 Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо
П.Ферма (1601-1665) и Р.Декартом для того, чтобы расширить возможности
евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал
свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное
открытие - осознание всей мощи алгебраических методов - принадлежит
Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения
требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить
количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему:
он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал
алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок,
имевший соответствующую длину.
Собственно аналитическая
геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные
задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество
возможных длин.
Аналитическая геометрия использует алгебраические
уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей.
Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью
единственного алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход
был важным шагом вперед, ибо он не только включил в число допустимых
такие кривые, как конхоида и циссоида, но также существенно расширил
область кривых. В результате в 17-18 вв. множество новых важных кривых,
таких как циклоида и цепная линия, вошли в научный обиход.
По-видимому,
первым математиком, который воспользовался уравнениями для
доказательства свойств конических сечений, был Дж.Валлис. К 1865 он
алгебраическим путем получил все результаты, представленные в V книге
Начал Евклида.
Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями
геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж,
«пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был
медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили
свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с
тех пор быстрыми шагами направились к совершенству».
Математический
анализ. Основатели современной науки - Коперник, Кеплер, Галилей и
Ньютон - подходили к исследованию природы как математики. Исследуя
движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как
функция, или отношение между переменными, например d = kt2,
где d - расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t - число
секунд, которое тело находится в свободном падении. Понятие функции
сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент
времени и ускорения движущегося тела. Математическая трудность этой
проблемы заключалась в том, что в любой момент тело проходит нулевое
расстояние за нулевой промежуток времени. Поэтому определяя значение
скорости в момент времени делением пути на время, мы придем к
математически бессмысленному выражению 0/0.
Задача определения и
вычисления мгновенных скоростей изменения различных величин привлекала
внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу, Ферма, Декарта и
Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в
систематический, универсально применимый формальный метод Ньютоном и
Г.Лейбницем (1646-1716), создателями дифференциального исчисления. По
вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись
горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как
показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический
анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между
математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказался
прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики
продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то
время как математики континентальной Европы, в том числе И.Бернулли
(1667-1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно больших успехов, следуя
алгебраическому, или аналитическому, подходу.
Основой всего
математического анализа является понятие предела. Скорость в момент
времени определяется как предел, к которому стремится средняя скорость
d/t, когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное
исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости
изменения функции f (x) при любом значении х. Эта скорость получила
название производной. Из общности записи f (x) видно, что понятие
производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью
найти скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной
зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической
теории. Одним из основных приложений дифференциального исчисления
являются т.н. задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач -
нахождение касательной к данной кривой.
Оказалось, что с помощью
производной, специально изобретенной для работ с задачами движения,
можно также находить площади и объемы, ограниченные соответственно
кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не обладали должной
общностью и не позволяли получать требуемые количественные результаты.
Усилиями математиков 17 в. были созданы многочисленные частные методы,
позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или иного
вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами на
нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае
дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность
метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления.
Метод
Ньютона - Лейбница начинается с замены кривой, ограничивающей площадь,
которую требуется определить, приближающейся к ней последовательностью
ломаных, аналогично тому, как это делалось в изобретенном греками методе
исчерпывания. Точная площадь равна пределу суммы площадей n
прямоугольников, когда n обращается в бесконечность. Ньютон показал, что
этот предел можно найти, обращая процесс нахождения скорости изменения
функции. Операция, обратная дифференцированию, называется
интегрированием. Утверждение о том, что суммирование можно осуществить,
обращая дифференцирование, называется основной теоремой математического
анализа. Подобно тому, как дифференцирование применимо к гораздо более
широкому классу задач, чем поиск скоростей и ускорений, интегрирование
применимо к любой задаче, связанной с суммированием, например, к
физическим задачам на сложение сил. |
