Поначалу китайская цивилизация развивалась по берегам рек Янцзы (Длинная) и Хуанхэ (Желтая) во времена легендарной династии Ся во втором тысячелетии до нашей эры. Династия Чан правила примерно с 1520 по 1030 год до нашей эры, после чего ее вытеснили захватчики Чжоу, которые к восьмому веку до нашей эры начали постепенно терять власть. Затем, приблизительно с 400 по 200 год до нашей эры, империя превратилась в раздробленную путаницу враждующих государств. Именно к этому периоду, известному как Период Сражающихся царств, относится первый чисто математический текст «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»). То было время Конфуция, одного из многочисленных ученых-перипатетиков, которые вели опасную жизнь советников при небольших правителях. Во времена воссоединения Китая при императоре Цинь Шихуанди произошло как объединение разрозненных оборонительных стен в Великую Китайскую стену, так и беспричинное сжигание книг. При следующей династии Хань (200 до н. э. — 200 н. э.) ученые искали рукописи, избежавшие уничтожения, и нередко восстанавливали тексты по памяти. К этому периоду относятся как важный математический текст «Цзю чжан суань шу» («Правила счета / методы вычислений в девяти разделах» / «Девять глав о математическом искусстве»), так и комментарии к «Канону расчета чжоуского/всеохватного гномона». Следующий значительный текст появился в седьмом веке нашей эры, когда во времена династии Суй (581–618) и династии Тан (618–907) была проведена образовательная реформа, в результате которой математика стала преподаваться в «Школе для сынов государства». Там использовался учебник, носивший название «Суань цзин ши шу» («Десять книг счетного канона» / «Математическое десятикнижие») — компиляция наиболее значительных работ, известных в то время. В него входили «Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона» и «Девять глав». Этот учебник считался важным учебным пособием в течение многих столетий. В седьмом веке был совершен величайший инженерный подвиг — две величайшие реки Китая были соединены Великим каналом. В конце концов люди восстали против тягот, которые принесло им строительство этого канала, и просуществовавшая совсем недолго династия Суй уступила место династии Тан. Столица империи Тан — город Чанань (современный Сиань) — стала интеллектуальным мостом между Китаем и Средней Азией, играя ту же роль, что и другой большой космополитический город, расположенный намного западнее, — Багдад. В период трехсотлетнего правления династии Тан произошло изобретение книгопечатания и пороха. Наша экскурсия заканчивается династией Цзинь, которая просуществовала до 1234 года. Сейчас мы рассмотрим «Девять глав о математическом искусстве».

Интерес китайцев к магическим квадратам, похоже, больше связан с предсказаниями, чем с математикой. Легенда гласит, что император Юй, правивший в третьем тысячелетии до нашей эры, стал обладателем двух важных диаграмм на нефритовых пластинках. Одну он получил от волшебного дракона-лошади, который поднялся из Хуанхэ, а другую император вынул из панциря черепахи, найденной в реке Лохэ — правом притоке Хуанхэ. Первые иллюстрации волшебного креста и квадрата относятся к десятому веку, и вплоть до тринадцатого века никакие магические квадраты размером больше 3 x 3 не обсуждались. К этому времени упоминания о предполагаемых магических свойствах квадратов уже прекратились, а математик Ян Хуэй сконцентрировался на числовых свойствах разнообразных числовых квадратов и кругов. Начиная с девятого века свойства магических квадратов изучали арабские математики, и недавно в Сиане был найден арабский магический квадрат, относящийся к периоду монгольского завоевания Китая (1279–1368).

«Девять глав» — важнейший труд китайской математики. Сейчас почти невозможно вычленить оригинал из массы позднейших комментариев. Комментатор третьего века нашей эры Лю Хуэй заявляет, что в его время работа была в значительной степени переписана, был включен новый материал и выброшены некоторые ненужные разделы. Самая ранняя сохранившаяся версия текста датируется тринадцатым веком, но это только часть книги; наиболее полный текст относится к восемнадцатому столетию. Это очень похоже на нехватку оригинальных греческих текстов, хотя в данном случае промежуток между повторами и оригиналами, которые, как утверждается, он отражает, намного длиннее. «Девять глав» содержат 246 задач. Каждый раздел начинается с заявленной задачи, после чего приводится числовой ответ и метод, позволяющий получить решение. Не приводятся никакие логические объяснения или доказательства. Большая часть книги состоит из практических вычислительных задач, вроде распределения земли, разделения товаров и управления крупномасштабными строительными работами. В данном случае мы рассмотрим методы извлечения квадратных корней и решения уравнений.

Вычисления проводились путем выкладывания счетных палочек на счетной доске. Иногда счетная доска выполнялась в виде специальной сетки, но в некоторых текстах упоминается, что для подсчетов могла использоваться любая поверхность. Главное — правильно выложить палочки во время вычисления, что позволяет возобновлять прерванное вычисление с того места, где оно было прервано, что особенно важно при длительных расчетах. Ответы записывались сразу же после того, как они появлялись на счетной доске. Получающееся изображение числа палочками по своему характеру относится к десятичной системе счисления, но цифры с 1 до 9 строятся при помощи сложения — вертикальные палочки обозначали каждую единицу, а горизонтальная палочка обозначала 5. В некоторых источниках приводятся иллюстрации, на которых направление палочек меняется, но палочка, обозначавшая 5, всегда была перпендикулярна единицам — это, несомненно, визуально облегчало процесс счета и ускоряло вычисления. Использование специального символа для 5 перенесено на абаку, которая, похоже, не стала общепринятым инструментом счета вплоть до шестнадцатого века. Как и вавилоняне, китайцы, по-видимому, не имели особого символа для обозначения ноля. При раскладывании счетных палочек, там, где должен быть ноль, оставляли пустое место, но это, похоже, не фиксировалось при записи ответа, и только из контекста можно было понять, был ли ответ, скажем, 18, 108 или 1800. Есть письменное свидетельство — китайский перевод индийского текста, — что в восьмом веке в качестве ноля использовалась точка. Круглый ноль появился намного позже, в тринадцатом веке, равно как и «квадратный» ноль, легко получающийся при работе со счетными палочками.

Извлечение квадратного и кубического корней начинается с определения порядка величины корня путем осмотра, и затем по очереди вычисляется каждая цифра. В примере из «Девяти глав» вычисляется квадратный корень из 71 824. Легко понять, что значение квадратного корня находится между 200 и 300, и потому ясно, что это число из трех знаков — abc — где а равно 2. Таким образом, задача заключается в том, чтобы вычислить значения b и с. Объяснение процедуры вычисления, согласно Лю Хуэю, исходит из геометрии. Квадрат анализируется специфическим способом. Установив, что корень больше 200, мы удаляем из схемы квадрат 200 х 200, оставляя L-образную форму, называемую «гномоном». Затем мы находим максимальное значение десятков, которое вписывается в гномон. Это число 60, и в результате возникает следующий L-образный гномон. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено требуемое решение. Если ответ — не целое число, процесс или продолжается до получения необходимого количества десятичных значений, или остаток дается в виде дроби. Та же самая техника используется для вычисления кубического корня — куб расчленяется аналогичным образом.

Эта геометрическая техника эквивалентна использованию биномиального разложения, числовые коэффициенты которого могут быть выражены тем, что сейчас известно как треугольник Паскаля. Этот алгебраический метод активно применялся в одиннадцатом столетии и, возможно, еще ранее, позволяя китайцам вычислить корень любой n-й степени, какой им было нужно. И снова неясно, был ли треугольник Паскаля получен из индийских источников или открыт самостоятельно. Каждый шаг извлечения квадратного корня требует решения квадратного уравнения. Аналогично извлечение корней более высокого порядка, например кубического корня, требует решения уравнений более высокого порядка, или полиномиалов. Соответственно подобный метод мог использоваться для того, чтобы решить любой полиномиал без применения геометрической структуры гномонов. Как и в других культурах, одного корня было всегда достаточно, и мы не можем сказать, знали ли китайцы о том, что полиномиал мог иметь несколько решений. Уравнения не записывались в терминах переменной воде «х», они выражались только в терминах числовых коэффициентов, которые выкладывались на вычислительной доске. Похоже, китайцев не интересовало, конечно или бесконечно решение, — алгоритм был одинаково эффективен в обоих случаях, и вычисление заканчивалось в тот момент, когда достигалась требуемая точность.

В «Девять глав» также входят задачи, представляющие собой системы линейных уравнений с более чем одним неизвестным. Лю Хуэй заявляет в своем комментарии, что общий метод трудно объяснить без обращения к конкретному примеру. В этом методе коэффициенты системы уравнений представлены счетными палочками, разложенными в виде матрицы. Затем с числами производятся определенные манипуляции, чтобы устранить некоторые из коэффициентов, оставляя явные числовые решения. Это очень похоже на современный метод, известный как Гауссово исключение (по имени математика Карла Фридриха Гаусса), но китайцы не развили идею до вычисления детерминанта матрицы, так что, возможно, более корректно расценивать конфигурацию счетных палочек не как матрицу, а как таблицу.

Есть также важная работа по неопределенным уравнениям, где существует несколько возможных ответов — иногда бесконечное их множество. В книге представлены два типа задач: первая — задача на остаток, вторая известна как «задача о сотне домашних птиц». Задача о сотне домашних птиц в самом разном виде встречается в самых разных уголках средневекового мира — в европейских, арабских и индийских текстах. В «Десяти канонах» сказано, что петушки стоят 5 цянь, курицы — 3 цянь, а 3 цыпленка — 1 цянь. Если 100 птиц куплены за 100 цянь, сколько каких птиц было куплено? Приводятся три решения. Одно из них — 4 петушка, 18 куриц и 78 цыплят. (Есть решение с отсутствующим элементом, когда можно купить 25 куриц и 75 цыплят, но ни одного петушка.) Эти ответы правильные, но объяснение, похоже, неверное.

При описании задачи на остаток приводится и результат, и общий метод, но снова без объяснения. В этой задаче, согласно описанию в «Девяти главах», приобретается неизвестное число предметов. Если посчитать их по три, остается две штуки, если посчитать их по пять штук, остается три, а если считать их по семь штук, остается два. Цель состоит в том, чтобы найти число купленных предметов. Решение скорее методологическое, чем объяснительное. В целом для решения задачи требуется найти наибольший общий сомножитель для чисел 3, 5 и 7. Странно, но в следующий раз эта же задача упоминается только в тринадцатом веке в работе Цинь Цзюшао.

Цинь Цзюшао родился в городе Аньюэ (ныне в провинции Сычуань). Его отец занимал множество различных административных постов, включая должность заместителя директора Дворцовой библиотеки. Цинь Цзюшао изучал астрономию в столице, Ханьчжоу, но в 1234 году вступил в армию, чтобы противостоять монгольским захватчикам. Это были десять тяжелых лет. В 1244 году он вернулся и стал «придворным чиновником с широкими полномочиями» (это высокий титул) в префектуре Цзянькан (ныне Нанкин), однако в том же году Цинь Цзюшао удалился от службы на три года, чтобы оплакать смерть матери. Вероятно, именно в этот период он составил свой труд «Шу шу цзю чжан» («Девять книг по математике»), структура которого напоминает «Десять канонов», но несколько сложнее.

В «Шу шу цзю чжан» описываются методы решения задач индивидуального сравнения и ряда одновременных сравнений, как в случае задачи на остаток. Сравнения, возможно, лучше известны в форме модульной арифметики (арифметические операции над абсолютными значениями чисел). Решения соответствуют тому, что теперь известно как китайская теорема остатка. Цинь Цзюшао утверждает, что он научился этому методу у составителей календарей, работавших в Императорском Астрономическом бюро в Ханьчжоу, но там использовали правило, не понимая его. Это правило было выведено для того, чтобы решить проблему сопоставления различных циклов вроде лунного месяца, солнечного года и искусственного шестидесятеричного цикла. Фактически даже Гаусс, который вновь открыл метод пять столетий спустя, использовал для примера задачи с календарными циклами. Неясно, где Цинь Цзюшао на самом деле узнал это правило. Подлинное новаторство первоклассного математика заключается в выходе за пределы традиции комментариев. Он применил давнюю китайскую вычислительную традицию для решения реальных проблем.