 Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в
алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и
правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало
изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно
сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым
положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания. С
начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа.
Б.Паскаль (1623-1662) и И.Барроу (1630-1677), учитель И.Ньютона в
Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно
трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы
Р.Декарт (1596-1650) и Дж.Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные
числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в.
продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел.
Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных
уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми».
Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707-1783) с
успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в
начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим
представлением.
Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские
математики Н.Тарталья (1499-1577), С.Даль Ферро (1465-1526), Л.Феррари
(1522-1565) и Д.Кардано (1501-1576) нашли общие решения уравнений
третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и
их запись более точными, было введено множество символов, в том числе
+, -, ?, , =, > и <. Самым существенным новшеством стало
систематическое использование французским математиком Ф.Виетом
(1540-1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это
нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй,
третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям,
степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано,
Декарт и И.Ньютон (1643-1727) опубликовали (без доказательств) ряд
результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл
соотношение между корнями и дискриминантом [b2 - 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2
+ bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или
комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант
b2 - 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799
К.Фридрих Гаусс (1777-1855) доказал т.н. основную теорему алгебры:
каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней.
Основная
задача алгебры - поиск общего решения алгебраических уравнений -
продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда говорят об общем
решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в
виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью
конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и
извлечения корней, производимых над коэффициентами a, b и с. Молодой
норвежский математик Н.Абель (1802-1829) доказал, что невозможно
получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного
числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений
специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Накануне
своей гибели на дуэли юный французский математик Э.Галуа (1811-1832) дал
решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах,
т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в
помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа
использовались подстановки или перестановки корней и было введено
понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях
математики.
Развитие теории групп служит хорошим примером
преемственности творческой работы в математике. Галуа построил свою
теорию, опираясь на работу Абеля, Абель опирался на работу Ж.Лагранжа
(1736-1813). В свою очередь многие выдающиеся математики, в том числе
Гаусс и А.Лежандр (1752-1833) в своих работах неявно использовали
понятие группы. Ньютон не был чрезмерно скромен, когда заявил: «Если я
видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов». |
