Математизация науки - 15 Августа 2014 - Блог

Если убеждение в том, что математические законы естествознания представляют собой истины, органически включенные господом богом в созданный им план Вселенной, и подвергалось каким-то сомнениям, то они были окончательно развеяны Исааком Ньютоном (1643-1727). Хотя Ньютон был профессором математики Кембриджского университета и по праву считается одним из величайших математиков всех времен, его значение как физика превосходит его математическую репутацию. Работы Ньютона положили начало новой эре и послужили основой новой методологии естествознания, отводившей математике более значительную и фундаментальную роль, чем это было прежде.

В трудах Коперника, Кеплера, Декарта, Галилея и Паскаля было доказано, что некоторые явления природы протекают в соответствии с математическими законами. Все эти ученые не только были глубоко убеждены в том, что бог сотворил Вселенную по математическому плану, но и утверждали, что математическое мышление человека согласуется с божественными предначертаниями и потому пригодно для расшифровки этого плана. Философия (или методология) науки, господствовавшая в XVIII в., была сформулирована и подробно разработана Декартом. Именно Декарту принадлежит известное высказывание о том, что вся физика сводится к геометрии, которую и сам Декарт, и другие авторы той поры рассматривали как синоним математики. В то же время картезианство — научная методология Декарта, разделяемая большинством предшественников Ньютона, в том числе Гюйгенсом, отводила естествознанию автономную от математики роль, вменяя в обязанность человеку поиск физических объяснений явлений природы.

Греки, главным образом Аристотель, также пытались объяснять явления природы с помощью физических понятий. Главенствующая в классическую эпоху теория утверждала, что вся материя построена из четырех элементов (земли, воздуха, огня и воды), наделенных одним или несколькими свойствами (тяжестью, легкостью, сухостью и влажностью). Наблюдаемое поведение материи объясняется различными сочетаниями этих свойств. Так, огонь стремится вверх, потому что он легкий, а земная материя падает, так как она наделена таким свойством, как тяжесть. К свойствам, которые греки приписывали четырем основным элементам, средневековые ученые добавили множество новых, например симпатию, вызывающую взаимное притяжение тел (железа и магнита), и антипатию, которой объяснялось взаимное отталкивание тел.

Декарт отверг все эти свойства и стал утверждать, что все физические явления могут быть объяснены материей и движением. Существенным признаком материи Декарт считал протяженность, а так как протяженность измерима, то она может быть сведена к математике. Более того, протяженность не существует вне материи. Следовательно, пустота невозможна. Материя же взаимодействует с материей лишь при непосредственном соприкосновении и состоит из мельчайших невидимых частиц, различных по своим размерам, форме и другим свойствам. Так как частицы материи слишком малы и поэтому их невозможно наблюдать, для объяснения более крупных по своим масштабам явлений необходимо принять определенные гипотезы о поведении частиц. Все пространство заполнено частицами, образующими иногда скопления значительных размеров, например планеты Солнечной системы. Такова сущность теории вихрей Декарта.

Декарт стал основоположником механистической теории. Его последователями были французский философ и священник Пьер Гассенди (1592-1655), английский философ Томас Гоббс (1588-1679) и голландский математик и физик Христиан Гюйгенс (1629-1695). Так, в «Трактате о свете» (1690) Гюйгенс попытался объяснить оптические явления, исходя из гипотезы, что все пространство заполнено частицами эфира, по которым — от одной к другой — передается движение света. Полное название сочинения Гюйгенса — «Трактат о свете, в котором объяснены причины того, что с ним происходит при отражении и преломлении, в частности при странном преломлении исландского шпата» [19]. В первой главе «Трактата о свете» Гюйгенс утверждает, что в истинной философии «причину всех естественных явлений постигают при помощи соображений механического характера», и добавляет, что, по его мнению, «так и следует поступать, в противном случае приходится отказаться от всякой надежды когда-либо и что-нибудь понять в физике» ([19], с. 12). Гассенди расходится во мнении с Гюйгенсом лишь в одном: он считает, что атомы движутся в пустоте.

Физические гипотезы, касающиеся поведения мельчайших частиц, позволяли, по крайней мере в общих чертах, объяснить крупномасштабные явления в природе; однако они имели чисто умозрительный характер. Кроме того, физические гипотезы Декарта и его последователей были не количественными, а лишь качественными. Они позволяли объяснять явления, но не давали возможности предсказывать: результаты наблюдения или экспериментов для картезианцев всегда оказывались неожиданными. Лейбниц назвал весь свод подобных физических гипотез не более чем прекрасной выдумкой.

Начало иной философии науки было положено Галилеем, который провозгласил, что наука должна стремиться к математическому описанию явления, а не к физическому объяснению его. Кроме того, физические принципы надлежит выводить из экспериментов и индуктивных умозаключений, сделанных на основании результатов опытов. Следуя этой философии, Ньютон под влиянием своего учителя Исаака Барроу изменил весь ход научного развития, приняв вместо физических гипотез математические посылки, что позволило делать достоверные предсказания, к которым призывал Фрэнсис Бэкон. Следует особо подчеркнуть, что свои математические посылки Ньютон выводил из экспериментов и наблюдений.

Предтечей Ньютона был Галилей, изучавший свободное падение тела и движение тел, брошенных под углом к горизонту. Исаак Ньютон рассмотрел гораздо более широкую проблему, занимавшую умы ученых в середине XVII в.: можно ли установить связь между законами движения земных тел, открытыми Галилеем, и законами движения небесных тел, открытыми Кеплером? Идея о том, что законы любого движения должны следовать из небольшого числа универсальных законов, может показаться грандиозной и необычной, хотя религиозным математикам XVII в. она представлялась весьма естественной. Бог сотворил Вселенную, и все явления природы не могут не подчиняться единому плану творца. А коль скоро Вселенную создавал единый разум, то весьма вероятно, что все явления в природе протекают в соответствии с одним и тем же сводом законов. Математикам и естествоиспытателям XVII в., занятым разгадыванием плана творца, поиск некоего общего, скрытого за внешним различием движений земных и небесных тел, казался вполне разумным.

Осуществляя свою программу поиска универсальных законов, Ньютон получил немало важных результатов в алгебре и геометрии. Особенно велик его вклад в создание дифференциального и интегрального исчисления (гл. VI). Но сколь ни значительны математические достижения Ньютона, все они были лишь средствами решения естественнонаучных проблем. Собственно математику Ньютон считал слишком сухой и скучной материей и видел в ней не более чем удобный способ выражения законов природы. Все свои помыслы Ньютон сосредоточил на поиске естественнонаучных принципов, которые можно было бы положить в основу единой теории движения земных и небесных тел. К счастью, как выразился Дени Дидро, природа удостоила Ньютона своим доверием.

Разумеется, Ньютон был хорошо осведомлен о законах движения, установленных Галилеем. Но открытые Галилеем законы не могли служить сколько-нибудь надежным путеводителем. Из первого закона движения было ясно, что на планеты со стороны Солнца должна действовать какая-то сила притяжения, в противном случае каждая планета двигалась бы по прямой. Идея о силе притяжения, постоянно действующей на планеты со стороны Солнца, приходила в голову многим еще до того, как Ньютон приступил к своим исследованиям: Копернику, Кеплеру, знаменитому физику-экспериментатору Роберту Гуку, физику и известному архитектору Кристоферу Рену, астроному Эдмонду Галлею и другим. Предполагалось, что на дальние планеты эта сила действует слабее, чем на ближние, и что величина силы изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца до планеты. Но до Ньютона все размышления о силе тяготения не выходили за рамки чистого философствования.

В этой формуле G — постоянная, т.е. имеет одно и то же значение при любых m, M и r. Значение этой постоянной зависит от того, в каких единицах измеряются масса, сила и расстояние. Ньютон обобщил также установленные Галилеем законы движения земных тел. Эти обобщения известны под названием трех законов Ньютона. Первый закон Ньютона, сформулированный еще Декартом и Галилеем, гласит: «Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние». Второй закон утверждает, что «изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по той прямой, по которой эта сила действует». Согласно третьему закону, «действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны» ([20], с. 39-41). Опираясь на три закона движения и закон всемирного тяготения (1), Ньютон получил возможность описывать движения земных тел.

В теории движения небесных тел Ньютон одержал блестящую победу, доказав, что три закона Кеплера, полученные им методом проб и ошибок на основании результатов многолетних наблюдений Тихо Браге, представляют собой не что иное, как математические следствия из закона всемирного тяготения и трех законов движения. Тем самым Ньютон показал, что движение планет, которое, как полагали до него, не имеет ничего общего с движением земных тел, в действительности подчиняется тем же законам, что и движение земных тел. В этом смысле Ньютон «объяснил» законы движения планет. Кроме того, поскольку законы Кеплера согласуются с результатами наблюдений, их вывод из закона всемирного тяготения стал превосходным подтверждением правильности самого этого закона.

Те немногие следствия из законов движения и закона всемирного тяготения, о которых мы упомянули, — всего лишь небольшой пример того, что было дано свершить Ньютону. Закон всемирного тяготения он применил к объяснению непонятного ранее явления — океанских приливов. Их вызывают силы притяжения, действующие со стороны Луны и в меньшей степени со стороны Солнца на большие массы воды. По данным о высоте лунных приливов (приливов, вызываемых притяжением Луны) Ньютон вычислил массу Луны. Ньютон и Гюйгенс оценили величину экваториального утолщения Земли. Ньютон и другие показали, что движение комет также согласуется с законом всемирного тяготения. Тем самым кометы были признаны законными членами Солнечной системы; их перестали считать случайными пришельцами из космических глубин или знамениями, сулящими грозную кару и гибель. Ньютон показал, что вследствие экваториального утолщения Земли земная ось под действием притяжения Луны и Солнца не указывает неизменно на одну и ту же звезду, а описывает конус с периодом 26 000 лет. Это долгопериодическое изменение направления земной оси приводит ежегодно к небольшим сдвигам в наступлении весеннего и осеннего равноденствий, отмеченным Гиппархом за 1800 лет до Ньютона. Так Ньютон объяснил смещение равноденствий.

Наконец, используя приближенные методы, Ньютон решил некоторые задачи, относящиеся к движению Луны. Например, известно, что плоскость, в которой происходит движение Луны, несколько наклонена к плоскости движения Земли. Как показал Ньютон, это обусловлено взаимным притяжением Солнца, Земли и Луны, описываемым законом всемирного тяготения. Ньютон и его непосредственные преемники в науке вывели из закона всемирного тяготения так много важных следствий о движениях планет, комет и Луны, а также о колебаниях уровня моря, что на протяжении последующих двух столетий считалось, что они дали полное объяснение системы мира.

В своей грандиозной деятельности Ньютон придерживался принципа, выдвинутого Галилеем, — искать не физическое объяснение, а математическое описание. Ньютон не только свел воедино огромное число экспериментальных данных и теоретических результатов Кеплера, Галилея и Гюйгенса, но и поставил математическое описание в основу всех своих естественнонаучных трудов и предсказаний. В предисловии к первому изданию своего основного труда, носившего весьма примечательное название «Математические начала натуральной философии», Ньютон говорит:

...

Так как древние, по словам Паппуса, придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить явления природы законам математики.

В этом сочинении имеется в виду тщательное развитие приложений математики к физике, поэтому и сочинение это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй. Затем по этим силам, также при помощи математических предложений, выводятся движения планет, комет, Луны и моря.

У Ньютона имелись все основания отдавать количественным математическим законам предпочтение перед физическим объяснением: центральным физическим понятием ньютоновской небесной механики была сила тяготения, а действие этой силы он не мог объяснить с помощью физических понятий. Представление о силе тяготения, действующей между любыми двумя массами, даже если их разделяют сотни миллионов километров пустого пространства, казалось столь же невероятным, как и многие свойства, придуманные для объяснения физических явлений последователями Аристотеля и средневековыми схоластами. Представление о дальнодействующих силах было особенно неприемлемым для современников Ньютона, упорно настаивавших на механистических объяснениях и привыкших воспринимать силу как результат непосредственного соприкосновения тел, при котором одно тело «толкает» другое. Отказ от физического объяснения и прямая замена его математическим описанием явления потрясли даже великих ученых. Гюйгенс считал идею гравитации «абсурдом», поскольку действие через пустое пространство исключало всякий механизм передачи силы; он поражался тем, что Ньютон взял на себя тяжкий труд и выполнил громоздкие вычисления, которые не обосновывались — ничем, кроме математического принципа тяготения. Против чисто математического описания гравитации возражали и многие другие современники Ньютона, в том числе Лейбниц, который сразу, как только прочитал в 1690 г. ньютоновские «Начала», занял в отношении их резко критическую позицию и продолжал критиковать идею дальнодействия до самой своей смерти. Вольтер, возвратившись в 1727 г. с похорон Ньютона, с иронией заметил, что в Лондоне царит вакуум, тогда как в Париже ощущается пленум (пространство, заполненное тончайшей материей) — ведь во Франции все еще царствовала картезианская философия. Попытки объяснения феномена дальнодействия не прекращались до начала XX в.

И все же поразительные научные достижения Ньютона стали возможны только благодаря тому, что он всецело полагался на математическое описание даже в тех случаях, когда физическое понимание явления полностью отсутствовало. Вместо физического объяснения Ньютон дал количественную формулировку действия силы тяготения, полезную уже тем, что она имела поддававшийся проверке смысл. Именно поэтому Ньютон в первой книге «Начал» замечает: «Эти понятия должно рассматривать как математические, ибо я еще не обсуждаю физических причин и места нахождения сил». Ту же мысль он повторяет и в конце своего сочинения:

...

То, что гравитация должна быть внутренним, неотъемлемым и существенным атрибутом материи, позволяя тем самым любому телу действовать на другое на расстоянии через вакуум, без какого-либо посредника, с помощью которого и через который действие и сила могли бы передаваться от одного тела к другому, представляется мне настолько вопиющей нелепостью, что, по моему глубокому убеждению, ни один человек, сколько-нибудь искушенный в философских материях и наделенный способностью мыслить, не согласится с ней. Вызывать тяготение должен некий агент, постоянно действующий по определенным законам, но материален он или нематериален, я предоставляю судить моим читателям.

...

   Евфранор… Прошу тебя, Алсифрон, не играй терминами: оставь слово сила, изринь все прочее из своих мыслей, и ты увидишь, какова точная идея силы.

   Алсифрон. Под силой я понимаю в телах то, что вызывает движение и другие ощутимые действия.

   Евфранор. А не существует ли что-нибудь отличное от этих действий?

   Алсифрон. Существует.

   Евфранор. Тогда, будь добр, исключи все, что отличается, и те действия, к которым оно приводит, и поразмысли над тем, что такое сила в собственной, точной идее.

   Алсифрон. Должен признаться, нелегкое это дело.

   Евфранор. Поскольку ни ты, ни я не можем определить идею силы и поскольку, как ты сам заметил, разум и способности людей во многом схожи, мы можем предположить, что и у других людей нет ясного представления об идее силы.

Ньютон надеялся, что природу силы тяготения все же удастся исследовать и изучить. Вопреки надеждам Ньютона и общепринятой точке зрения, что это действительно возможно, никому так и не удалось объяснить, как действует сила тяготения — физический смысл этой силы не был установлен. Сила тяготения оставалась научной фантастикой, навеянной способностью человека воздействовать на тела. Тем не менее математические выводы из количественного закона оказались столь эффективными, что развитый Ньютоном подход стал неотъемлемой частью физической науки. Естествознание пожертвовало физическим объяснением ради математического описания и математического предсказания.

Развитие естествознания в XVII в. нередко резюмируют одной фразой, утверждая, что совместными усилиями физики и математики XVII в. построили механистическую картину мира, действующего как хорошо отлаженная машина. Разумеется, физика Аристотеля и средневековых ученых также была механистической, если под этим понимать описание движения под действием таких сил, как тяжесть, легкость, симпатия и т.п., действующих на частицы и протяженные тела. Но ученые XVII в., особенно картезианцы, отказались от множества свойств, придуманных их предшественниками для описания движения, и ограничили силу вполне материальным и очевидным: весом или силой, которую необходимо приложить к телу, чтобы бросить его. Такую доньютоновскую физику с полным основанием можно было бы назвать «материальной». Математика могла описывать явления, но решающей роли она не играла.

Существенное различие между механикой Ньютона и физикой его предшественников заключалось не в введении математики для описания движения тел. В ньютоновской механике математика была не только вспомогательным средством для физики, более удобным, кратким, ясным и общим языком, — она стала источником фундаментальных понятий. Гравитационная сила — не более чем название математического символа. Точно так же во втором законе Ньютона (F = ma: сила равна произведению массы на ускорение) под силой понимается все, что сообщает массе ускорение. При этом устанавливать физическими методами природу силы больше не было нужды. Так Ньютон говорил о центростремительной и центробежной силах и использовал их, не задумываясь над механизмом их действия.

Даже понятие массы в ньютоновской механике не более чем фикция. Разумеется, масса — это материя, а материя, как «доказал», пнув камень, великий лексикограф Сэмюэл Джонсон, реальна. Но для Ньютона первичным свойством массы является ее инерция, смысл которой выражен первым законом Ньютона, а именно; если на тело не действуют никакие силы, то оно сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения. Почему свободное тело движется по прямой, а не по окружности? Даже Галилей первоначально считал, что движение по инерции должно быть круговым. А почему свободное тело должно двигаться с постоянной скоростью? Почему в отсутствие сил масса не остается всегда в состоянии покоя или не движется с постоянным ускорением? Свойство инерции — чисто умозрительная (или, как сказал бы физик, фиктивная) концепция, а отнюдь не экспериментальный факт. Масса никогда не бывает свободной от действия сил. Единственный элемент физической реальности в ньютоновских законах движения — это ускорение. Ускорения тел можно наблюдать и измерять.

Хотя Ньютон неохотно отказался от физических объяснений, введением «математизированных» понятий, их количественных формулировок и чисто математическими выводами из выписываемых формул Ньютон преобразовал всю физику XVII в. «Математические начала натуральной философии» открыли перед человечеством новый мир — Вселенную, управляемую единым сводом физических законов, допускающих точное математическое выражение. «Начала» содержали грандиозную схему, охватывающую падение камня, океанские приливы, движения планет и их естественных спутников, блуждания комет и величественное движение звездного свода. Ньютоновская схема стала решающим доводом, убедившим весь мир в том, что природа основана на математических принципах и что истинные законы природы — математические. «Начала» Ньютона означали в некотором роде конец физического объяснения. Лагранж однажды заметил, что Ньютон был счастливейшим из смертных, ибо существует только одна Вселенная, и именно Ньютону удалось открыть управляющие ею законы.

На протяжении всего XVIII в. математики, составлявшие тогда большинство ученых, неукоснительно следовали ньютоновской схеме. Первым научным трудом, строго выдержанным в духе математического подхода Ньютона, можно считать «Аналитическую механику» Лагранжа (1788). В этой книге механика рассматривалась с чисто математических позиций и упоминания о физических явлениях встречались крайне редко. Более того, Лагранж даже бравировал тем, что ему не были нужны ни ссылки на физические явления, ни геометрические чертежи. Когда начали формироваться новые разделы физики — гидродинамика, теория упругости, электромагнетизм, их создатели избрали тот же подход, какой использовал Ньютон применительно к механике и астрономии. Количественный, математический подход стал сущностью точного естествознания, и наиболее надежное убежище истина обрела в математике.

Бунтари XVII в. обнаружили качественный, физический мир, познанию которого служило математическое описание. В наследство своим потомкам они оставили математический, количественный мир, в котором конкретность физического мира была заменена математическими формулами. Именно их трудами было положено начало той математизации природы, которая процветает и поныне. Джеймс Джинс, заметивший в своей «Загадочной Вселенной» (1930), что «Великий архитектор Вселенной все более представляется нам чистым математиком», опоздал со своей сентенцией по меньшей мере на два столетия.

Хотя, как уже говорилось, самому Ньютону было отнюдь не легко полагаться исключительно на математические формулы, не подкрепляемые никакими физическими объяснениями, он не только отстаивал свои математические начала натуральной философии (естествознания), но и был твердо убежден, что они правильно передают описываемые явления. На чем было основано такое убеждение? Как и все математики и естествоиспытатели того времени, Ньютон верил в то, что бог сотворил мир в соответствии с математическими принципами. В этом отношении весьма красноречивы доводы в подкрепление тезиса о боге как творце и создателе Вселенной, приводимые Ньютоном в «Оптике» (1704):

...

Главная обязанность натуральной философии — делать заключения из явлений, не измышляя гипотез, и выводить причины из действий до тех пор, пока мы не придем к самой первой причине, конечно, не механической… Что находится в местах, почти лишенных материи, и почему Солнце и планеты тяготеют друг к другу, хотя между ними нет плотной материи? Почему природа не делает ничего понапрасну и откуда проистекает весь порядок и красота, которые мы видим в мире? Для какой цели существуют кометы и почему все планеты движутся в одном и том же направлении по концентрическим орбитам, в то время как кометы движутся по всевозможным направлениям по очень эксцентрическим орбитам, и что мешает падению неподвижных звезд одной на другую? Каким образом тела животных устроены с таким искусством и для какой цели служат их различные части? Был ли построен глаз без понимания оптики, а ухо без знания акустики? Каким образом движения тел следуют воле и откуда инстинкт у животных?… И если эти вещи столь правильно устроены, не становится ли ясным из явлений, что есть бестелесное существо, живое, разумное, всемогущее, которое в бесконечном пространстве, как бы в своем чувствилище, видит все вещи вблизи, прозревает их насквозь и понимает их вполне благодаря их непосредственной близости к нему?

...

Таким образом, чтобы сотворить эту [Солнечную] систему со всеми ее движениями, потребовалась причина, понимавшая и сравнивавшая количества материи в нескольких телах Солнца и планет и проистекавшие от этого силы тяготения; расстояния первичных планет от Солнца и вторичных планет [т.е. спутников] от Сатурна, Юпитера и Земли; скорости, с которыми эти планеты могли обращаться вокруг количеств материи в центральных телах. И то, что сравнить и согласовать все это удалось в столь многих телах, свидетельствует, что причина эта была не слепой или случайной, а весьма искусной в механике и геометрии.

Задача науки состоит в том, чтобы раскрывать блистательные замыслы творца, отмечает в начале того же письма Ньютон, и далее: «Когда я писал свой трактат о нашей системе [«Математические начала натуральной философии»], мне хотелось найти такие начала, которые были бы совместимы с верой людей в бога; ничто не может доставить мне большее удовлетворение, чем сознание того, что мой труд оказался не напрасным». В эпистолярном наследии Ньютона имеется немало писем аналогичного содержания.

Истинными мотивами математической и естественнонаучной деятельности Ньютона были его религиозные воззрения. Все догмы христианского вероучения Ньютон считал божественными откровениями. В боге видел он причину всех естественных сил, всего существующего и происходящего. Божественное промышление, воля и контроль, по его мнению, присутствовали во всех явлениях. С юных лет и на протяжении всей жизни Ньютон критически изучал и интерпретировал религиозные произведения, а в конце жизни целиком посвятил себя теологии. Сохранились его книги «Замечания на книгу пророка Даниила и апокалипсис св. Иоанна» ([77]; опубл. 1733 г.) и «Хронология древних царств с исправлениями» (не опубликована), а также сотни рукописных страниц, в которых Ньютон пытался установить хронологию библейских событий. Занятие наукой было для него своего рода богослужением, хотя, по его убеждению, в собственно естествознании не должно быть места ни мистическим, ни сверхъестественным силам. Ньютон испытывал глубокое удовлетворение при мысли, что его «Начала» открыли, как далеко простирается десница всемогущего господа бога. Укрепление основ религии Ньютон считал гораздо более важным, чем развитие математики и естествознания, поскольку науки призваны лишь открывать тот план, руководствуясь которым бог создал Вселенную. Упорную и подчас утомительно однообразную научную работу Ньютон оправдывал тем, что она, по его мнению, укрепляет религию, открывая все новые и новые доказательства божественного порядка во Вселенной. Занятие наукой Ньютон считал столь же богоугодным, как и изучение Священного писания. Мудрость творца можно постигать, открывая шаг за шагом структуру Вселенной. В боге Ньютон видел первопричину всего, что бы ни происходило. Так, чудеса объяснялись вмешательством бога в нормальный ход событий. Бог своим вмешательством мог также исправлять сбои и нарушения в природе, подобно тому как часовой мастер чинит неисправный механизм.

Если вера в то, что бог сотворил Вселенную и что роль математики и естествознания сводится к восстановлению плана творения, нуждалась в подтверждении, то такое подтверждение дал Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Как и Декарт, Лейбниц был прежде всего философом, но отличался еще большей разносторонностью, чем Декарт. Ему принадлежат первоклассные работы в математике, физике, истории, логике. Отличался Лейбниц и на поприще юриспруденции, дипломатии и политики. Подобно Ньютону, Лейбниц рассматривал научную деятельность как религиозную миссию, возложенную на ученых. В одном недатированном письме (1699 или 1700 г.) Лейбниц писал: «Главную цель всего человечества я вижу в познании и развитии божьих чудес. Думаю, что именно для этого бог отдал под власть человека весь земной шар».

В «Теодицее» (1710) Лейбниц утверждал широко распространенную тогда идею о том, что бог есть тот разум, который сотворил наш тщательно спланированный мир. Гармония между реальным миром и миром математики, по Лейбницу, объясняется единством реального мира и бога. На этом же основании Лейбниц решительно отстаивал применимость математики к реальному миру. Cum deus calculat, fit mundus (как господь вычисляет, так мир и устроен). Между математикой и природой существует предустановленная гармония. Вселенная устроена наиболее разумным образом, наш мир — наилучший из всех возможных миров, и рациональное мышление открывает его законы.

Истинное знание внутренне присуще нашему разуму, хотя в отличие от Платона Лейбниц не склонен был ссылаться здесь на предшествующее существование человека. Наши органы чувств не могут научить нас таким необходимым истинам, как то, что бог существует или что все прямые углы равны. Математические аксиомы принадлежат к числу врожденных истин, поскольку являются принципами дедуктивных наук, таких, как механика и оптика, в которых «ощущения, разумеется, необходимы, дабы мы могли составить какое-то представление о чувственных вещах, равно как эксперименты необходимы для установления кое-каких фактов… Но сила доказательства зависит от разумности понятий и истин, которые только и способны научить нас распознавать то, что необходимо…»

Математическая и естественнонаучная деятельность Лейбница была весьма обширной и чрезвычайно ценной. В дальнейшем нам еще представится случай поговорить о ней. Но достижения Лейбница, как и Декарта, были направлены в основном на усовершенствование математического аппарата. Он внес значительный вклад в разработку основ математического анализа, теории дифференциальных уравнений, проницательно указал на важность некоторых зарождавшихся тогда научных понятий, например величины, называемой теперь кинетической энергией (которую он сам именовал живой силой). В то же время нельзя не отметить, что Лейбниц не открыл ни одного фундаментального закона природы. Его философия науки, отводившая первостепенную роль математике, скорее была направлена на то, чтобы побуждать человека к открытию истин.

Хотя ученые XVIII в. значительно расширили границы и математики, и естествознания, найденные ими аргументы в пользу истинности математики и математических законов естествознания в основном повторяли аргументы их предшественников. Несколько членов семейства Бернулли, особенно братья Якоб (1654-1705) и Иоганн (1667-1748), а также сын Иоганна Даниил (1700-1782), Леонард Эйлер (1707-1783), Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), Пьер Симон Лаплас (1749-1827) и многие другие продолжили математическое исследование природы. Все они развивали методы математического анализа и разработали совершенно новые области, в частности теорию дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, дифференциальную геометрию, вариационное исчисление, теорию бесконечных рядов и функций комплексного переменного. Все эти первоклассные математические результаты воспринимались как истины и служили более мощными инструментами исследования природы. Как сказал в 1741 г. Эйлер, «полезность математики, обычно известной своими элементарными разделами, не только не иссякает при переходе к высшим ее разделам, но и возрастает по мере развития этой науки».

	Четверг, 25.04.2024, 10:53
	*Ш К О Л А П И Ф А Г О Р А*
	Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая, сделать его немного занимательным". Блез Паскаль
Главная \| Регистрация \| Вход	Приветствую Вас Гость \| RSS