Мы уже упоминали, что Ньютон и Кеплер моделировали орбиты планет исключительно геометрически. Однако в космическом пространстве не существует реальных эллипсов, они — лишь невидимые пути, по которым движутся планеты. Поэтому, чтобы больше не строить орбиты геометрически, по точкам, было бы очень полезно найти математический инструмент для описания движения планет. Те, кто пытался перейти от последовательности прямолинейных движений к действительно плавному пути, снова столкнулись с проблемой бесконечности и бесконечно малых величин.

Прежде чем обратиться к изобретению дифференциального и интегрального исчислений, стоит вспомнить более ранние попытки решить общие задачи с площадями и тангенсами. Это «до-дифференциальное и до-интегральное счисление» можно найти уже у Архимеда, разработавшего два метода определения площадей, ограниченных кривыми линиями. Их нередко называли геометрическим и механическим методами. Одна из самых известных задач, доставшихся нам от древних, — вычисление площади круга, так называемой квадратуры круга. В коротком трактате «Об измерении круга» Архимед приводит доказательства двух важных результатов. Во-первых, площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно окружности круга, а высота — радиусу круга, что эквивалентно нашей формуле πr², но без необходимости вводить собственно число π. Второй важный результат — доказательство, что числовое значение π находится между 3 1/7 и 3 10/71. В обоих случаях использовался геометрический метод: строились описанные и вписанные в круг многоугольники; затем, последовательным удвоением числа сторон каждого многоугольника они постепенно приближались к окружности. Помимо всего прочего, эти два многоугольника постепенно сближаются, в некотором смысле получается бутерброд из многоугольников с окружностью, прослоенной между ними, так что, если процесс продолжить до бесконечности (то, что математики называют «в пределе»), площади многоугольников постепенно сближаются с площадью круга. Чтобы найти значение π, Архимед начал с описанного и вписанного шестиугольников и закончил процесс, когда достиг 96-стороннего многоугольника, хотя мог бы продолжать до тех пор, пока бы не достиг любого задуманного уровня точности. Архимед использовал метод последовательных элиминаций, за который мы должны благодарить Евдокса, но старался не заявлять, что многоугольники постепенно становятся кругом, приходя к результату посредством длинной логической аргументации. Это умалчивание понятно, поскольку, с точки зрения греков, многоугольник и круг были совершенно разными фигурами.

Механический метод Архимеда иллюстрируется в работе, носящей название «Послание к Эратосфену о методе». Она считалась утерянной, но в 1906 году была обнаружена в Константинополе. Этот труд был палимпсестом, пергаментом десятого века; он содержал различные работы Архимеда, а затем его использовали в качестве молитвенника, но тексты древнего грека соскребли не окончательно, так что их еще можно было разобрать. (В 1998 году «Послание к Эратосфену о методе» было продано с аукциона за два миллиона долларов.) Метод, который обсуждает Архимед, — по существу, разборка площади на линии, преобразование этих линий, а затем восстановление их в виде другой площади. Точное преобразование было выполнено путем использования Архимедова правила рычага. В некотором смысле ученый уравновесил известную площадь с неизвестной. Положение точки опоры определяет относительные размеры площадей — отсюда термин «механический метод». Архимед утверждал, что это очень полезный эвристический инструмент для получения новых результатов, однако он понимал, что его метод ненадежен, и, когда встал вопрос о получении безупречного результата, вернулся к геометрическому методу. Главная проблема в том, что приходится принять: площадь фигуры может быть составлена из неделимых линий, поскольку линия — это длина без ширины, одномерный объект, и, когда мы мысленно соединяем линии, сумма одномерных объектов остается одномерной и не может дать двумерную площадь. Несмотря на это, Архимед сумел правильно вычислить множество площадей и объемов, включая площадь сегмента параболы, а также центры тяжести объемных тел вроде конуса.

К началу XVII века вырос интерес к построению различных кривых и вычислению их длин, ограничиваемых ими площадей и объемов фигур, получаемых в результате их вращения. Стимулом послужило решение различных задач механики — как статики, так и динамики. Определение центра тяжести предмета математическими методами было очень важным для решения вопроса о его устойчивости и, естественно, представляло большой интерес в таких областях, как архитектура и судостроение. Используемые методы в принципе можно было разбить на две Архимедовы категории, но все сильнее чувствовалось, что, несмотря на логическую форму задачи, методы, в той или иной форме использующие неделимые или бесконечно малые величины, легче приводили к более правильным результатам, чем геометрические методы.

Математика больше не могла избегать понятий бесконечности и бесконечно малых величин — Сциллы и Харибды греческой математики. Кеплер использовал инфинитезимальный метод при вычислении площади сектора эллиптической орбиты, по которому планета проходит за определенное время. Вот еще более впечатляющий пример. В книге под названием «Новая стереометрия винных бочек» (1615) Кеплер рассчитал объем винной бочки, используя бесконечно большое число бесконечно малых дощечек. Галилей верил в реальное существование бесконечности, приводя в пример круг, который он считал многоугольником с бесконечным числом сторон. В то же самое время итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598–1647), ученик Галилея, а с 1629 года — профессор математики в Болонье, издал свой труд, здоровенный том почти в семьсот страниц, посвященный методам вычисления площадей и объемов. В этой работе, именуемой «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635), обсуждались различные методы вычисления неделимых бесконечно малых величин, причем площади плоских фигур считались составленными из неделимых линий, а объемные фигуры предполагались состоящими из неделимых плоских объектов. Самым главным его результатом стала формула площади фигуры, ограниченной кривыми: у = хⁿ при любом целочисленном n.

Теперь давайте хотя бы бегло рассмотрим, как развивались события, предшествовавшие рождению дифференциального и интегрального исчислений, — например, каким образом определялись тангенсы кривых. Пьер де Ферма (1601–1665) добился некоторых важных результатов, однако не стал публиковать их. Вместо этого он активно делился своими открытиями в переписке со многими математиками того времени. Эту корреспондентскую сеть организовал Маренн Мерсенн (1588–1648). Ферма разработал методы, позволяющие найти тангенс в любой точке полинома, а также методы определения максимума и минимума этой кривой. Он также вновь открыл правила Кавальери для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми вида у = хⁿ, расширив их множество таким образом, что теперь n могло быть как положительным, так и отрицательным. Единственным случаем, выходящим за рамки общего правила, был случай n = -1 — эта кривая, как известно, представляет собой логарифмическую функцию. Методы Ферма очень близки тем к современному дифференциальному исчислению, за исключением того, что у Ферма не использовалось понятие предельного перехода. Ни в одном из трудов ученого, посвященных анализу бесконечно малых величин, не упоминается, что задачи построения тангенсов и вычисления площадей, по существу, обратны по отношению друг к другу. При этом он не расширил диапазон используемых функций.

Изобилие до-дифференциальных и до-интегральных методов вскоре сформировалось в новую ветвь математики. Как это часто бывает в истории, революционные методы уже витали в воздухе и только и ждали человека, способного уловить их и придать им зримую форму. В данном случае честь изобретения метода отдается сразу двум ученым — Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу. Как в случае любого совместного изобретения, всегда есть некоторое сомнение в том, кто из них все-таки оказался первым, так что споры об этом шли по всей Европе.

Исаак Ньютон родился на Рождество 1642 года — в год смерти Галилея. В 1661 году он поступил в Тринити-колледж в Кембридже, а в 1664-м — получил диплом о высшем образовании. В течение последующих двух лет колледж был закрыт из-за чумы, и Ньютон возвратился домой в Линкольншир. Позднее он писал, что именно тогда совершил известные прорывы в науке — открыл уравнение с бесконечным рядом членов, закон всемирного тяготения, а также дифференциальное и интегральное исчисления. Это могло бы показаться чрезмерным упрощением, но в 1669 году он написал работу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», в которой он рассматривал бесконечный полином так же, как конечный, и позднее распространил бином Ньютона на любую рациональную степень. «Анализ…» также содержал первое описание дифференциального и интегрального исчислений, основанных на методе, похожем на метод Ферма, однако в нем использовались большие степени вследствие работы с бесконечными рядами. Именно в этом труде вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, впервые было представлено как задача, обратная нахождению тангенса. В 1671 году Ньютон написал другой труд о том, что он назвал флюентами и флюксиями — переменными, или текущими, величинами (флюент — от лат. fluo, «теку»), и скоростями их изменения. В этой работе он изображал величины х и у как функции времени, а х´ и у´ — как скорости их изменения. Величины, насколько изменяются сами х и у — собственно производные, — были обозначены х´ и у´. Ньютон пришел к этой идее, рассматривая линию как местоположение точки, перемещающейся в пространстве. Время служит в этой системе невидимым хронометром и не появляется в качестве отдельной переменной t. К сожалению, Ньютон держал все рассуждения при себе, показывая коллегам лишь некоторые из своих работ. «Анализ…» не издавалась вплоть до 1711 года, а описание метода вычисления производных появилось на английском языке лишь в 1736 году. Впервые ученый кратко опубликовал свои выводы — в виде нескольких, крайне трудных для понимания пассажей — в «Началах», изданных в 1687 году. В самих «Началах» дифференциальное и интегральное исчисления практически не фигурируют. Ньютон описывал все свои построения в области математической физики, пользуясь терминами геометрии. Его упорный отказ издавать свои работы можно объяснить отвращением к публичным спорам и дрязгам, которые могли за ними последовать. Он уже конфликтовал с Робертом Гуком по вопросам оптики (Ньютон дождался смерти коллеги и лишь затем опубликовал свою «Оптику»). Даже «Начала» никогда не появились бы на свет, если бы не настоятельные требования и финансовая поддержка Эдмунда Галлея. Ньютон хотел лишь одного — чтобы его оставили в покое и не мешали работать. В итоге это привело к самому решительному сражению в его жизни.

В «Началах» есть раздел (это Отдел I Книги I), носящий название «О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается». В нем Ньютон дает геометрическую трактовку ключевых идей, касающихся дифференциального и интегрального исчислений. В другом разделе перечисляются некоторые результаты того, что Ньютон назвал «моментом любого происхождения», — теперь мы назвали бы это термином «дифференциал». Это первое публичное упоминание о новом виде исчисления, и неудивительно, что, кроме нескольких математиков, научный мир поначалу не пришел в восторг. Ньютон шел от геометрических доказательств к обобщенным результатам, не приводя алгебраические манипуляции. В тексте он признал, что в таком виде метод легче представлять, но он все еще беспокоится, что доказательство его теории бесконечно малых величин достаточно шатко. Ньютон — не первый ученый, взявшийся за дифференцирование и интегрирование, но именно он впервые создал прочную конструкцию, в которой эти две операции были обратны друг другу. Своими бесконечными рядами он чрезвычайно расширил диапазон функций, с которыми теперь можно было работать.

Давайте внимательно присмотримся к проблеме, за которую взялся Ньютон. Если мы возьмем точку на кривой и пожелаем определить наклон касательной в этой точке, мы можем выбрать вторую точку, близкую к первой, и соединить эти две точки прямой. Мы также можем построить прямоугольный треугольник, в котором эти две точки находятся на концах гипотенузы. Отношение двух других сторон треугольника дает нам наклон линии, соединяющей точки. Если мы представим себе, что вторая точка медленно перемещается в сторону первой, мы сможем увидеть, что по мере того, как наш треугольник становится все меньше и меньше, наклонная линия становится все более похожей на касательную. Если эти две точки встретятся, мы увидим касательную, а треугольник исчезнет, и две стороны, которые давали нам числовое значение угла наклона, будут равны нулю. В таком случае мы имеем соотношение двух нулей, которое и дает нам ответ! На языке Ньютона наше конечное соотношение исчезающе малых величин — реальная величина. Таким образом, прочность метода исчисления была основана на уверенности самого Ньютона, а широкое распространение было обеспечено его широкой применимостью. Однако сомнения относительно правильности основ метода все же сохранялись, и впоследствии ученые возвратились к проблеме вычисления бесконечно больших и бесконечно малых величин. Вскоре после смерти Ньютона философ Джордж Беркли (1685–1753) в своей работе «Аналитик» яростно напал на дифференциальное и интегральное исчисления, выдвигая на первый план логические проблемы этого метода, о которых математики были отлично осведомлены. Он набросился на теорию Ньютона с яростным религиозным фанатизмом, обвинив математиков в ереси за то, что они верили в «призраки усопших величин».

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) родился в Лейпциге, там же он изучал богословие, право, философию и математику. Университет отказал ему в докторской степени по законоведению, потому что ученый был слишком молод — ему было всего двадцать лет, так что защищать диссертацию Лейбниц отправился в Альтдорф-Нюрнберг. После получения степени он отказался от предложения преподавать право и стал советником, историком, библиотекарем и дипломатом на службе у герцога Эрнеста-Августа Брауншвейг-Люнебургского (Ганновер). О нем нередко говорят как о последнем великом универсале, который особенно интересовался логикой и созданием основ всеобщего языка. Возможно, именно поэтому языком счисления, который используется сегодня, мы в значительной степени обязаны Лейбницу. Ему принадлежат термины «дифференциальное исчисление» и «интегральное исчисление», равно как запись dy/dx и dx. Дипломатическая должность давала Лейбницу возможность путешествовать. В 1613 году он посетил Лондон, где стал членом Королевского общества. А в 1676 году ученый вернулся туда, чтобы продемонстрировать новую механическую вычислительную машину. Во время этого визита он не был знаком с Ньютоном, но позднее историки науки много спорили о том, мог ли тогда Лейбниц прочитать «Анализ…». Эти два математика много переписывались, обмениваясь мнениями относительно бесконечного ряда.

Хотя исчисление Лейбница также выросло из анализа рядов, его вид был в значительной степени иным: он увлекся суммированием бесконечно малых величин. Будучи в Париже, он поставил задачу вычисления суммы обратных величин треугольных чисел (треугольное число — это число кружков, из которых можно составить равносторонний треугольник). Последовательность треугольных чисел T_n для n = 0, 1, 2… начинается так: 0,1, 3, 6,10,15…, выраженных общей формулой 2/[n(n+1)]. Он очень хитроумно переписал это как разницу между двумя членами, то есть 2 [1/n — 1/(n+1)]. Просто выписав первые несколько элементов ряда, он увидел, что все члены ряда взаимно уничтожаются за исключением первого и последнего. Увеличивая сумму до бесконечного числа элементов, Лейбниц получил ответ 2. Ученый рассмотрел много других рядов и постепенно научился определять, сходится он или расходится. Тогда он понял, что проблема обнаружения касательной к кривой сводится к вычислению отношения разницы в ординатах и абсциссах (значений х и у), в то время когда они становятся бесконечно малыми величинами, и квадратуры зависят от суммы ординат или бесконечно узких прямоугольников, из которых состоит область, располагающаяся под кривой. В случае с числовыми рядами суммы и разности были инверсиями друг друга. То же самое получалось в задачах о касательной и квадратуре. Все это основывается на характеристиках бесконечно малого треугольника, того самого, который Ньютон описал как «соотношение бесконечно малых величин». Ключевая концепция Лейбница заключалась в том, что дифференциал dx — бесконечно малое изменение значения х. Для функции у = ƒ(х) градиент вычисляется как dy/dx, а квадратура — как ∫ydx. Обозначение интеграла может символизировать утверждение, что это сумма прямоугольников со сторонами у и dx. Первые рукописи Лейбница датируются 1675 годом, а после небольшого изменения нотации он издал свои результаты в статьях. Первая вышла в 1684 году, а вторая — в 1686-м, обе напечатали в журнале «Acta eruditorum», соиздателем которого был сам Лейбниц. В них можно найти общеизвестные теоремы дифференциального и интегрального исчислений, включая фундаментальную теорему, что дифференцирование и интегрирование — прямо противоположные процессы. Лейбниц подчеркнул: новое исчисление дает универсальный алгоритм для решения задачи касательной и квадратуры в случае с целым диапазоном функций, включая трансцендентные (термин, придуманный Лейбницем для обозначения функций типа sin х и In х), которые могут быть выражены как бесконечные степенные ряды, но не представляют собой решения алгебраических уравнений.

Результаты, полученные Лейбницем, аналогичны тем, которые отказался опубликовать Ньютон. Возникший спор о приоритете в изобретении дифференциального и интегрального исчислений омрачил последние годы жизни обоих ученых. Если говорить о датах публикаций, первое издание «Начал» вышло в 1687 году, уже после статей Лейбница в «Acta eruditorum». Ньютон послал экземпляр «Начал» Лейбницу, полагая, что тот находится в Ганновере. Лейбниц, будучи в Италии, прочитал обзор книги в 1689 году в «Acta eruditorum» и, основываясь на этом обзоре, написал статьи по механике и оптике, в которых, конечно, использовались достижения Ньютона. Многие европейцы приписывали ему открытие дифференциального и интегрального исчислений лишь благодаря успеху его предшествующих статей, опубликованных на континенте. В 1699 году в работе малоизвестного математика, представленной Королевскому обществу, упоминалось, что Лейбниц позаимствовал свои идеи у Ньютона. Последовал жесткий ответ. Лейбниц закусил удила. Он использовал «Acta eruditorum», в то время как Ньютон опирался на поддержку Королевского общества, создавшего целый комитет, чтобы тщательно изучить этот вопрос. В 1705 году в «Acta eruditorum» был опубликован неблагоприятный обзор последней публикации Ньютона, а в 1712 году комитет Королевского общества принял решение, что именно Ньютон был первым изобретателем дифференциального и интегрального исчислений. В 1726 году, после смерти Лейбница, Ньютон удалил из третьего издания «Принципов» все ссылки на Лейбница. Если бы Ньютон открыто и полностью опубликовал свои «Принципы» еще в 1669 году, возможно, неприятных баталий можно было бы избежать. Британцы придерживались ньютоновых флюксий и флюентов вплоть до начала XIX столетия, но в других странах Европы дифференциальное и интегральное исчисления развились в невероятно мощный математический аппарат именно на языке Лейбница.

Ньютон старался избегать публичности, однако в последние годы жизни много занимался общественной деятельностью. В 1696 году его назначили смотрителем Монетного двора. В 1699 году он был повышен в должности. Теперь в его обязанности входило улучшение процесса чеканки и выявление фальшивомонетчиков, которых отправляли на виселицу. В 1701 году Ньютон во второй раз представлял Кембриджский университет в парламенте. А в 1699-м был избран вторым иностранным членом-корреспондентом Французской академии наук — первым был все тот же Лейбниц. В 1703 году Ньютона избрали президентом Королевского общества, и на этой должности он оставался вплоть до самой смерти. В 1705 году королева Анна посвятила его в рыцари. Ньютон похоронен в Вестминстерском аббатстве. Вольтер так сказал о Ньютоне: «Он жил, чтимый своими соотечественниками, и был погребен, как король, облагодетельствовавший своих подданных».

Лейбниц продолжал расширять свои познания в философии, религии и универсальной логике (тем самым предвосхитив Джорджа Буля). В 1700 году он помог создать Берлинскую академию наук и собирался сделать это же в Санкт-Петербурге, но эти планы были реализованы только после смерти ученого. В 1714 году казалось, что ему придется жить в Лондоне, потому что герцог Брауншвейгский стал первым представителем Ганноверской династии, восшедшим на английский престол. Но его, человека, оказавшего множество неоценимых услуг в качестве дипломата, историка, адвоката и воспитателя, попросили остаться в библиотеке, исследуя запутанное королевское генеалогическое древо. Возможно, предполагалось, что Ньютону и Лейбницу будет ни к чему встречаться при дворе.

Чтобы закончить этот рассказ на более радостной ноте, следует сообщить, что в 1701 году, в ответ на обращение королевы Пруссии, Лейбниц написал: «Если рассмотреть математику с начала мира до времени сэра Исаака, то, что он сделал, можно смело считать лучшей ее частью». А в письме, написанном Лейбницу в 1676 году, Ньютон говорит, что «метод Лейбница получения сходящихся рядов весьма изящен, и его было бы достаточно для того, чтобы показать гений автора, даже если бы он не написал ничего другого». К счастью, история всегда будет хранить память об этих двух гениях.

Доказанное относительно кривых линий и ограниченных ими площадей легко прилагается к кривым поверхностям и объемам.

Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать утомительности длинных доказательств, основываясь по образцу древних на приведении к нелепости.

Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых, но так как самое представление неделимых грубовато (durior), то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений, поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и способом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем им пользоваться с еще большею уверенностью. Поэтому, если во всем последующем изложении я рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то следует разуметь, что это — не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это — не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам.

Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельной» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т. е. именно ту скорость, обладая которою тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем как они исчезают и не после того, но при котором исчезают. Точно так же и предельное отношение зарождающихся количеств есть именно то, с которыми они зарождаются. Предельная сумма зарождающихся или исчезающих количеств есть та составленная из них сумма, когда они, увеличиваясь или уменьшаясь, только начинают или прекращают быть.