Почто, о боги, в этом мире
Должно быть дважды два — четыре?
Александр Поп
К началу XIX в. математика оказалась в
весьма парадоксальной ситуации. Ее успехи в описании и предсказании
физических явлений превзошли самые смелые ожидания. Но при этом многие
математики еще в XVIII в. отмечали, что все огромное здание
математической науки было лишено логического фундамента и держалось на
столь шатких основаниях, что не было уверенности в «правильности» этой
науки. Подобная ситуация сохранялась и в течение всей первой половины
XIX в. Многие математики с головой ушли в новые области физики и
добились там значительных успехов, а об основаниях математики никто
попросту не задумывался. Естественно, что критика по поводу учения об
отрицательных и комплексных числах, а также в адрес алгебры,
дифференциального и интегрального исчисления и других разделов
стремительно развивавшегося математического анализа не утихала.
С какими же трудностями столкнулась
математика в начале XIX в.? Вряд ли необходимо останавливаться на
возражениях, которые продолжали выдвигаться против использования
иррациональных чисел: ведь, как мы уже отмечали, иррациональные числа
можно представлять как точки на прямой — и потому на чисто интуитивном
уровне их принятие вряд ли было сопряжено с большими трудностями, чем
использование целых и дробных чисел; польза же от введения
иррациональных чисел была несомненна. В результате иррациональные числа,
не имевшие сколько-нибудь серьезного научного обоснования, были приняты
без особых возражений. Однако отрицательные и комплексные числа
по-прежнему доставляли немало беспокойства, так как интуитивно казались
неприемлемыми. В XIX в., как и в предыдущие столетия, многие их все еще
просто отвергали или довольно злобно критиковали их использование.
Уильям Френд (1757-1841), тесть Огастеса де
Моргана и член совета колледжа Иисуса Кембриджского университета, в
предисловии к своей книге «Начала алгебры» (1796) заявлял без обиняков:
...
[Любое число] допустимо вычитать из большего числа, но любая
попытка вычесть какое-либо число из меньшего числа смехотворна сама по
себе. Тем не менее именно это пытаются делать алгебраисты, толкующие о
числах, меньших нуля; об умножении отрицательного числа на
отрицательное, дающем положительное произведение; о мнимых числах. Они
разглагольствуют о двух корнях любого уравнения второй степени и
предлагают тому, кто их слушает, попытать счастья с доставшимся ему
уравнением; они толкуют о решении уравнения, имеющего лишь невозможные,
или мнимые корни; они умеют находить невозможные числа, которые при
многократном переумножении дают единицу. Все это не более чем жаргон, в
котором нет ни капли здравого смысла. Но будучи однажды принят, он,
подобно многим другим измышлениям, находит множество горячих
приверженцев среди тех, кто охотно принимает на веру всякую бессмыслицу и
не склонен к серьезным размышлениям.
В статье, послужившей как бы приложением к
сочинению барона Мазера (1800), о котором мы уже упоминали в гл. V,
Френд подверг критике общее правило, согласно которому число корней
уравнения равно его степени. Френд утверждал, что оно верно лишь для некоторых уравнений,
и, разумеется, в качестве примера приводил уравнения, все корни которых
положительны. О математиках, приемлющих названное общее правило, Френд
говорил, что «они, дабы скрыть ложность принимаемого ими общего
утверждения или придать ему хотя бы на словах видимость истины,
оказываются вынужденными дать особые названия тому скопищу величин,
которые им хотелось бы выдать за корни уравнения, хотя те таковыми не
являются».
Знаменитый французский геометр Лазар Никола
Карно (1753-1823) известен не только своими оригинальными работами, но и
как автор обстоятельного методологического сочинения «Размышления о
метафизике исчисления бесконечно малых» (1797, 2-е (переработанное) изд.
— 1813), переведенного на многие языки [45]. Карно прямо утверждал:
нелепо думать, будто что-то может быть меньше, чем ничто. Отрицательные
числа, по мнению Карно, можно вводить в алгебру как некие фиктивные
величины, облегчающие вычисления, но, разумеется, это не настоящие
величины, и они могут приводить к неверным заключениям.
Начавшийся в XVIII в. спор о логарифмах
отрицательных и комплексных чисел совершенно лишил математиков душевного
покоя, так что даже в XIX в. они испытывали настоятельную потребность
усомниться в существовании как отрицательных, так и комплексных чисел.
Роберт Вудхаус из Кембриджского университета опубликовал статью «О
непременной истинности некоторых заключений, получаемых с помощью мнимых
величин», где, в частности, утверждалось: «Парадоксы и противоречия, в
которых обвиняют друг друга математики, вовлеченные в спор относительно
логарифмов отрицательных и мнимых величин, можно использовать как веские
аргументы против использования этих величин в исследованиях».
Коши — несомненно, один из величайших
математиков первой половины XIX в. и создатель теории функций
комплексного переменного — как это ни парадоксально, в первые
десятилетия XIX в. сам отказывался считать числами такие выражения, как a + b√−1. В своем знаменитом «Курсе анализа» (Cours d'analyse, 1821)
он назвал подобные выражения «количествами, лишенными всякого смысла».
Тем не менее, продолжал он, эти «бессмысленные количества» позволяют
высказывать некие утверждения относительно (реально существующих)
вещественных чисел a и b; так, например, равенство указывает, что a = c и b = d. По
утверждению Коши, «каждое равенство, связывающее мнимые числа, есть не
более как символическая запись двух равенств вещественных чисел». Даже в
1847 г. он выдвинул весьма сложную теорию, призванную обосновать
операции над комплексными числами без использования при этом величины
√−1, от которой, говорил Коши, «мы можем полностью отречься и которую
должны оставить без сожаления, поскольку нам не известно, ни что
означает этот символ, ни какой смысл надлежит ему приписывать».
В 1831 г. Огастес де Морган, автор
знаменитых «законов де Моргана» математической логики, внесший немалый
вклад в развитие алгебры, высказал свои возражения против отрицательных и
комплексных чисел в книге «Об изучении и трудностях математики», в
которой, по его словам, не содержалось ничего, что нельзя было бы найти в
лучших учебниках, используемых в те времена студентами Оксфорда и
Кембриджа:
...
Мнимое выражение √−a и отрицательное выражение −b
сходны в том, что каждое из них, встречаясь как решение задачи,
свидетельствует о некоторой противоречивости или абсурдности. Что же
касается реального смысла, то оба выражения надлежит считать одинаково
мнимыми, так как 0 − a столь же непостижимо, как и √−a.
В качестве примера де Морган приводит
следующую задачу: отцу — 56 лет, а сыну — 29; через сколько лет отец
будет вдвое старше сына? Де Морган составляет уравнение 56 + x = 2(29 + x) и, решая его, получает x = −2. Такой ответ он считает абсурдным, но замечает, что если x заменить на, −x, то данное уравнение перейдет в 56 − x = 2(29 − x), откуда следует, что x = 2. Отсюда
де Морган делает вывод, что исходная задача была неверно поставлена:
отрицательный ответ указывает на ошибку в первоначальной формулировке
задачи, где на самом деле следует спрашивать: «Сколькими годами ранее
отец был вдвое старше сына?»
По поводу комплексных чисел де Морган замечает:
...
Мы показали, что символ √−a лишен
смысла или, точнее, внутренне противоречив и абсурден. Тем не менее
такие символы позволили создать часть алгебры, приносящую немалую
пользу. Объясняется это тем, что применение к таким выражениям
[комплексным числам] общих правил алгебры, как должно быть проверено на
опыте, никогда не приводит к ложным результатам. Обращение к опыту
такого рода, по-видимому, противоречит первым принципам, положенным в
основу алгебры. Мы не можем отрицать, что в действительности все обстоит
именно так, Не следует, однако забивать, что та область алгебры, о
которой идет речь, составляет лишь небольшую и изолированную часть
обширного предмета, ко всем прочим частям которого указанные принципы
применимы в полном объеме. [Принципы, которые упоминает де Морган,
представляют собой математические истины, с необходимостью выводимые из
аксиом с помощью дедуктивных рассуждений.]
Далее де Морган сравнивает отрицательные и комплексные корни:
...
Итак, между отрицательными и мнимыми
решениями уравнения различие все же существует. Если задача допускает
отрицательное решение, то, изменив знак неизвестного x в
уравнении, которое привело к такому решению, мы можем либо обнаружить
ошибку, допущенную при составлении уравнения, либо показать, что вопрос
задачи чрезмерно сужен, и, расширив его надлежащим образом, мы получим
удовлетворительное решение. Если же задача допускает мнимое решение, то
дело обстоит совсем не так.
Несколько дальше де Морган замечает:
...
Нам отнюдь не хотелось бы воспрепятствовать
проникновению в суть предмета тому, кто впервые изучает алгебру,
поэтому мы не станем приводить здесь во всех подробностях доводы за и
против по таким вопросам, как применение отрицательных чисел и т.д.,
недоступные пониманию учащегося и не вполне убедительные. Вместе с тем
мы считаем своим долгом предуведомить тех, кто изучает алгебру, о
существующей трудности и указать на природу ее. Мы надеемся, что
учащийся, рассмотрев достаточное число примеров, разобранных отдельно,
обретет уверенность в тех результатах, к которым приводят правила.
Не более чем де Морган был склонен принимать
отрицательные и комплексные числа Уильям Роуан Гамильтон, один из самых
выдающихся математиков XIX в., о котором мы упоминали ранее. Свои
возражения против необычных чисел он сформулировал в работе от 1837 г.:
...
Не требуется особого скептицизма, чтобы
усомниться или даже не поверить в учение об отрицательных и мнимых
[числах], излагаемое, как это обычно принято, на основе таких принципов,
как то, что большую величину можно вычесть из меньшей и что разность может быть меньше, чем ничто, что два отрицательных числа, т.е., числа, означающие величины, каждая из которых меньше нуля, можно умножить одно на другое и произведение при этом будет положительным, иначе говоря, числом, означающим величину, которая больше нуля, и что хотя квадрат числа, или произведение числа на самого себя, всегда положителен
независимо от того, положительно или отрицательно само число, тем не
менее можно найти, представить себе или определить числа, называемые мнимыми,
и производить над ними действия по всем правилам, используемым для
положительных и отрицательных чисел, как если бы мнимые числа
удовлетворяли этим правилам, хотя эти числа имеют отрицательные квадраты
и, следовательно, не должны считаться ни положительными, ни
отрицательными числами и ни нулем, в силу чего обозначаемые ими величины
не могут быть ни больше, чем ничто, ни меньше, чем ничто, ни равны
ничему. Трудно, должно быть, возводить науку на таких основах, хотя
правила логики позволяют построить из мнимых чисел симметричную систему
выражений и можно выучиться практическому искусству правильно применять
полезные правила, по-видимому связанные с этими несуществующими или
мнимыми числами.
Джордж Буль (1815-1864), один из создателей
(наряду с де Морганом) математической логики, в своем труде
«Исследование законов мышления» (1854) называет √−1 неинтерпретируемым
символом. Однако, используя этот символ в тригонометрии, мы, по мнению
Буля, переходим с помощью неинтерпретируемых выражений от одних
интерпретируемых выражений к другим, тоже интерпретируемым.
С комплексными числами математиков несколько
примирила не логика, а их геометрическое представление, предложенное
Весселем, Арганом и Гауссом (см. гл. IV). Тем не менее в работах Гаусса
отчетливо ощущается его нежелание принять комплексные числа. Гаусс
предложил четыре доказательства основной теоремы алгебры, утверждающей,
что многочлен n-й степени имеет ровно n корней. В первых
трех доказательствах (1799, 1815 и 1816) Гаусс рассматривает многочлены с
вещественными коэффициентами и, кроме того, предполагает, хотя нигде не
определяет его явно, взаимно-однозначное соответствие между точками
декартовой (координатной) плоскости и комплексными числами. По существу
это еще не было геометрическим представлением комплексных чисел x + iy; Гаусс рассматривал x и y
как координаты точки на вещественной плоскости. Кроме того, во всех
трех доказательствах Гаусс не использовал теорию функций комплексного
переменного, так как вещественную и мнимую части встречающихся функций
рассматривал отдельно. В письме к Бесселю (1811) Гаусс высказался более
определенно: числу a + bi соответствует точка (a, b) на
комплексной плоскости; из одной точки комплексной плоскости в другую
можно перейти по многим путям. Если судить по этим трем доказательствам и
другим неопубликованным работам, то Гауссу не давала покоя мысль о
статусе комплексных чисел и функций комплексного переменного. В письме
от 11 декабря 1825 г. Гаусс признавался, что не может оторваться от
«истиной метафизики отрицательных и мнимых величин. Истинный смысл √−1
неотступно сидит у меня в голове, но его трудно выразить словами».
Однако к 1831 г. Гаусс — если у него еще
оставались какие-то сомнения относительно того, принимает ли он сам и
другие математики комплексные числа, — преодолел эти сомнения и
опубликовал работы по геометрическому представлению комплексных чисел. В
работах, вышедших из-под пера Гаусса в тот год, все было сформулировано
в явном виде. Гаусс не только предложил представлять число a + bi
точкой на комплексной плоскости, но и дал геометрическое толкование
сложения и умножения комплексных чисел (гл. IV). Он отметил, что к тому
времени уже сложилось достаточно четкое понимание дробей, а также
отрицательных и вещественных чисел. К комплексным же числам, несмотря на
всю их значимость, отношение было в лучшем случае терпимым. Многие
математики считали комплексные числа не более чем игрой с символами. Но
«здесь [в геометрическом представлении] доказательство интуитивного
понимания числа √−1 полностью обосновано и не нуждается более в
необходимости относить указанные величины в область объектов, изучаемых
арифметикой». Из этого высказывания видно, что сам Гаусс был согласен с
интуитивным пониманием мнимых чисел. Гаусс утверждал также, что если бы
величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной,
отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у
людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана
какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление
дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел
термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта)
и использовал для обозначения √−1 символ i. Однако Гаусс не
обмолвился ни словом относительно того, что и он сам, и его современники
свободно использовали вещественные числа, не имея никакого их
обоснования, хотя этот момент был не менее важен.
В работе от 1840 г., о которой в дальнейшем
мы расскажем несколько подробнее, Гаусс использовал комплексные числа
более свободно, отметив, что «теперь их знают все». Но Гаусс
заблуждался. Еще долго после того, как была создана (главным образом
трудами Коши в первой трети XIX в.) теория комплекснозначных функций
комплексного переменного, нашедшая применение в гидродинамике,
профессора Кембриджского университета испытывали непреодолимое
отвращение к «сомнительной» величине √−1 и с помощью громоздких
построений стремились изгнать ее отовсюду, где она только появлялась.
В первой половине XIX в. логические
основания алгебры характеризовались попросту их полным отсутствием.
Основная проблема состояла в том, что вместо всех типов чисел в алгебре
использовались буквы и все действия над этими буквами производились так,
как если бы они обладали хорошо известными и интуитивно приемлемыми
свойствами положительных целых чисел, такими, как коммутативность
сложения (a + b = b + a) или ассоциативность умножения [(ab)c = a(bc)].
Полученные с использованием этих свойств результаты оставались верными
при подстановке вместо букв любых чисел: отрицательных, иррациональных
или комплексных. Но поскольку природа этих чисел оставалась непонятой, а
их свойства не были логически обоснованы, такое использование буквенных
символов вызывало справедливые нарекания. Создавалось впечатление, что
алгебра буквенных выражений обладала своей собственной логикой, которая и
была причиной непостижимой эффективности и правильности алгебры. Так в
30-х годах XIX в. математики столкнулись с проблемой обоснования
операций, производимых над буквенными, или символическими, выражениями.
Впервые анализом этой проблемы занялся
профессор математики Кембриджского университета Джордж Пикок
(1791-1858). Он ввел различие между арифметической алгеброй и
символической алгеброй. Первая оперировала с символами, представляющими
положительные целые числа, и поэтому имела под собой прочную основу. При
этом в арифметической алгебре допустимыми считались только операции,
приводящие к положительным числам. Символическая алгебра, по мнению
Пикока, перенимает правила арифметической алгебры, но распространяет их с
положительных целых чисел на произвольные. Все результаты, полученные в
рамках арифметической алгебры, выражения которой общи по виду, но
частны по допускаемым ими значениям, остаются в силе и в символической
алгебре, где помимо общности вида обретают общность и принимаемые
рассматриваемыми выражениями значения. Так, равенство ma + na = (m + n)a выполняется в арифметической алгебре, — если a, m и n — положительные целые числа; следовательно, оно справедливо и в символической алгебре, где уже a, m и n могут быть какими угодно. Аналогично разложение бинома (а + b), справедливое при положительных целых n, остается в силе при всех n,
если рассматривать его в общем виде безотносительно к последнему члену.
Идея Пикока, известная под названием «принцип перманентности
эквивалентных форм», была выдвинута им в 1833 г. в «Докладе о последних
достижениях и современном состоянии некоторых областей анализа»,
прочитанном на заседании Британской ассоциации поощрения науки. Пикок
догматически утверждал:
...
Если алгебраические формы эквивалентны,
когда символы имеют общий вид, но могут принимать лишь частные
[положительные целые] значения, то они эквивалентны и в том случае,
когда символы не только имеют общий вид, но и могут принимать общие
значения.
Свой принцип Пикок использовал, в частности,
для обоснования операций над комплексными числами. Во избежание
возможных нападок Пикок и сделал осторожную оговорку «…когда символы
имеют общий вид». Тем самым его принцип не охватывал только числа 0 и 1,
поскольку эти числа обладают необщими, специфическими свойствами.
Во втором издании своего «Трактата по алгебре» (1842-1845), (1-е изд. — 1830) Пикок вывел
предложенный им принцип из аксиом. Он в явном виде сформулировал, что
алгебра, подобно геометрии, является дедуктивной наукой. Следовательно,
алгебраические методы должны основываться на полном наборе явно
сформулированных законов, или аксиом, которым подчиняются операции,
используемые в алгебраических процедурах. Символы операций не имеют (по
крайней мере в алгебре как дедуктивной науке) иного смысла, кроме того,
который придают им аксиомы. Так, сложение означает не более чем любой
процесс, сопоставляющий двум элементам третий (который мы уславливаемся
называть суммой первых двух элементов) и удовлетворяющий законам
сложения. К числу законов, о которых говорит Пикок, относятся, например,
коммутативный и ассоциативный законы для сложения и умножения или
закон, состоящий в том, что если ac = bc и c ≠ 0, то а = b. Таким образом, принцип перманентности форм был обоснован принятием определенной системы аксиом.
Точка зрения на алгебру, утвержденная
Пикоком, просуществовала на протяжении большей части XIX в. С небольшими
видоизменениями она была принята Дунканом Ф. Грегори (1813-1844),
Огастесом де Морганом и немецким математиком Германом Ганкелем
(1839-1873).
По существу принцип перманентности форм был
произвольным. Естественно, напрашивался вопрос: почему числа различных
типов обладают теми же свойствами, что и целые числа? Принцип
перманентности форм был санкционирован декретом как эмпирически
правильный, но логически не обоснованный. Пикок, Грегори и де Морган,
по-видимому, полагали, что алгебре можно придать смысл независимо от
свойств вещественных и комплексных чисел. Вряд ли нужно говорить, что
если какое-либо правило правой (или левой) руки назвать принципом, то
его логическое обоснование от этого не улучшится. Но, как заметил
епископ Беркли, «древние и глубоко укоренившиеся предрассудки нередко
переходят в принципы, и не только сами утверждения, которые обретают
силу и репутацию принципа, но и выводимые из них следствия принято считать во всех отношениях выделенными».
Принцип перманентности форм подходит к
алгебре как к науке о символах и правилах комбинирования символов.
Такому подходу недоставало ни ясности, ни гибкости. Сторонники принципа
настаивали на столь жестком параллелизме арифметики и алгебры, что,
осуществись он, общности алгебры был бы нанесен серьезный ущерб.
По-видимому, этим математикам никогда не приходило в голову, что
формула, истинная при одной интерпретации символов, может быть ложной
при другой интерпретации тех же символов. Создание кватернионов
подорвало самые основы принципа перманентности, потому что умножение
кватернионов, ставших первым примером так называемых гиперкомплексных чисел,
не обладало коммутативным свойством (гл. IV). А это означало, что
буквенные символы, принимающие кватернионные значения, не обладают всеми
свойствами вещественных и комплексных чисел: математики обнаружили
«гиперчисла», свойства которых разнятся от свойств известных им ранее
чисел. Тем самым принцип перманентности был низложен. Пикок и его
последователи не учли, что вскоре (после открытия кватернионов) стало
очевидным: существует не одна-единственная алгебра, а много разных
алгебр и алгебру вещественных и комплексных чисел можно обосновать, лишь
доказав, что буквенные символы, принимающие вещественные или
комплексные значения, обладают всеми свойствами, которые приписываются
этим буквенным символам.
В начале XIX в. «логический туман» окутывал
не только алгебру, но и анализ. Предложенное Лагранжем обоснование
математического анализа (гл. VI) удовлетворяло не всех математиков, и
некоторые из них вновь встали на позицию Беркли и других критиков,
считавших, что благополучие в этой области обеспечивается лишь за счет
того, что ошибки взаимно компенсируются. Такого же мнения придерживался и
Лазар Карно в своих «Размышлениях о метафизике исчисления бесконечно
малых»: его метафизика «объясняла», что одни ошибки компенсируют другие.
После длительного обсуждения различных подходов к математическому
анализу Карно приходит к выводу, что, хотя все эти методы, равно как и
введенное Д'Аламбером понятие предела, в действительности эквивалентны
греческому методу исчерпывания, бесконечно малые позволяют быстрее
получать результат. Карно внес свою лепту в разъяснение и уточнение
понятий анализа, но вклад его не был особенно велик. Кроме того,
сопоставляя идеи Ньютона, Лейбница и Д'Аламбера с греческим методом
исчерпывания, он сделал явно рискованный шаг: ведь в греческой геометрии
и алгебре не существовало общего понятия производной.
Грубые ошибки в области математического
анализа были, увы, нередки у математиков XIX в. Можно было бы привести
немало примеров этого, но мы ограничимся одной-двумя иллюстрациями. В
основе всего математического анализа лежат понятия непрерывной функции и производной
от функции. Чисто интуитивно, непрерывная функция — это такая кривая,
которую можно начертить одним росчерком пера, не отрывая его от бумаги
(рис. 7.1). Геометрический смысл производной к такой функции — тангенс
угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке P. Казалось бы, очевидно, что непрерывная функция должна иметь касательную в каждой точке.
Однако некоторые математики XIX в. сумели подняться над интуитивными
представлениями и вознамерились доказать все, что возможно, чисто
логическим путем.
...
Рис. 7.1. График непрерывной функции.
К сожалению, непрерывная функция с точками
излома не имеет в них производной (функция, изображенная на рис. 7.2, не
имеет производной в точках излома A, B и C).
...
Рис. 7.2. Непрерывная, но не дифференцируемая (в точках A, B и C) функция.
Тем не менее Андре Мари Ампер (1775-1836)
«доказал» в 1806 г., что любая функция имеет производную во всех точках,
где она непрерывна. Другие или аналогичные «доказательства» этого были
приведены Лакруа в его знаменитом трехтомном «Трактате по
дифференциальному и интегральному исчислению» (2-е изд. — 1810-1819) и
почти во всех основных учебниках математического анализа XIX в. Жозеф
Луи Франсуа Бертран (1822-1900) «доказал» в 1875 г. дифференцируемость
непрерывной функции! Разумеется, все эти «доказательства» были
ошибочными. Заблуждение некоторых авторов «доказательств»
дифференцируемости было вполне простительным, если учесть, что в течение
долгого времени не было точно определено само понятие функции, но
примерно к 30-м годам прошлого века этот пробел был наконец восполнен.
Если вспомнить, что непрерывность и
дифференцируемость два основных понятия математического анализа и что
основной областью математики с середины XVII в. и, пожалуй, вплоть до
настоящего времени являлся именно математический анализ, то нельзя не
ужаснуться неясности и неопределенности этих фундаментальных понятий.
Ошибки в рассуждениях и даже ошибочные заключения в вопросах, связанных с
непрерывностью и дифференцируемостью, зачастую были столь значительны,
что сегодня они считались бы непростительными даже для студентов младших
курсов, — а ведь их совершали знаменитейшие математики: Фурье, Коши,
Галуа, Лежандр, Гаусс, а также другие ведущие математики того времени,
хотя и более низкого ранга. |
