Я решил отказаться от чисто абстрактной
геометрии, т.е. от рассмотрения вопросов, служащих лишь для упражнения
ума, чтобы заняться изучением геометрии иного рода, предмет которой
составляет объяснение явлений природы.
Рене Декарт
История математики знает не только
величайшие взлеты, но и глубокие падения. Потеря истины, бесспорно,
может считаться подлинной трагедией, ибо истины — драгоценнейшее из
достояний человечества, и утрата даже одной из них — более чем
основательная причина для огорчения. Осознание того, что сверкающая
великолепием витрина человеческого разума далеко не совершенна по своей
структуре, страдает множеством недостатков и подвержена чудовищным
противоречиям, могущим вскрыться в любой момент, нанесло еще один удар
по статусу математики. Но бедствия, обрушившиеся на математику, были
вызваны и другими причинами. Тяжелые предчувствия и разногласия между
математиками были обусловлены самим ходом развития математики за
последние сто лет. Большинство математиков как бы отгородились от
внешнего мира, сосредоточив усилия на проблемах, возникавших внутри
самой математики, — по существу, они порвали с естествознанием. Это
изменение в развитии математики нередко описывают как обращение к чистой математике, противопоставляемой прикладной
математике (ср., например, [97]). Но оба термина — прикладная
математика и чистая математика, — хотя мы также будем ими пользоваться,
не вполне точно передают суть происходившего.
Что представляла собой математика? Для
предыдущих поколений математика была прежде всего и главным образом
тончайшим творением человеческого разума, предназначенным для
исследования природы. Фундаментальные понятия, универсальные методы и
почти все наиболее важные теоремы математики были разработаны и доказаны
именно в процессе усовершенствования математики как инструмента
познания мира. Естествознание было кровью и плотью математики и питало
ее живительными соками. Математики охотно сотрудничали с физиками,
астрономами, химиками и инженерами в решении различных
научно-технических проблем, а часто и сами являлись выдающимися физиками
и астрономами. В XVII-XVIII вв., а также на протяжении большей части
XIX в. различие между математикой и теоретическим естествознанием
отмечалось крайне редко.
Многие ведущие математики, работая в области астрономии, механики,
гидродинамики, электромагнетизма и теории упругости, получили здесь
несравненно более важные результаты, чем в собственно математике.
Математика была царицей и одновременно служанкой естественных наук.
Мы уже рассказывали (гл. I-IV) о
нескончаемых усилиях, которые с античных времен предпринимало
человечество, чтобы выведать у природы ее «математические тайны». Столь
высокая приверженность изучению природы отнюдь не ограничивала
прикладную математику решением лишь физических проблем. Великие
математики нередко выходили за рамки тех проблем, которые стояли перед
естествознанием их времени. А поскольку они действительно были великими и
полностью сознавали традиционную роль своей науки, им удавалось
наметить направления исследований, которые оказывались немаловажными для
теоретического естествознания или проливали свет на понятия, уже
применявшиеся для исследования природы. Так, Пуанкаре, многие годы
посвятивший астрономии (его перу принадлежит фундаментальный трехтомный
труд «Новые методы небесной механики»), считал необходимым разрабатывать
те вопросы теории дифференциальных уравнений, которые могли
способствовать дальнейшему развитию астрономии.
Некоторые математические работы дополняли
или завершали исследования, полезность которых была установлена ранее и
ни у кого не вызывала сомнений. Так, совершенно очевидно, что если
дифференциальные уравнения одного и того же типа неоднократно
встречаются в приложениях, то разумно изучить дифференциальное уравнение
общего вида, охватывающее все частные случаи. Это позволяет разработать
более удобный или отличающийся большей общностью метод решения, а также
получить наибольшее количество сведений о всем классе решений. Одна из
отличительных особенностей математики, ее абстрактность, позволяет
описывать на математическом языке самые различные физические явления.
Так, волны на воде, звуковые и радиоволны математика описывает одним и
тем же дифференциальным уравнением, известным под названием волнового уравнения.
Те дополнительные сведения, которые математик обнаруживает, исследуя
волновое уравнение (впервые выведенное при изучении звуковых волн),
могли оказаться (и действительно оказывались) весьма полезными при
решении, например, некоторых задач из теории радиоволн. Распознавание за
внешне различными явлениями тождественных математических структур
позволяет упрочить и понять многообразие теоретических построений,
вызванных к жизни проблемами познания реального мира, и установить общую
абстрактную основу описания таких явлений.
Доказательство теорем существования решений
дифференциальных уравнений, впервые предпринятое Коши, должно было
отмести все сомнения в том, что физические проблемы, сформулированные на
языке математики, допускают решение, и тем самым вселить уверенность в
том, что поиск этих решений будет не напрасным. Так чисто математические
работы, посвященные доказательству теорем существования, облекались
физической плотью. Стимулом для работ Кантора по теории бесконечных
множеств, породивших обширную литературу, было стремление ответить на
некоторые вопросы теории бесконечных рядов — так называемых рядов Фурье, которые широко использовались в разного рода приложениях.
Развитие математики приводило к постановке и
настоятельному поиску решения проблем, не связанных непосредственно с
проблемами естествознания. Так, в XIX в. (гл. VIII) математики поняли,
что определения многих понятий страдают расплывчатостью, а в
математических рассуждениях и доказательствах немало пробелов. Движение
за математическую строгость, принявшее необычайно широкий размах, не
ставило целью решение каких бы то ни было естественнонаучных проблем,
как не преследовали такой цели и позднее возникшие различные школы,
пытавшиеся перестроить основания математики. И все же гигантская работа
по перестройке оснований математики, производимая в интересах самой этой
науки, несомненно, явилась откликом на насущные проблемы не только
чистой, но и прикладной математики.
Многие чисто математические работы дополняют
и подкрепляют своими результатами старые, хорошо разработанные области
математики или способствуют открытию новых направлений, которые обещают
стать важными для различных приложений. Такого рода работы можно
рассматривать как прикладную математику в самом широком смысле.
Но разве сто лет назад и ранее, спросит
читатель, не было математики, созданной лишь ради нее самой,
безотносительно к каким бы то ни было приложениям? Разумеется, была.
Великолепный примером чистой математики может служить теория чисел.
Хотя пифагорейцы считали, что, изучая целые числа, они постигают
сокровенные тайны внутреннего строения материальных объектов (гл. I),
впоследствии теория чисел стала совершенно самостоятельной наукой. Одним
из первых математиков, изучавших числа «сами по себе», был Ферма.
Начало проективной геометрии положили художники эпохи
Возрождения, стремившиеся к реализму в живописи, а Жирар Дезарг и Блез
Паскаль превратили проективную геометрию в последовательный метод
получения новых результатов евклидовой геометрии. Но в XVIII в. работы
Дезарга и Паскаля были забыты, а когда в XIX в. математики вновь
обратились к проективной геометрии, они занимались ей главным образом из
чисто эстетических побуждений, хотя от внимания наиболее проницательных
геометров не ускользнули важные связи между проективной и неевклидовой
геометриями. Многие проблемы были решены сами по себе только потому, что
они заинтересовали кого-то из математиков и тем захотелось испытать
свои силы.
Чистая математика, полностью оторванная от
запросов естествознания, никогда не находилась в центре забот и
интересов математиков. Ей отводилась роль своего рода забавы,
отдохновения от гораздо более важных и увлекательных проблем,
выдвигаемых естественными науками. Так, создатель теории чисел Ферма
большую часть своего времени отдавал разработке аналитической геометрии,
решению различных задач математического анализа и оптики (гл. VI). Он
попытался заинтересовать теорией чисел Паскаля и Гюйгенса, но потерпел
неудачу. В XVIII в. столь абстрактная наука, как теория чисел, привлекала лишь очень немногих математиков.
Эйлер, научные интересы которого были весьма
разносторонними, не обошел вниманием и теорию чисел. Однако Эйлер был
не только величайшим из математиков XVIII в., но и признанным
авторитетом в области математической физики. Его работы поражают
необычайной широтой: от глубоких математических методов решения
физических проблем, например методов решения дифференциальных уравнений,
до астрономии, гидродинамики, рационального конструирования судов и
парусов, артиллерии, картографии, теории музыкальных инструментов и
оптики.
Теорией чисел занимался и Лагранж, но
основное время он уделял математическому анализу — области математики,
жизненно важной для приложений (гл. III). Его шедевром по праву
считается «Аналитическая механика» (Mécanique analitique),
посвященная применению математических методов, в механике. В 1777 г.
Лагранж пожаловался одному из друзей: «Исследования по теории чисел
стоят мне наибольших усилий, но, должно быть, имеют наименьшую
ценность». Гаусс также посвятил теории чисел одну из своих величайших
работ «Арифметические исследования» (Disquisitiones arithmeticae,
1801), которая по праву считается классической. Тот, кто прочитал
только этот труд Гаусса, мог бы подумать, что автор «Арифметических
исследований» — чистый математик. Но главной областью его деятельности
была прикладная математика (гл. VI). Феликс Клейн в «Лекциях о развитии
математики в XIX в.» [98] называет «Арифметические исследования»
юношеской работой Гаусса.
Хотя Гаусс в дальнейшем неоднократно
возвращался к теории чисел, он явно не считал ее важнейшим разделом
математики. Ему нередко предлагали заняться доказательством Великой теоремы Ферма, гласящей, что при n > 2 никакие целые числа x, y и z не удовлетворяют соотношению x + y = z
[99]. Но в письме Вильгельму Ольберсу от 21 марта 1816 г. Гаусс
заметил, что гипотеза Ферма — это изолированная, ни с чем не связанная
теорема и поэтому не представляет особого интереса. Имеется немало
гипотез, добавил Гаусс, которые пока не удалось ни доказать, ни
опровергнуть, но сильная занятость другими делами не оставляет времени
для задач того типа, которые рассмотрены в «Арифметических
исследованиях». Гаусс надеялся, что гипотезу Ферма удастся доказать на
основе другой выполненной им работы, но и тогда теорема Ферма будет
одним из наименее интересных следствий из более общих его результатов.
Обычно в подтверждение того, что Гаусс,
якобы, отдавал предпочтение чистой математике, приводят его знаменитое
высказывание: «Математика — царица всех наук, арифметика — царица
математики. Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим
естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место,
несомненно, останется за ней». Однако вся научная деятельность Гаусса
свидетельствует об обратном, и, возможно, это нехарактерное для Гаусса
высказывание, должно быть, вырвалось у него под влиянием минуты.
Подлинный же девиз всей его деятельности такой: «Ты, природа, моя
богиня, твоим законам я преданно служу». По иронии судьбы именно
необычайно тщательный подход Гаусса ко всему, что касалось
согласованности математики с природой, привел — через его работы по
неевклидовой геометрии — к глубоким и драматическим последствиям,
подорвав веру Гаусса в истинность математических законов. В целом же по
поводу математики до начала XX в. можно сказать, что хотя чистая
математика уже и существовала, не было ни одного чистого математика.
Несколько событий в корне изменили отношение
математиков к их собственной науке. Первым в ряду таких событий стало
осознание того, что математика не является более сводом незыблемых истин
о природе (гл. IV). Гаусс отчетливо показал это на примере геометрии, а
появление кватернионов и матриц с их некоммутативным умножением
ускорило понимание того, что даже обычная арифметика целых чисел не
может рассматриваться как априорное знание — обстоятельство, которое
Гельмгольц довел до сведения всего математического мира. Хотя это
открытие не поставило под сомнение приложимость математики к описанию
реального мира, но все же оправданием усилий математиков более не могла
считаться надежда на отыскание абсолютной истины или единого закона
всего сущего.
Столь выдающиеся достижения математической
мысли, как неевклидова геометрия и кватернионы, казалось, явно не
согласуются с природой, хотя их создатели и исходили из физических
соображений.
Тем не менее и неевклидова геометрия, и кватернионы, как выяснилось
впоследствии, вполне применимы к описанию реального мира. Осознание
того, что творения человеческого ума, равно как и все понятия,
традиционно считавшиеся внутренне присущими «плану мироздания», весьма
пригодны для описания природы, вскоре привело к развитию совершенно
нового подхода к математике. Почему это не может случиться с творениями
человеческого разума и в будущем? Многие математики пришли к выводу, что
заниматься решением проблем, так или иначе связанных с реальным миром,
совершенно не обязательно: ведь и математика как свод идей, зародившихся
в человеческом разуме, рано или поздно непременно окажется полезной.
Более того, чистое мышление, не стесняемое необходимостью следовать за
физическими явлениями, обретает большую свободу и соответственно
продвигается дальше. Человеческое воображение, не знающее оков, создает
более мощные теории, которые способствуют более глубокому пониманию
реального мира и овладению природой.
Были и другие причины, побудившие
математиков отойти от изучения реального мира. Широкий размах
математических и естественнонаучных исследований не позволял ученым
чувствовать себя одинаково свободно и в математике, и в естественных
науках. Стоящие перед естествознанием проблемы, подобные тем, в решении
которых ранее неизменно принимали участие великие математики, ныне
становились все более сложными. Так почему бы, решили математики, не
ограничить свою деятельность рамками чистой математики и тем не
облегчить себе работу?
Существовала еще одна причина, вынудившая
многих математиков обратиться к проблемам чистой математики.
Естественнонаучные проблемы редко удается решить окончательно раз и
навсегда. Обычно ученые получают все лучшее приближение, но отнюдь не
полное решение задачи. Основные научные проблемы, например проблема трех
тел, т.е. описания движения трех тел (скажем, Солнца, Земли и Луны),
каждое из которых притягивает два других тела, по-прежнему остаются
нерешенными. Как заметил Фрэнсис Бэкон, изощренность природы неизмеримо
превосходит человеческую мудрость. А чистая математика, напротив, дает
нам примеры четко поставленных проблем, допускающих полное решение. Для
человеческого разума такие четко поставленные и до конца решаемые
проблемы обладают особой привлекательностью в отличие от проблем
недосягаемой глубины и неисчерпаемой сложности. Немногие проблемы,
устоявшие перед натиском математиков нескольких поколений (например,
гипотеза Гольдбаха), формулируются подкупающе просто.
Говоря о мотивах, побуждающих обращаться к
проблемам чистой математики, нельзя не упомянуть о давлении, оказываемом
на математиков со стороны тех учреждений, где они работают, например
университетов, — требовании публиковать результаты своих исследований.
Поскольку для решения прикладных проблем необходимы обширные познания по
крайней мере в одной из естественных наук и в математике, а нерешенные
проблемы по трудности превосходят чисто математические, гораздо легче
придумывать свои собственные задачи и решать то, что возможно решить.
Профессора не только сами выбирают проблемы, поддающиеся решению, но и
предлагают их своим ученикам в качестве тем для диссертаций. При этом
профессора во многих случаях действительно могут помочь диссертантам
преодолеть любые встречающиеся на их пути трудности.
Назовем несколько направлений, в которых
развивается современная чистая математика, — это позволит читателю лучше
понять различие между чисто математическими и прикладными проблемами.
Одно из таких направлений — абстракция. После того как Гамильтон
ввел кватернионы, которые он намеревался применить к решению физических
проблем, другие математики поняли возможность существования не одной, а
многих алгебр и занялись поиском всех возможных алгебр, не задумываясь
над тем, насколько они применимы к описанию реального мира. Это
направление математической деятельности процветает и поныне; оно
является одним из направлений абстрактной алгебры.
Другое направление чистой математики — обобщение.
Конические сечения (эллипс, парабола и гипербола) описываются
алгебраическими уравнениями второй степени. В приложениях встречаются
также кривые, описываемые уравнениями третьей степени. Обобщение
позволяет перепрыгнуть сразу к кривым, описываемым алгебраическими
уравнениями n-й степени, и подробно изучить их свойства, хотя такие кривые вряд ли могут помочь нам при описании явлений природы.
Обобщение и абстракция, предпринятые с
единственной целью — написать очередную статью для «отчета», как
правило, не представляют ценности с точки зрения приложений.
Подавляющее большинство работ такого рода посвящено переформулировке на
более общем и более абстрактном языке с использованием новой
терминологии того, что было известно и раньше, но излагалось на более
простом и частном языке. Что же касается приложений математики, то здесь
такая переформулировка не дает ни более мощного метода, ни более
глубокого понимания. Распространение новомодной терминологии, как
правило искусственной и не связанной с какими-либо физическими идеями,
хотя и направленной якобы на модернизацию идей, заведомо не способствует
более эффективному применению математики, а, наоборот, затрудняет его.
Это новый язык, но не новая математика.
Третье направление, избираемое чистой математикой, — специализация.
Еще Евклид ставил и решал вопрос о том, существует ли бесконечно много
простых чисел. Теперь «естественно» спросить, существует ли простое
число среди любых семи последовательных целых чисел. Пифагорейцы ввели
понятие дружественных чисел. Два числа называются дружественными,
если сумма делителей одного числа равна другому числу. Например, 284 и
220 — дружественные числа. Один из лучших специалистов по теории чисел
Леонард Диксон предложил задачу о дружественных тройках чисел. «Мы будем
говорить, что три числа образуют дружественную тройку, если сумма
собственных делителей каждого числа равна сумме двух других чисел», —
писал Диксон и поставил задачу об отыскании таких троек. Другой пример
подобного рода относится к так называемым степенным числам. Условимся называть натуральное число n степенным, если из того, что n делится на простое число p, следует, что оно делится и на p (другими словами, если в «каноническом» разложении n = р∙р∙…∙p числа n на простые множители все показатели степени α, α, …, α ≥ 2).
Существуют ли положительные целые числа (отличные от 1 и 4),
представимые бесконечно многими способами в виде разности двух
взаимно-простых степенных чисел?
Мы выбрали приведенные выше примеры
специализации потому, что их нетрудно сформулировать и понять, хотя
кажущаяся простота отнюдь не соответствует сложности и глубине таких
проблем. Однако специализация распространилась настолько широко, а
проблемы настолько сузились, что к большинству современных отраслей
математики вполне применимо высказывание, некогда несправедливо
адресованное теории относительности: во всем мире вряд ли найдется
дюжина людей, понимающих эту теорию.
Распространение специализации приняло столь
широкие масштабы, что группа выдающихся французских математиков,
выступающих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, группа,
заведомо не занимающаяся прикладной математикой, сочла необходимым выступить с критикой сложившегося положения:
...
Многие из математиков устраиваются в
каком-нибудь закоулке математической науки, откуда они и не стремятся
выйти, и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается
предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию
своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого
математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы
не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного
математического мира; что же касается тех, кто, подобно Пуанкаре или
Гильберту, оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то
они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение.
За страсть к специализации математика платит
бесплодием. Способствуя виртуозности, специализация редко приводит к
значительным результатам.
Абстракция, обобщение и специализация — три
направления деятельности, избираемых чистыми математиками. Четвертое
направление — аксиоматизация. Развернувшееся в XIX в. движение за
аксиоматизацию, несомненно, способствовало укреплению оснований
математики, хотя последнее слово в решении проблем, связанных с
основаниями математики, осталось не за аксиоматикой. Но вскоре многие
математики принялись за тривиальную модификацию только что созданных
аксиоматических систем. Одним удавалось показать, что некую аксиому
можно сформулировать проще, если воспользоваться другой ее редакцией.
Другие показывали, что если пожертвовать простотой формулировки, то три
аксиомы можно свести всего лишь к двум аксиомам. Третьи вводили новые
неопределяемые термины и, перекроив все аксиомы, приходили к тому же
множеству теорем.
Не вся аксиоматизация, как мы уже говорили,
была напрасной тратой сил. Но те небольшие модификации, которые
удавалось внести в существующие аксиоматические системы, чаще всего не
имели особого значения. В то время как решение проблем реального мира
требует величайшего напряжения и полной отдачи сил, поскольку
возникающие задачи обычно необходимо решить во что бы то ни стало,
аксиоматика позволяет различного рода вольности. По существу
аксиоматизация есть не что иное, как производимая человеком глубинная
организация больших разделов науки; при этом, конечно, не имеет особого
значения, какой именно системе аксиом из многих возможных будет отдано
предпочтение и сколько аксиом (пять, пятнадцать, двадцать) содержит тот
список аксиом, которого мы намерены придерживаться. Недаром поиск
многочисленных вариантов систем аксиом, которому посвятили немало
времени даже выдающиеся математики, получил название «игры с
постулатами».
В первые десятилетия XX в. на аксиоматику
тратилось столько времени и труда, что в 1935 г. Герман Вейль, полностью
сознавая ценность аксиоматизации, посетовал на оскудение ее плодов и
призвал математиков вновь заняться содержательными проблемами. По мнению
Вейля, аксиоматика лишь придает содержательной математике точность и
организует ее. Аксиоматика выполняет функцию каталогизации или
классификации.
Разумеется, далеко не все абстракции,
обобщения, специальные проблемы и аксиоматику можно отнести к чистой
математике. О ценности такого рода работ и об исследованиях по
основаниям математики мы уже говорили. Чтобы ответить на вопрос, с какой
математикой — чистой или прикладной — мы имеем дело, необходимо
выяснить мотивы исследования. Для чистой математики характерен полный
отрыв от каких бы то ни было приложений, непосредственных или
потенциальных. Дух чистой математики наиболее полно проявляется в ее
непредвзятом отношении к проблемам: любая проблема есть проблема.
Некоторые чистые математики ссылаются на то, что любое математическое
исследование потенциально полезно, поскольку в будущем вполне может
найти применение, которое трудно предвидеть заранее. Тема
математического исследования — своего рода участок местности в районе,
богатом залежами нефти. Темные лужи на поверхности земли свидетельствуют
о целесообразности поискового бурения. Если из скважины пойдет нефть,
то участок повышается в цене. После того как нефть на участке
обнаружена, бурятся новые скважины в надежде, что и они дадут нефть,
если места для бурения выбраны не слишком далеко от первой скважины.
Разумеется, можно было бы заложить новую скважину и вдали от первой —
там, где бурить легче, — и все же надеяться, что и из нее забьет фонтан
нефти. Но силы и изобретательность человека не беспредельны, поэтому
математикам приходится соразмерять затрачиваемые усилия со степенью
риска. Как заметил один из создателей термодинамики и статистической
физики Джозайя Уиллард Гиббс, чистый математик может делать все что ему
вздумается, но математик-прикладник должен, по крайней мере отчасти,
внимать здравому смыслу.
Критику чистой математики — математики ради
математики — можно найти в сочинении Фрэнсиса Бэкона «О достоинстве и
приумножении наук» (1620). Бэкон возражал против чистой, мистической и
самодовольной математики, «полностью абстрагированной от материи и от
физических аксиом» ([23], т. 1, с. 237), сетуя на то, что «таково уж
свойство человеческого ума: не имея достаточно сил для решения важных
проблем, он тратит себя на всякие пустяки» ([23], т. 1, с. 238).
Значение прикладной математики Бэкон понимал следующим образом:
...
В природе существует много такого, что не
может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно
доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без
помощи и вмешательства математики. Это можно сказать о перспективе,
музыке, астрономии, космографии, архитектуре, сооружении машин и
некоторых других областях знания… По мере того как физика день ото дня
будет приумножать свои достижения и выводить новые аксиомы, она будет во
многих вопросах нуждаться все в большей помощи математики, и это
приведет к созданию еще большего числа областей смешанной математики.
Во времена Бэкона математикам не нужно было
напоминать о необходимости заниматься решением физических проблем. В
наши дни математика отделилась от естествознания. За последние сто лет
произошел раскол между теми, кто сохранил верность древним возвышенным
мотивам математической деятельности, до сих пор питавшим математику
глубокими и плодотворными темами исследований, и теми, кто плывет по
воле ветра, изучая все, что подсказывает ему необузданное воображение.
Ныне математика и естественные науки идут разными путями. Новые
математические понятия вводятся без всякой попытки найти им приложения.
Более того, математики и представители естественных наук перестали
понимать друг друга, и нас вряд ли может утешить то, что вследствие
чрезмерной специализации даже сами математики уже не понимают друг
друга.
Отход от «реальности», занятия математикой
ради самой математики с самого начала вызывали бурные споры. В своем
классическом труде «Аналитическая теория тепла» (1822) Фурье с
энтузиазмом повествует о математическом подходе к решению физических
проблем:
...
Глубокое изучение природы — наиболее
плодотворный источник математических открытий. Такое изучение не только
обладает преимуществами хорошо намеченной цели, но и исключает
возможность неясной постановки задач и бесполезных выкладок. Оно
является надежным средством построения самого анализа и позволяет
открывать наиболее значительные идеи, которым суждено навсегда
сохраниться в науке. Фундаментальны те идеи, которые отражают явления
природы…
Главная отличительная особенность
[математического подхода] — его ясность; в нем нет символов, которые
выражали бы смутные идеи. Он сводит вместе самые различные явления и
обнаруживает объединяющие их скрытые аналогии. Даже если материя
ускользает от нас, подобно воздуху и свету, по причине своей крайней
тонкости, даже если мы хотим понять, как выглядят небеса на протяжении
последовательных периодов, разделяемых многими столетиями, даже если
сила тяжести и тепло действуют внутри земного шара на глубинах, которые
навсегда останутся недоступными, математический анализ позволяет постичь
законы всех этих явлений, Он делает их как бы видимыми и измеримыми и,
должно быть, является способностью человеческого разума, призванной
возместить кратковременность жизни и несовершенство наших чувств. Но еще
более замечательно, что при изучении всех явлений математический анализ
следует одному и тому же методу: он переводит все эти явления на один и
тот же язык, как бы подчеркивая единство и простоту структуры
окружающего нас мира и делая еще более заметным незыблемый порядок,
правящий в природе всей материей.
Карлу Густаву Якобу Якоби принадлежат
первоклассные результаты в области механики и астрономии. Тем не менее
он счел необходимым выступить против высказанного Фурье мнения с
критическими замечаниями, которые, однако, в лучшем случае можно назвать
односторонними. В письме Адриену Мари Лежандру от 2 июля 1834 г. Якоби
писал:
...
Фурье усматривает главное назначение
математики в общественной пользе и объяснении явлений природы, но такому
ученому, как он, следовало бы знать, что единственная цель науки
состоит в прославлении человеческого разума, поэтому любая задача теории
чисел заслуживает ничуть не меньшего внимания, чем любой вопрос о нашей
планетной системе.
Разумеется, специалисты по математической
физике не разделяли взглядов Якоби. Лорд Кельвин (Уильям Томсон,
1824-1907) и Питер Гутри Тэйт (1831-1901) провозгласили в 1867 г., что
лучшая математика — та, которую подсказывают приложения. Именно
приложения приводят к «наиболее удивительным теоремам чистой математики,
редко выпадающим на долю тех математиков, которые ограничивают себя
рамками чистого анализа и геометрии, вместо того чтобы обращаться
к богатой и прекрасной области математической истины, лежащей в русле
физических исследований».
Многие математики также с осуждением
относились к тяге своих коллег к чистой математике. Так, в 1888 г.
Кронекер писал Гельмгольцу, внесшему значительный вклад в развитие
математики, физики и медицины: «Ваш богатый практический опыт работы с
разумными и интересными проблемами укажет математикам новое направление и
придаст им новый импульс… Односторонние и интроспективные
математические умозаключения приводят к областям, от которых нельзя
ожидать сколько-нибудь ценных плодов».
В 1895 г. Феликс Клейн, бывший в то время
признанным главой математического мира, также счел необходимым выразить
протест против тяги к абстрактной, чистой математике:
...
Трудно отделаться от ощущения, что быстрое
развитие современной мысли таит для нашей науки опасность все более
усиливающейся изоляции. Тесная взаимосвязь между математикой и
теоретическим естествознанием, существовавшая к вящей выгоде для обеих
сторон, с возникновением современного анализа грозит прерваться.
К этой же теме Клейн возвращается в «Математической теории волчка» (1897):
...
В математической науке назрела насущная
необходимость восстановить тесную взаимосвязь между чистой наукой и теми
разделами естественных наук, где математика находит наиболее важные
приложения, ту взаимосвязь, которая столь плодотворно проявила себя в
трудах Лагранжа и Гаусса.
Пуанкаре в «Науке и методе», несмотря на
язвительные замечания по поводу некоторых чисто логических построений
математиков конца XIX в. (гл. VIII), признает полезность математических
исследований о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях со
странным ходом. Чем более эти размышления уклоняются от наиболее
общепринятых представлений, а следовательно, и от природы и прикладных
вопросов, тем яснее они «показывают нам, на что способен человеческий
ум, когда он постепенно освобождается от тирании внешнего мира, тем
лучше мы познаем ум в его внутренней сущности». Но все же «главные силы
нашей армии приходится направлять в сторону противоположную, в сторону
изучения природы» ([1], с. 302). В «Ценности науки» Пуанкаре писал:
...
Нужно было бы окончательно забыть историю
науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое
постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики… Если бы
чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился
бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски и формы, но у
которого нет моделей. Его творческая сила скоро иссякла бы.
Несколько позже, в 1908 г., ту же тему
подхватил Феликс Клейн. Его беспокоило, как бы математики не стали
злоупотреблять чрезмерной свободой в создании произвольных
математических структур. Произвольные структуры, предостерегал Клейн, —
«смерть всякой науки». Аксиомы геометрии «не произвольные, а вполне
разумные утверждения, как правило опирающиеся на наше восприятие
пространства. Точное содержание геометрических аксиом определяется их
целесообразностью». Занимаясь обоснованием аксиом неевклидовой
геометрии, Клейн подчеркивал, что аксиома Евклида о параллельных, как
того требуют наглядные представления, выполняется лишь с точностью, не
превышающей определенные пределы. По другому случаю Клейн заметил, что
«тот, кто пользуется привилегией свободы, должен нести и бремя
ответственности». Под ответственностью Клейн понимал служение интересам
познания природы.
К концу жизни Клейн, возглавлявший
математический факультет Гёттингенского университета и созданный при нем
институт математики — в то время признанный центр математического
мира, — счел необходимым еще раз выразить свой протест против
чрезмерного увлечения чистой математикой. В книге «Лекции о развитии
математики в XIX в.» (1925) он напомнил об интересе, который Фурье питал
к решению практических задач самыми лучшими из существовавших в начале
XIX в. математических методов, и противопоставил прикладную
направленность интересов основателей математической физики чисто
математической утонченности методов и абстрактности идей математики
XX в. Далее в «Лекциях» говорится следующее:
...
Если мне позволено будет пояснить свою
мысль примером, я сказал бы, что математика в наши дни напоминает
крупное оружейное производство в мирное время. Витрина заполнена
образцами, которые своим остроумием, искусным и пленяющим глаз
выполнением восхищают знатока. Собственно происхождение и назначение
этих вещей, их способность стрелять и поражать врага отходят в сознании
людей на задний план и даже совершенно забываются.
Рихард Курант, сменивший Клейна на посту
главы Гёттингенского математического института, а позднее возглавивший
Курантовский институт математических наук при Нью-Йоркском университете,
также неодобрительно относился к увлечению чистой математикой. Так,
предисловие к первому изданию «Методов математической физики» Куранта и
Гильберта (1924) Курант начал следующими словами:
...
Испокон века математика черпала мощные
импульсы из тесных взаимоотношений, существующих между проблемами и
методами анализа и наглядными представлениями физики. Лишь последние
десятилетия принесли с собой ослабление этой связи, математическое
исследование стало часто отрываться от своих наглядных истоков и
(особенно в анализе) занялось слишком исключительно уточнением своих
методов и уточнением своих понятий. Это привело к тому, что у многих
представителей анализа исчезло сознание взаимной связи их науки с
физикой и другими дисциплинами, а физики, с другой стороны, часто
утрачивали понимание проблем и методов математики и даже ее языка и всей
сферы ее интересов. Без сомнения, в этой тенденции таится угроза для
науки вообще: потоку научного развития грозит опасность все большего
разветвления, оскудения и высыхания. Чтобы избежать этой участи,
необходимо значительную часть наших усилий направить к тому, чтобы вновь
соединить разделенное, выясняя внутренние связи разнородных фактов и
объединяющих точек зрения. Только таким путем изучающему открывается
возможность действительного овладения предметом, а исследователю
подготовляется почва для органического дальнейшего развития.
В 1939 г. Курант писал:
...
Серьезная угроза самой жизни науки
проистекает из утверждения о том, будто математика представляет собой не
что иное, как систему заключений, выводимых из определений и
постулатов, которые должны быть непротиворечивыми, а в остальном
произвольными порождениями свободной воли математиков. Если бы подобное
описание соответствовало действительности, то в глазах любого
сколько-нибудь разумного человека математика не обладала бы никакой
привлекательностью. Она была бы ничем не мотивированной бесцельной игрой
с определениями, правилами и силлогизмами. Представление о том, будто
разум по своему произволу может создавать осмысленные аксиоматические
системы, — полуправда, способная лишь вводить неискушенных людей в
заблуждение. Только сдерживаемый дисциплиной ответственности перед
органическим целым свободный разум, руководствуясь внутренней
необходимостью, может создавать результаты, имеющие научную ценность.
Аналогичное мнение выразил в 1943 г. на страницах журнала American Scientist ведущий американский математик того времени Джордж Дэвид Биркгоф (1884-1944);
...
Я надеюсь, что в будущем все больше
физиков-теоретиков будут обретать глубокие познания математических
принципов, а математики не станут ограничиваться чисто эстетическим
развитием математических абстракций.
Ситуацию, сложившуюся к 1944 г., Джон Л.
Синдж, признанный специалист по математической физике, описал (в духе
Бернарда Шоу) в пространном предисловии к одной весьма специальной
статье, доступной пониманию лишь профессиональных математиков:
...
Большинство математиков имеют дело с
идеями, которые, по всеобщему мнению, принято относить к математике.
Математики образуют замкнутую гильдию. Всякий вступающий в нее дает обет
оставить все мирское и обычно сдерживает свою клятву. Лишь немногие
математики странствуют «на чужбине» в поисках математического пропитания
в проблемах, заимствованных непосредственно из других областей науки. В
1744 или в 1844 г. такими странниками было подавляющее большинство
математиков. В 1944 г. они составляют столь небольшую часть математиков,
что большинству необходимо напоминать о существовании меньшинства и
объяснять точку зрения тех, кто его составляет.
Представители меньшинства не желают, чтобы
их называли «физиками» или «инженерами», ибо они следуют математической
традиции, существующей более двадцати веков и связанной с именами
Евклида, Архимеда, Ньютона, Лагранжа, Гамильтона, Гаусса, Пуанкаре.
Меньшинство отнюдь не желает умалять работу большинства, но опасается,
что если математика будет питаться только собственными соками, то со
временем движущие ею стимулы исчерпают себя.
Помимо влияния на будущее собственно
математики изоляция математиков лишила остальные науки поддержки, на
которую в прежние времена они неизменно рассчитывали… Изучение природы
породило (и, по-видимому, продолжает порождать) несравненно более
трудные проблемы, чем те, которые математики придумали, находясь в кругу
своих собственных идей. Ученые, занимавшиеся изучением естественных
наук, полагались на математиков в надежде, что те обратят свою энергию
на решение этих трудных проблем. Ученым-естественникам известно, что
математики искусно используют готовые средства, но этим их не удивишь —
ученые и сами владеют готовыми, средствами едва ли не с меньшим
искусством. В математиках их привлекают некие особые черты — присущие
математикам логическая изощренность и умение видеть общее в частном и
частное в общем…
При все том математики выступают в роли
направляющей и дисциплинирующей силы. Именно математики дали
естествознанию методы вычислений: логарифмы, дифференциальное и
интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и т.д. Но этим вклад
математиков в естествознание далеко не исчерпывается. Математики
наделили естествознание общим планом, неотступно следили за логичностью
естественнонаучного мышления. По мере возникновения каждой новой науки
математики подводили (или по крайней мере пытались подводить) под нее
надежное логическое основание — подобное тому, что Евклид подвел под
египетское землемерие. В руки математиков попадал необработанный камень с
множеством посторонних вкраплений. Из рук математиков выходил
великолепно ограненный и отполированный бриллиант.
Здание современной науки гудит от кипучей
деятельности, какой наука не знала в прежние времена. Нет никаких
видимых признаков упадка. И только самые наблюдательные смогли заметить,
что часовой покинул свой пост. Он не отправился на покой — работает,
как всегда, не покладая рук, но работает только для себя…
Итак, окончен бал. Сколько радости было,
пока он длился!.. Природа по-прежнему продолжает подкидывать глубокие
проблемы, но они уже не доходят до математиков. В ожидании противника
они сидят в своей башне из слоновой кости, вооруженные до зубов, но
противник так и не появляется. Природа не ставит перед математиками
четко сформулированных проблем. Добыть ясно поставленную задачу можно,
лишь вооружившись киркой и лопатой, и тот, кто боится испачкать руки,
никогда ни одной сколько-нибудь стоящей задачи не найдет.
Изменения и смерть в мире идей столь же
неизбежны, как и в делах человеческих, и любящему истину математику не
пристало делать вид, будто их нет, когда в действительности они имеют
место. Невозможно искусственно стимулировать глубокие источники
интеллектуальной деятельности. Что-то либо захватывает наше воображение,
либо не затрагивает его, и в последнем случае никакими усилиями не
удастся раздуть пламя. Если математики действительно утратили издавна
присущую им особенность и видят перст божий не в движении звезд, а в
доведении до пределов мыслимого совершенства и без того точной логики,
то все попытки вернуть их в старое убежище обречены на провал, не говоря
уже о том, что такие попытки означали бы по существу отрицание права
человека на свободу разума. Но каждый начинающий математик,
формулирующий свою собственную философию (а этот этап наступает в жизни
каждого математика), должен принимать решение, располагая всей полнотой
фактов. Он должен понимать, что, следуя тенденциям современной
математики, становится наследником великой традиции, но наследует не все
ее состояние. Часть наследства перешло в другие руки и навсегда
потеряна для него…
Наша наука началась с математики и,
несомненно, недолго протянет после того, как из нее изымут математику
(если такое изъятие вообще возможно). В нашем столетии множится число
лабораторий для массового производства фактов. Останутся ли добываемые
факты просто фактами или обратятся в науку, зависит от того, в какой
степени они войдут в соприкосновение с духом математики.
|
