поэтому такого треугольника не существует.

Этот результат не исключает возможности существования треугольников с площадью А = 360, не являющихся простейшими. Следующее соображение может быть использовано в общем случае для нахождения треугольников заданной площади, не являющихся простейшими. Если длины всех сторон треугольника имеют общий делитель d, т. е. могут быть записаны как

dx, dy, dz,

то его площадь равна

А = 1/2 dx dy = d2mn (m — n) (m + n).

Таким образом, число d2 является множителем числа А и, если число d есть наибольший общий делитель длин сторон, то число

А0A/d2mn (m — n) (m + n)

должно быть площадью простейшего треугольника.

Применим полученный результат к только что рассмотренному случаю А = 360. У этого числа существуют три множителя, являющиеся квадратами;

d1 = 4, d2 = 9, d3 = 36.

Соответственно находим

A/d1 =90 = 2 • 32 • 5, A/d2 = 40 = 23 • 5, A/d3 = 10 = 2 • 5.

Не существует способов написать число 40 или 10 в виде произведения четырех взаимно простых множителей, а число 90 может быть представлено в таком виде, причем единственным образом, а именно:

90 = 1 • 2 • З2 • 5.

(В числе сомножителей 1 может встречаться не более одного раза, за исключением случая m = 2, n = 1, А = 6.) Так как наибольшим множителем является 9, то мы должны взять mn = 9. Однако, перебирая все возможные значения m = 1, 2, 5, получим соответственно n = 8, 7, 4. Условие m n исключает все случаи, кроме m = 5, n = 4, для которого, однако, mn (m + n) (m — n) ≠ 90. Итак, мы получили, что не существует ни простейшего, ни иного треугольника Пифагора с площадью А = 360.

Можно было бы затронуть еще много других вопросов, но упомянем лишь об одном из них. Периметр треугольника равен

c = x + y + z; (5.3.9)

для простейшего треугольника Пифагора получаем

с = 2mn + (т2n2) + (m2 + n2) = 2n (m + n).

Мы предоставляем читателю самому отыскать метод нахождения всех треугольников Пифагора с заданным периметром. Не пренебрегайте рассмотрением

числовых примеров.

Мы решили задачу построения всех треугольников Пифагора. Это ведет нас к исследованию более общих связанных с ней задач. Естественным обобщением задачи Пифагора является задача Герона, названная по имени древнегреческого математика Герона, жившего в Александрии: найти все треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также выражаются целыми числами. Эта задача отличается от задачи Пифагора тем, что условие наличия прямого угла заменено требованием целочисленности площади. Очевидно, что всякий треугольник Пифагора удовлетворяет условиям задачи Герона.

Для проверки того, является ли данный треугольник треугольником Герона, проще всего применить формулу Герона для площади треугольника,



где с — это периметр треугольника, определенный в (5.3.9). Хотя известно значительное число треугольников Герона, не существует общей формулы, описывающей все эти треугольники. Приведем несколько из них (не прямоугольных):

x = 7 y = 15 z = 20

    9     10     17

   13     14     15

   39     41     50

Мы не можем закончить рассказ о треугольниках Пифагора, не упомянув об одной из самых знаменитых проблем математики, гипотезе П. Ферма:

для n > 2 не существует натуральных чисел x, у, z таких, что

хn + уnzn.

Эта идея пришла к Ферма в то время, когда он изучал перевод с греческого «Арифметики» Диофанта. В этой книге в основном рассматриваются задачи, в решении которых применяются формулы для нахождения треугольников Пифагора. Читая эту книгу, Ферма делал пометки на нолях.

Ферма был взволнован своим «открытием», он верил, что у него есть удивительное доказательство, и сожалел, что не может его записать, так как поля слишком узки. С тех пор эта задача занимает математиков. Для нахождения доказательства изобретались самые искусные методы; этот поиск привел к открытию новых фундаментальных теорий в математике. Используя теоретические разработки и вычисления на ЭВМ, было показано, что теорема Ферма справедлива для многих значений степени n. В настоящее время мы знаем, что этот результат выполняется для всех значений n, удовлетворяющих неравенству 3 ≤ n ≤ 4002.

Попытки самых выдающихся математиков в течение столетий найти общее доказательство оказались тщетными. Поэтому распространилось мнение, что Ферма, несмотря на свой бесспорный талант, стал жертвой самообмана. Как бы ни широки были поля книги, маловероятно, что его доказательство было бы верным.

Конечно, вы имеете право попробовать свои силы в доказательстве этой теоремы, но предупреждаем, что еще ни одна теорема в математике не имела столько неправильных доказательств, как теорема Ферма. Лишь некоторые из них принадлежат хорошим математикам, остальные — дилетантам. Доказательства «последней теоремы Ферма» продолжают появляться в почте известных математиков, занимающихся теорией чисел. Большинство из этих доказательств сопровождается письмами с требованием о немедленном всемирном признании и выплате денежной премии, установленной одним немецким математиком (эта премия давно уже обесценилась в результате инфляции).


Система задач 5.3.

1. Найдите все такие треугольники Пифагора, у которых длина одной из сторон равна: а) 50, б) 22.

2. Используя условие представимости числа в виде суммы двух квадратов, определите, какие из чисел 100, 101…, 110 могут быть представлены в таком виде. Если возможно, найдите все представления. Какое из этих чисел может быть гипотенузой простейшего треугольника Пифагора?

3. Могут ли быть треугольниками Пифагора треугольники с площадями А = 78, A = 120, А = 1000?

4. Найдите все треугольники Пифагора с периметрами с = 88, с = 110.

Категория: ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ | Добавил: admin | Теги: урок, занимательные задачи для школьников, математика в школе, мир чисел, дидактический материал по математик, нестандартные задачи по математике
Просмотров: 1505 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 5.0/1
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru