 Смири гордыню, бессильный разум.
Блез Паскаль
Рассказывая о все возрастающих трудностях, с
которыми приходилось сталкиваться математикам при поисках ответа на
вопрос, что такое математика и что следует принять за основу при ее
построении, мы обнаружили в итоге неприглядную картину. Главное
утешение, которое получали математики от своей работы, — необыкновенная
эффективность математики в приложениях к другим наукам — частично
утратило свою силу, поскольку большинство математиков перестало
заниматься приложениями. Как же воспринимают математики стоящую перед
ними дилемму — вновь обратиться к приложениям или продолжить занятие
чистой математикой — и что они могут ожидать от будущего? В чем сущность
математики?
Попытаемся сначала проанализировать, как
математика дошла до ее нынешнего бедственного положения и к чему это
привело. Математики Древнего Египта и Вавилона, заложившие первые камни в
фундамент своей науки, не имели ни малейшего представления о том, какое
здание они возводят. Поэтому они не стали рыть глубокий котлован под
фундамент, а начали закладывать его прямо на поверхности земли. В те
давние времена земля казалась им достаточно прочным основанием, и
материал, с которым они начали строительство, — факты о числах и
геометрических фигурах — был взят из повседневного, земного опыта. Чисто
земное происхождение математики нашло отражение в постоянно
используемом нами термине «геометрия», что означает землемерие.
Однако когда здание математики начало расти,
выяснилось, что все сооружение достаточно шатко и что, надстраивая
новые этажи, можно превратить в руины и то, что было создано раньше.
Греки классического периода не только заметили грозящую опасность, но и
произвели необходимую реконструкцию. С этой целью они приняли две меры.
Во-первых, выбрали на поверхности земли узкие полосы прочного грунта, на
которых, как им казалось, не страшно возводить стены. Такими опорными
полосами стали самоочевидные истины о пространстве и о целых числах.
Во-вторых, греки укрепили каркас здания стальной арматурой — роль
«стали» здесь играло дедуктивное доказательство каждого нового факта.
Здание античной математики — структуры,
состоящей в основном из евклидовой геометрии, — оказалось вполне
устойчивым. Правда, в нем обнаружился один досадный дефект. Дело в том,
что длины некоторых отрезков выражаются иррациональными числами:
например, длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с
единичными катетами равна иррациональному числу √2. Ho греки признавали
только обычные целые числа и их отношения; поэтому они не могли
допустить существование таких величин, как √2. Греки решили
возникшую проблему, попросту изгнав иррациональные числа: они отказались
считать √2 «числом», а следовательно, отказались и от идеи сопоставлять
любым длинам, площадям и объемам численные значения. Тем самым греки не
внесли никаких дополнений в арифметику и алгебру целых чисел, которые
можно было бы включить и в структуру геометрии. Правда, некоторые ученые
александрийского периода (в первую очередь Архимед) производили
арифметические действия над иррациональными числами, но эти результаты
не были включены в канонический свод знаний, составляющих логическую
структуру математики.
Индийцы и арабы возвели новые этажи здания
математики, нимало не заботясь о его устойчивости. Прежде всего примерно
в VI в. индийцы ввели отрицательные числа. Затем индийцы и арабы —
менее привередливые, чем греки, — не только приняли иррациональные
числа, но и разработали правила действий над ними.
Европейцы эпохи Возрождения, унаследовавшие
математику греков, индийцев и арабов, поначалу с недоверием отнеслись к
этим чужеродным элементам. Но вскоре потребности естествознания
возобладали над осторожностью — европейцы поступились заботами о
логической обоснованности математики.
Расширяя математику чисел, индийцы, арабы, а
позднее европейцы возводили этаж за этажом: так появились комплексные
числа, новые разделы алгебры, дифференциальное и интегральное
исчисление, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия и
т.д. Однако вместо «стали» древнегреческих мыслителей европейцы
использовали «деревянные колонны и балки» — смесь интуитивных
рассуждений и физических построений. Но деревянные опоры не выдержали
нагрузки — в стенах величественного здания математики стали появляться
трещины. К началу XIX в. здание математики снова оказалось в аварийном
состоянии, и математики в спешном порядке принялись заменять дерево
сталью.
Пока укрепляли верхние этажи, выяснялось,
что в казавшемся столь твердом грунте (выбранных греками аксиомах), на
котором покоилась вся постройка, имеются не замеченные ранее дыры.
Создание неевклидовой геометрии показало, что аксиомы евклидовой
геометрии не были, как считалось прежде, полосками прочного грунта, а
лишь казались таковыми. Не могли служить прочной основой и аксиомы
неевклидовой геометрии. То, что математики принимали за абсолютную
реальность, уповая на способность своего разума познавать и безошибочно
анализировать природу, на поверку оказалось ненадежными данными
чувственного опыта. Но беда никогда не приходит одна: создание новых
алгебр заставило математиков осознать, что и казавшиеся столь надежными
свойства чисел имеют в действительности не более прочное основание, чем
геометрия. Так над всем зданием математики — над геометрией и
арифметикой с их продолжениями в алгебру и анализ — нависла смертельная
угроза. Поднявшееся уже высоко здание могло в любой момент рухнуть или
провалиться в трясину.
Чтобы спасти здание от разрушения,
необходимы были экстренные меры — и математики приняли вызов. Они
наконец поняли, что прочного грунта, на котором можно было бы возвести
фундамент здания математики, не существует. То, что кажется прочным, в
действительности обманчиво и зыбко. Но, быть может, здание математики
удастся возвести на прочном основании иного рода? В качестве такого
основания математики решили выбрать четко сформулированные определения,
полные перечни используемых аксиом и явное доказательство всех
результатов, сколь бы очевидными они ни выглядели интуитивно. Кроме
того, вместо поиска истины математики устремились теперь на поиск
логической непротиворечивости. Доказываемые теоремы должны быть строго
взаимосвязаны, придавая зданию математики желанную прочность (гл. VII).
Движение за аксиоматизацию, развернувшееся в конце XIX в., позволило
придать прочность зданию математики. Так, несмотря на то что математика
как будто бы утратила опору в реальности, очередной кризис в истории
математики удалось преодолеть.
К сожалению, цемент, скрепляющий фундамент
нового здания, не затвердевал. Строители не могли гарантировать
непротиворечивость, и, когда возникли противоречия в теории множеств,
математики поняли, что над их творением нависла еще более серьезная
угроза. Разумеется, они не собирались безучастно наблюдать, как
обращаются в прах плоды многовековых усилий. Непротиворечивость зависит
от того, что положено в основу рассуждений. Следовательно, спасти
положение может лишь полная перестройка оснований математики. Необходимо
было укрепить сам фундамент реконструируемой математики — ее логические
и математические аксиомы, и строители решили копать еще глубже. К
сожалению, они так и не смогли прийти к единому мнению относительно
того, где и как надлежит укреплять основания, и каждый, считая, что
именно ему суждено обеспечить надлежащую прочность здания математики,
приступал к перестройке так, как считал нужным. Построенное совместными
усилиями здание не отличалось ни изяществом пропорций, ни особой
устойчивостью. Оно расползалось во все стороны и было весьма шатким.
Каждое крыло здания претендовало на роль единственно истинного храма
математики, где хранятся жемчужины математической мысли.
Вероятно, всем известна притча о семи
слепцах и слоне. Наткнувшись на слона, слепцы принялись ощупывать его и
спорить, на что он похож. Тот, кто ощупывал хвост, заявил, что слон
похож на веревку; его товарищ по несчастью, ощупывавший ногу слона,
сравнил слона с колонной; третий слепец, ощупывавший хобот, утверждал,
что слон подобен змее и т.д. Слепцы не могли прийти к согласию, так как
все они представляли себе слона по-разному. Хотя математика по своей
структуре, возможно, намного изящнее слона, тем, кто занимается
основаниями математики и рассматривает ее с различных точек зрения, так
же трудно согласовать свои позиции, как и несчастным слепцам.
Математика достигла ныне той стадии
развития, когда вопрос о том, что, собственно, надлежит считать
математикой — логицизм, интуиционизм, формализм или теорию множеств, —
вызывает, ожесточенные споры. Каждое течение в основаниях математики
обладает тонкой структурой: разделяется на отдельные русла, состоящие в
свою очередь из множества протоков. Так, интуиционисты не сходятся между
собой во мнениях относительно того, что следует считать
фундаментальными, интуитивно воспринимаемыми понятиями: только целые или
также и некоторые иррациональные числа, закон исключенного третьего,
распространяемый только на конечные или и на счетные множества,
по-разному трактуемые конструктивные методы. Логицисты полагаются только
на логику, но и они не избавлены от сомнений по поводу аксиом
сводимости, выбора и бесконечности. Представители
теоретико-множественного течения могут двигаться в любом из нескольких
различных направлений в зависимости от того, принимают они аксиому
выбора и гипотезу континуума или отвергают одну из этих аксиом (ибо
гипотеза континуума также имеет ныне статус аксиомы!) или даже
отказываются от них обеих. Даже формалисты могут выбирать путь по своему
усмотрению. Выбор принципов математики для доказательства
непротиворечивости не вполне однозначен. Финитистских принципов,
отстаиваемых Гильбертом, оказалось недостаточно даже для доказательства
исчисления предикатов (первой ступени), не говоря уже об установлении
непротиворечивости формальных математических систем Гильберта.
Формалистам не оставалось ничего другого, как воспользоваться
нефинитистскими методами (гл. XII). Кроме того, как показал Гёдель, в
рамках наложенных Гильбертом ограничений любая достаточно мощная
формальная система содержит неразрешимые утверждения, т.е. утверждения,
которые, базируясь на аксиомах нельзя ни доказать, ни опровергнуть; но
это значит, что подобные утверждения (или их отрицания) можно принять в
качестве дополнительных аксиом. Однако и после присоединения новой
аксиомы расширенная система, согласно теореме Гёделя, все еще должна
содержать неразрешимые утверждения. Приняв их за новые дополнительные
аксиомы, мы могли бы вторично расширить формальную систему и т.д.
Процесс последовательного расширения исходной формальной системы можно
было бы продолжать бесконечно.
Логицисты, формалисты и представители
теоретико-множественного направления полагаются на аксиоматические
основания. В первые десятилетия XX в. именно аксиоматика превозносилась
как наиболее подходящий фундамент для построения математики. Но теорема
Гёделя утверждает, что ни одна система аксиом не охватывает всех истин,
содержащихся в любой математической структуре, а теорема Левенгейма —
Сколема показывает, что каждая система аксиом включает больше, чем
предполагалось. Только интуиционисты могут позволить себе безразличие к
проблемам, возникшим в связи с аксиоматическим подходом.
В довершение всех разногласий и неясностей
по поводу того, какие основания математики считать наилучшими, над
головами математиков, подобно дамоклову мечу, висит нерешенная проблема
доказательства непротиворечивости всей математики. Какую бы философию ни
исповедовал тот или иной математик, в своей работе он рискует
натолкнуться на противоречие.
Основной вывод, который можно сделать из
существования нескольких противоборствующих подходов к математике,
состоит в следующем: имеется не одна, а много математик. О математике в
целом, по-видимому, правильнее говорить во множественном числе (как о
многих математиках), оставив единственное число для обозначения любого
из подходов. Философ Джордж Сантаяна как-то сказал: «Не существует бога,
и дева Мария — матерь его». Перефразируя эти слова, можно сказать: «Не
существует единой, общепринятой математики, и греки — создатели ее».
Широкий выбор подходов, открывающийся перед математиками, вызывает у них
ощущение, близкое к тому, которое отлично передано в следующих строках
Шелли:
Пред роем нескончаемым
Бесчисленных миров
Фантазии крылатой
Кружится голова.
Насколько можно судить, в ближайшем будущем
нам придется обходиться без критерия, который позволял бы выбрать
предпочтительный подход к собственно математике.
Примирить разные взгляды на то, что такое
истинная математика (или по крайней мере в каком направлении она должна
развиваться), можно надеяться лишь основываясь на прогрессе в решении
тех спорных вопросов, по которым расходятся во мнениях математики разных
школ. Больше всего разногласий вызывает вопрос о том, что такое математическое доказательство.
Во все времена — начиная с древнейших
ионийской и пифагорейской школ (гл. I) — предполагалось, что
математическое доказательство — это ясный и бесспорный процесс;
формализации этого процесса Аристотель посвятил десять лет жизни.
Правда, долгое время им пренебрегали (гл. V-VIII), но в целом математики
никогда о нем не забывали. Само понятие математического доказательства
всегда существовало; оно и служило парадигмой и образцом, которому в той
или иной степени стремились следовать ученые.
Что же заставило математиков изменить
отношение к доказательству и даже разбиться на враждующие группировки,
каждая из которых придерживается своей версии этого важнейшего понятия?
На протяжении более чем двух тысячелетий математики разделяли старые
взгляды на логику, согласно которым логические принципы в том виде, как
их кодифицировал Аристотель, являются абсолютными истинами. Уверенность в
непогрешимости логических принципов подкреплялась их длительным и,
казалось бы, безотказным использованием. Но впоследствии математики
поняли, что основы логики — такие же продукты человеческого опыта, как и
аксиомы евклидовой геометрии. Возникло легкое беспокойство по поводу
того, какие же логические аксиомы можно считать надежными. Так,
интуиционисты не без основания ограничили область применения закона
исключенного третьего. И кто знает, стали бы мы считать, что приемлемые
ныне логические принципы останутся таковыми и впредь, не будь их
репутация столь безупречной в прошлом?
Второй связанный с понятием доказательства
спорный вопрос, возникший с появлением логистической школы, можно
сформулировать так: что входит и что не входит в («исходные») логические принципы?
Хотя Рассел и Уайтхед без каких-либо колебаний в первом издании
«Оснований математики» включили в свой список аксиом аксиомы
бесконечности и выбора, позднее они отступили от этой позиции, не только
признав, что первоначальные логические принципы не были абсолютными
истинами, но уяснив, что аксиомы выбора и бесконечности аксиомами логики
не являются. Во втором издании «Оснований математики» эти
аксиомы не были включены в исходный список аксиом и их использование при
доказательстве некоторых теорем каждый раз оговаривалось особо.
Помимо разногласий относительно того, какие
логические принципы можно считать приемлемыми, существуют разногласия и
по поводу того, сколь далеко простираются сферы действия логики.
Как известно, логицисты были убеждены, что логики достаточно для
обоснования всей математики, хотя впоследствии им приходилось всячески
изворачиваться, когда дело касалось проблем, связанных с
аксиомами бесконечности и выбора. По мнению формалистов, одной лишь
логики недостаточно и для обоснования математики; логические аксиомы
необходимо дополнить чисто математическими. Представители
теоретико-множественного направления обращались с логическими принципами
довольно небрежно, и кое-кто из них даже не удосуживался указывать
используемые логические принципы в явном виде. Интуиционисты из
принципиальных соображений считали нужным не вдаваться в логику.
Еще один спорный вопрос — понятие существования. Например, установив, что каждый многочлен имеет по крайней мере один корень, мы доказываем чистую теорему существования (Existenzbewies. — нем.).
Любое доказательство, если оно непротиворечиво, приемлемо с точки
зрения логицистов, формалистов и представителей теоретико-множественного
направления. Но доказательство, даже не использующее закона
исключенного третьего, может не указывать метода, позволяющего найти (или вычислить)
тот объект, существование которого мы установили. Для интуиционистов
доказательства существования такого рода неприемлемы. Нежелание
интуиционистов допустить трансфинитные кардинальные и ординальные числа
(поскольку эти числа интуитивно не очевидны и конструктивно не достижимы
в интуиционистском понимании конструктивности, или вычислимости) — еще
один пример различных стандартов понимания «существования». Спорный
вопрос, в каком смысле существуют не только отдельные математические
объекты, например корни многочленов, но и вся математика в целом, имеет первостепенное значение, и мы еще вернемся к нему в этой главе.
Интерес к тому, что такое истинная математика, подогревается еще одним обстоятельством. Какие математические аксиомы можно считать приемлемыми?
Блестящий пример вопросов такого рода — вопрос о том, допустимо ли
использование аксиомы выбора. Пытаясь ответить на него, математики
встали перед дилеммой: не использовать аксиому выбора или отвергнуть ее
означало отказаться от больших и важных разделов математики, а
применение аксиомы выбора приводило если не к противоречиям, то к
интуитивно неразумным выводам (гл. XII).
Неспособность математиков доказать
непротиворечивость своей науки бросает тень на весь идеал математики.
Противоречия обнаруживались в самых неожиданных местах. И хотя их
удавалось разрешить более или менее приемлемым образом, опасность
возникновения новых противоречий, несомненно, заставила многих
математиков скептически относиться к чрезмерным усилиям, которые их
собратья прилагали для достижения строгости.
Что же такое математика, если она перестала
быть однозначной, строгой логической конструкцией? Это серия интуитивных
прозрений, тщательно отсеянных, очищенных и организованных с помощью
той логики, которую занимавшиеся ее отбором люди хотели и могли
применять, когда им заблагорассудится. Чем больше усилий прилагалось к
уточнению понятий и систематизации дедуктивной системы математики, тем
более изощренными становились интуитивные представления. Но опирается ли
математика на какие-либо фундаментальные интуитивные представления,
которые могут косвенно отражать структуру наших органов чувств, мозга и
внешнего мира? Математика — творение человеческого разума, и любая
попытка подвести под нее некую абсолютную базу обречена на провал.
Прогресс математики представляет собой
цепочку великих интуитивных озарений, впоследствии получавших
обоснования, которые возникают не за один прием, а путем
последовательных поправок, долженствующих исправить различного рода
ошибки и упущения, вводимых до тех пор, пока доказательство не достигнет
приемлемого для своего времени уровня строгости.
Ни одно доказательство не является окончательным. Новые контрпримеры
подрывают старые доказательства, лишая их силы. Доказательства
пересматриваются, и новые варианты ошибочно считаются окончательными.
Но, как учит история, это означает лишь, что для критического пересмотра
доказательства еще не настало время. Иногда математики сознательно
откладывают пересмотр доказательства на будущее. Промедление объясняется
не только тем, что обнаружение ошибки в чужом доказательстве не
приносит славы открывателю, но и другой причиной: математик, которому
хватило ума усомниться в правильности ранее известного доказательства
теоремы, обычно стремится самостоятельно доказать ее, связав тем самым
старый факт со своим именем. Математики гораздо больше озабочены
доказательством собственных теорем, нежели поиском ошибок в чужих
доказательствах.
Некоторые школы пытались заточить математику
в стенах логики. Но интуиция не терпит никаких посягательств на свою
свободу. Представление о математике как о своде абсолютно надежных,
бесспорных и неопровержимых истин, имеющих под собой прочное основание,
разумеется, восходит к классическому периоду, воплощенному в «Началах»
Евклида. Греческий идеал довлел над мышлением математиков более двадцати
столетий. Но «злой гений» Евклид явно сбил математиков с истинного
пути.
В действительности математик не полагается
на строгое доказательство до такой степени, как обычно считают. Его
творения обретают для него смысл до всякой формализации, и именно этот
смысл сам по себе придает реальность. Попытки установить точные границы
результата путем вывода его из системы аксиом могут оказаться в
известной степени полезными, но, по существу, они довольно слабо влияют
на значение результата.
Интуиция может оказаться более
удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика. Когда
математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет
ответа в интуитивном понимании. Строгое доказательство ничего не значит
для математика, если результат ему непонятен интуитивно. Обнаружив
непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему
критическому пересмотру. Если доказательство покажется ему правильным,
то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция подвела его.
Математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно
срабатывает цепочка силлогизмов. Пуанкаре сказал однажды: «Когда
довольно длинное рассуждение приводит нас к простому и неожиданному
результату, мы не успокаиваемся до тех пор, пока нам не удается
показать, что полученный результат — если не целиком, то по крайней мере
в общих чертах — можно было предвидеть заранее».
Многие математики предпочитали полагаться на
интуицию. Артур Шопенгауэр объяснил это так: «Чтобы усовершенствовать
метод в математике, необходимо прежде всего решительно отказаться от
предрассудка — веры в то, будто доказанная истина превыше интуитивного
знания». Паскалю принадлежат два выражения — esprit de géométrie [дух геометрии] и esprit de finesse [дух проницательности]. Под первым Паскаль понимал силу и прямоту ума, проявляющиеся в железной логике рассуждений. Под вторым — широту ума, способность видеть глубже и прозревать истину как бы в озарении. Для Паскаля даже в науке esprit de finesse
был уровнем мышления, стоящим неизмеримо выше (и вне) логики и
несоизмеримым с ней. То, что непостижимо для разума, считал Паскаль,
может тем не менее быть истиной.
Задолго до Паскаля другие математики также
утверждали, что интуитивное убеждение превосходит логику подобно тому,
как ослепительный блеск Солнца затмевает бледное сияние Луны. Декарт
полагался на врожденные интуитивные представления. По поводу логики
Декарт заметил: «Я обнаружил, что силлогизмы и большинство посылок
логики более пригодны, когда речь идет о вещах уже известных, или о
вещах, в которых говорящий несведущ». Тем не менее Декарт охотно
дополнял интуицию дедуктивными рассуждениями (гл. II).
Великие математики заранее, еще до того, как
им удавалось найти логическое доказательство, знали, что какая-то
теорема верна, и иногда ограничивались всего лишь беглым наброском
доказательства. Более того, Ферма в своей обширной классической работе
по теории чисел и Ньютон в работе по кривым третьего порядка не привели
даже набросков доказательств. Прогрессу математики, несомненно,
способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью
проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией.
Итак, понятие доказательства, сколь ни
преувеличивали его значение общественное мнение и публикации
математиков, не играло той роли, которая ему обычно отводилась.
Возникновение противоборствующих философий математики, каждая из которых
отстаивала свои мерки строгости доказательства, вызывало скептическую
переоценку важности доказательства. Критические нападки на понятие
доказательства начались еще до того, как успели сформироваться различные
течения в основаниях математики и их взаимно исключающие точки зрения
получили сколько-нибудь широкое распространение. Еще в 1928 г. Годфри
Гарольд Харди утверждал с присущей ему прямотой:
...
Строго говоря, того, что принято называть
математическим доказательством, не существует… В конечном счете мы можем
лишь указывать… Любое доказательство представляет собой то, что мы с
Литтлвудом называем газом, — риторические завитушки,
предназначенные для психологического воздействия, картинки, рисуемые на
доске во время лекции, средство для стимуляции воображения учащихся.
Харди считал доказательства скорее фасадом, чем несущими опорами здания математики.
В 1944 г. выдающийся американский математик
Рэймонд Луис Уайлдер выступил с вполне обоснованной статьей [98]*, в
которой низвел доказательство на еще более низкую ступень.
Доказательство, утверждал Уайлдер, есть не что иное, как
...
проверка продуктов нашей интуиции…
Совершенно ясно, что мы не обладали и, по-видимому, никогда не будем
обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от
того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий, будь
то отдельное лицо или школа мышления, в этих условиях самое разумное,
пожалуй, призвать, что, как правило, в математике не существует
абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в
обратном.
Ценность доказательства, как такового, подверг критике Уайтхед в своей лекции под названием «Бессмертие»:
...
Резюмируя, можно сказать, что логика,
понимаемая как адекватный анализ процесса человеческого мышления, есть
не более чем — обман. Логика — превосходный инструмент, но ей необходим в
качестве основы здравый смысл… По моему убеждению, окончательный вид,
принимаемый философской мыслью, не может опираться на точные
утверждения, составляющие основу специальных наук. Точность иллюзорна.
Доказательство, абсолютная строгость и тому
подобные понятия — блуждающие огоньки, химеры, «не имеющие пристанища в
математическом мире». Строгого определения строгости не существует.
Доказательство считается приемлемым, если оно получает одобрение ведущих
специалистов своего времени или строится на принципах, которые модно
использовать в данный момент.
Никакого общепризнанного критерия строгости в современной математике не
существует. Математическая строгость переживает сейчас не лучшее время.
То, что некогда считалось неотъемлемой особенностью математики —
неоспоримый вывод из явно сформулированных аксиом, — навсегда отошло в
прошлое. Неопределенность и способность впадать в ошибку присущи логике в
той мере, в какой они ограничивают возможности человеческого разума.
Приходится лишь удивляться, сколько фундаментальных допущений мы обычно
принимаем в математике, даже не сознавая этого.
Философ Ницше как-то раз назвал шутки
«эпитафиями эмоциям». Чтобы хоть как-то скрыть охватившее их уныние,
математики принялись подшучивать над логикой своей науки: «Достоинство
логического доказательства состоит не в том, что оно вселяет веру, а в
том, что оно заставляет сомневаться относительно того, какое место в
рассуждениях должно вызывать у нас особенно сильные сомнения… К
математическому доказательству относись не только с почтением, но и с
подозрением!.. Мы не можем более надеяться, что нам удастся быть
логичными. Будем же по крайней мере надеяться, что нам удастся не быть
нелогичными… Больше страстности — меньше ясности». Математик Анри Леон
Лебег, стоявший на позициях интуиционизма, заявил в 1928 г.: «Логика
может заставить нас отвергнуть некоторые доказательства, но она не в
силах заставить нас поверить ни в одно доказательство». В статье 1941 г.
Лебег добавил, что логика служит не для того, чтобы убеждать, создавать
уверенность. Мы верим в то, что согласуется с нашей интуицией. Лебег
утверждал, что, по мере того как мы становимся все более сведущими в
математике, наша интуиция становится все более изощренной.
Даже Бертран Рассел с его сугубо
логистической программой не мог удержаться от язвительных замечаний в
адрес логики. В «Принципах математики» (1903) Рассел писал: «Одно из
главных достоинств присущих доказательствам, состоит в том, что они
пробуждают определенный скептицизм по отношению к доказанному
результату». В том же издании «Принципов» он утверждал, что, как
явствует из самой попытки положить в основу математики систему
неопределяемых понятий и исходных утверждений, любой результат вполне
может быть опровергнут (для этого достаточно, чтобы кому-нибудь удалось
обнаружить противоречие в нашей формально-логической системе), но
никогда не может быть доказан. Все в конечном счете зависит от
непосредственного восприятия. Чуть позже (1906) Рассел, встревоженный
обнаруженными тогда парадоксами, высказался более откровенно, чем имел
обыкновение высказываться в последующие годы. Когда антиномии показали,
что логическое доказательство на существовавшем тогда уровне строгости
небезупречно, Рассел заявил: «Элемент неопределенности должен оставаться
всегда, подобно тому как он неизбежно остается в астрономии. Со
временем он может существенно уменьшиться, но смертным свойственно
ошибаться».
Говоря о насмешках, которым подвергалась
логика, нельзя не вспомнить слова одного из видных современных философов
и специалистов по основаниям математики австрийца Карла Поппера (р.
1902):
...
Существуют три уровня понимания
доказательства. На самом низком уровне у вас появляется приятное
ощущение, что вы поняли ход рассуждений. Средний уровень достигается,
когда вы можете воспроизвести доказательство. На верхнем, или высшем,
уровне вы обретаете способность опровергнуть доказательство.
Оливер Хевисайд, весьма пренебрежительно
относившийся к постоянным заботам математиков о строгости, иронически
заявил: «Логика непобедима, потому что одолеть ее можно только с помощью
логики».
Феликс Клейн, бывший на протяжении первой
четверти XX в. признанным главой мирового центра математики —
математического института Гёттингенского университета, — не занимался
специально проблемами оснований математики, однако из истории развития
этой науки он извлек кое-какие выводы. В своей книге «Элементарная
математика с точки зрения высшей» (1908) Клейн так описывал развитие математики:
...
Математика развивалась подобно дереву,
которое разрастается не путем тончайших разветвлений, идущих от корней, а
разбрасывает свои ветки и листья вширь, распространяя их зачастую вниз,
к корням. В основных исследованиях в области математики не может быть
окончательного завершения, а вместе с тем и окончательно установленного
первого начала…
Аналогичное мнение, хотя и несколько по
иному поводу, выразил Пуанкаре: не существует решенных проблем,
существуют только проблемы более или менее решенные.
Математики поклонялись золотому тельцу —
строгому, одинаково приемлемому для всех доказательству, истинному во
всех возможных мирах, искренне веря, что это и есть бог. Теперь
наступило прозрение: математики поняли, что их бог — ложный. Но истинный
бог так и не открылся, и теперь им не оставалось ничего другого, как
гадать, существует ли он вообще. «Пророк Моисей», который мог бы пролить
на них свет истины, так и не появился. Математикам оставалось лишь
терзаться не находящими ответа вопросами.
У некоторых вполне разумных критиков
оснований математики сильное раздражение вызывали нюансы, по поводу
которых спорили те, кто занимался основаниями. Если математика в
конечном счете основана на интуиции, спрашивал один из таких критиков
Имре Лакатош (или Лакатос; 1922-1974), то почему мы должны идти все
дальше и дальше?
...
Почему бы нам не остановиться раньше и не
заявить, что «окончательным критерием допустимости того или иного метода
должен служить вопрос, является ли он интуитивно убедительным»… Почему
честно не признать потенциальную возможность ошибки в математическом
доказательстве и не попытаться защитить достоинство знания, возможно в
чем-то и ошибочного, от циничного скептицизма, вместо того чтобы
обманывать себя тем, будто мы всегда можем искусно заштопать последнюю
прореху на ткани нашей «первичной» интуиции?
По поводу относительной ценности интуиции и
доказательства уместно привести следующую притчу. В кабинете одного
врача над дверью висела подкова. Уходя после приема, пациент спросил
врача, принесла ли ему подкова удачу в жизни и в работе. «Нет, — ответил
врач, — я не верю в подобные предрассудки. Но все же подкова помогает».
Артур Стэнли Эддингтон заметил однажды:
«Доказательство — это идол, во имя которого математики терзают себя».
Почему же математики идут на такие муки ради строгого доказательства?
Уместно спросить: чем, собственно, занимаются математики, ставящие
превыше всего железную логику, если они не знают, непротиворечива ли их
наука, и, в частности, не могут прийти к единому мне-иию относительно
того, что такое правильное доказательство? Не следует ли им стать
полностью безразличными к строгости, поднять руки вверх и заявить, что
математика как свод твердо установленных истин не более чем иллюзия? Не
должны ли они оставить дедуктивное доказательство и прибегать лишь к
убедительным, интуитивно здравым аргументам? Ведь используют же
интуитивные соображения физические науки, которые даже там, где они
применяют математику, не придают особого значения пристрастию
математиков к строгости. Но отказ от строгости вряд ли показан
математике. Всякий, кто знает, какой вклад внесла математика в
сокровищницу человеческого мышления, не станет жертвовать понятием
доказательства.
Нельзя не признать важного значения логики
для математики. Если интуиция — господин, а логика — всего лишь слуга,
то это тот случай, когда слуга обладает определенной властью над своим
господином. Логика сдерживает необузданную интуицию. Хотя, как мы и
признали, интуиция играет в математике главную роль, все же сама по себе
она может приводить к чрезмерно общим утверждениям. Надлежащие
ограничения устанавливает логика. Интуиция отбрасывает всякую
осторожность — логика учит сдержанности. Правда, приверженность логике
приводит к длинным утверждениям со множеством оговорок и допущений и
обычно требует множества теорем и доказательств, мелкими шажками
преодолевая то расстояние, которое мощная интуиция перемахивает одним
прыжком. Но на помощь интуиции, отважно захватившей расположенное перед
мостом укрепление, необходимо выслать боевое охранение, иначе неприятель
может окружить захваченную территорию, заставив нас отступить на
исходные позиции.
Интуиция может и обмануть нас. На
протяжении большей части XIX в. математики — в том числе Коши, одним из
первых ставший насаждать математическую строгость, — считали, что любая
непрерывная функция имеет производную. Но Вейерштрасс поразил
математический мир, продемонстрировав непрерывную функцию, ни в одной
точке не имеющую производной.
Такая функция недоступна интуиции. Математическое рассуждение не только
дополняет интуицию, но и подтверждает, исправляет, а в иных случаях и
превосходит ее.
То, что дают математикам логические
рассуждения, можно пояснить с помощью аналогии. Предположим, фермер
купил участок непроходимого леса, намереваясь расчистить его и заняться
земледелием. Вырубив лес на небольшом пятачке, он заметил рыскавших в
лесу диких зверей. Опасаясь их нападения, фермер вырубил лес,
примыкавший к уже расчищенному участку, и звери отступили вместе с
лесом. Теперь их можно было видеть чуть дальше — там, где на границе
расчищенного участка стеной поднимался девственный лес. Фермер снова
взялся за топор и т.д. до бесконечности. Каждый раз он расчищал все
новый участок земли — звери отступали к кромке нетронутого леса. Спросим
себя: чего же достиг фермер? По мере того как увеличивался свободный от
леса участок земли, фермер обретал все большую безопасность, по крайней
мере если он работал в центре расчищенного участка. Но звери не
исчезли, они лишь отступили и когда-нибудь смогут неожиданно наброситься
на фермера и растерзать его, хотя по мере увеличения размеров
расчищенного участка фермер обретал все большую относительную
безопасность. Аналогичным образом степень уверенности, с какой мы можем
пользоваться центральным ядром математических знаний, возрастает по мере
того, как логика применяется для выяснения то одной, то другой проблемы
в основаниях математики. Иначе говоря, доказательство гарантирует нам
относительную уверенность в правоте. Мы окончательно убеждаемся в
правильности той или иной теоремы, если нам удастся доказать ее на
основе разумных утверждений о числах и геометрических фигурах, которые
интуитивно более приемлемы, чем доказываемая теорема. По словам Реймонда
Луиса Уайлдера, доказательство — это проверка идей, подсказанных
интуицией.
К сожалению, доказательства одного поколения
воспринимаются другим поколением как ворох логических ошибок. Один из
основоположников современной математики в США, Элиаким Гастингс Мур
(1862-1932), выразил (1903) эту мысль так: «Любая наука, включая логику и
математику, есть продукт своей эпохи. Наука воплощена в своих идеалах
не в меньшей мере, чем в результатах». Век строгости короток — это всего
лишь один день. В наше время понятие строгости зависит и от того, к
какой школе принадлежит математик. Насколько можно судить, самого
Уайлдера вполне устроило бы доказательство, не содержащее явных
противоречий и к тому же полезное для математики. Например, он не стал
бы возражать против понятия гипотезы континуума в качеству аксиомы. Не
придавая особого значения доказательству, Уайлдер критиковал различные
школы мышления за разобщенность. Разве не напоминает приверженность
догматам одной школы в ущерб всем остальным фанатизм религиозных
сектантов, провозглашающих своего бога истинным и отвергающих все
остальные секты как заблудшие?
Мы не можем отрицать, что не существует ни
абсолютного доказательства, ни даже доказательства, одинаково
приемлемого для всех. Мы знаем, что если усомнимся в истинности
утверждений, принятых на интуитивной основе, то сможем доказать их, лишь
приняв на интуитивной же основе некие другие утверждения. Проверяя
истинность утверждений, непосредственно воспринимаемых интуицией, мы не
можем заходить слишком далеко, не рискуя столкнуться с парадоксами или
другими неразрешенными трудностями, часть которых лежит в сфере логики. В
начале XX в. знаменитый французский математик Жак Адамар высказал
следующую мысль: «Цель математической строгости состоит в том, чтобы
санкционировать и узаконить завоевания интуиции». Мы не можем теперь
согласиться с Адамаром. Более уместно повторить вслед за Германом
Вейлем: «Логика — это своего рода гигиена, позволяющая математику
сохранять свои идеи здоровыми и сильными». Неверно утверждать, что
доказательство не играет никакой роли: оно сводит к минимуму риск
противоречий.
Нельзя не признать, что абсолютное
доказательство не реальность, а цель. К ней следует стремиться, но
скорее всего она так никогда и не будет достигнута. Абсолютное
доказательство не более чем призрак, вечно преследуемый и неизменно
ускользающий. Мы должны неустанно укреплять то доказательство, которым
располагаем, не надеясь на то, что нам удастся довести его до
совершенства. Мораль всей истории развития математического
доказательства сводится к следующему: хотя мы и стремимся к недостижимой
цели, нам, возможно, удастся произвести чудесные ценности, которые
математике случалось дарить миру в прошлом. Если мы изменим свое
отношение к математике, то сможем более эффективно заниматься ею,
несмотря на постигшее нас разочарование.
Осознание того, что в обосновании
математических истин главную роль играет интуиция, а доказательству
отводится лишь вспомогательная роль, означает, что математика в своем
развитии описала полный круг. Математика начиналась на интуитивной и
эмпирической основе. Начиная с древних греков доказательство стало целью
математической деятельности, и, хотя до XIX в. эта цель пребывала в
почетной отставке, в конце XIX в. математикам показалось, что они сумели
достичь ее. Но попытки довести математическую строгость до пределов
возможного завели математиков в тупик: логика нанесла поражение логике,
подобно собаке, кусающей себя за хвост. В «Мыслях» Паскаля мы находим
следующее признание: «Сила разума в том, что он признает существование
множества явлений, ему непостижимых» ([119], с. 157).
|
