Начинать исследование можно по-разному. Все
равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко
безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к
которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути.
Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с
проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к
истине мы почти всегда обречены совершать ошибки,
Дени Дидро
Математический анализ, ядро которого
составляет дифференциальное и интегральное исчисление — самая тонкая
область всей математики, — был построен на совсем не существующих
логических основаниях арифметики и алгебры и на не вполне ясных основах
евклидовой геометрии. Если вспомнить о замеченных нами недостатках в
сравнительно простых разделах математики, то нетрудно представить себе,
какого напряжения сил и способностей потребовало от математиков создание
основной системы понятий и логической структуры дифференциального и
интегрального исчисления. Именно так и обстояло дело в действительности.
В основе математического анализа лежит понятие функции.
Не стремясь к особой строгости, функцию можно описать как зависимость
между переменными. Поясним это на простом примере. Если, скажем, с крыши
дома бросить мяч, то и расстояние, проходимое им в процессе падения, и
время падения будут возрастать. Расстояние и время — переменные, а
функция, связывающая расстояние и время (если пренебречь сопротивлением
воздуха), определяется формулой d = 4,9t, где t — время падения (в секундах), а d — расстояние (в метрах), пройденное мячом за время t с момента падения.
Происхождение любой важной идеи всегда можно
проследить, углубляясь в историю на десятилетия, если не на века. В
полной мере это относится и к понятию функции. Тем не менее явный смысл
понятие функций обрело лишь в XVII в. Мы не будем здесь вникать в
подробности этого процесса. Для нас гораздо важнее другое: хотя понятие
функции весьма «прямолинейно» и, казалось бы, не таит в себе никаких
«подводных камней», но даже и простейшие функции охватывают все типы
вещественных чисел. Так, в приведенном нами примере мы могли бы
поинтересоваться значением d при t = √2. Точно так же можно было бы спросить, чему равно t, когда d равно, скажем, 50: при d = 50, как нетрудно видеть, t = √(50/4,9), т.е. принимает иррациональное значение.
Но, как мы уже отмечали, в XVII в. понятие иррационального числа еще не
получило должного истолкования. Следовательно, едва зародившейся теории
функций явно недоставало логических обоснований, как не было их и у
арифметики. Однако, поскольку к середине XVII в. математики привыкли
свободно обращаться с иррациональными числами, на отсутствие таких
обоснований никто не обращал внимания.
Две проблемы привлекали к себе внимание
величайших математиков XVII в., наиболее известными среди которых были
Кеплер (1571-1630), Декарт (1596-1650), Бонавентура Кавальери
(1598-1647), Ферма (1601-1665), Блез Паскаль (1623-1662), Джеймс Грегори
(1638-1675), Жиль Персон, называвший себя де Робервалем
(1602-1675), Христиан Гюйгенс (1629-1695), Исаак Барроу (1630-1677),
Джон Валлис (1616-1703) и, конечно же, Исаак Ньютон (1643-1727) и
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Каждый из этих ученых по-своему
подошел к проблемам определения и вычисления производной и определенного
интеграла. Одни из творцов дифференциального и интегрального исчисления
рассуждали чисто геометрически, другие — чисто алгебраически, третьи
использовали смешанный алгебро-геометрический подход. Нас будет
интересовать, насколько создателям новых методов исчисления удалось
приблизиться к образцам математической строгости. Для этого достаточно
обратиться к нескольким наиболее типичным примерам, поскольку многие из
предложенных методов были очень ограниченными и особого упоминания не
заслуживают.
Природу производной легче всего понять, если представить ее как скорость (именно
так поступил Ньютон). Если тело преодолевает расстояние 20 м за 4 с, то
его средняя скорость равна 5 м/с, а если тело движется равномерно, то
его средняя скорость на протяжении 4 с совпадает с мгновенной, т.е. со
скоростью в любой данный момент. Однако движения чаще всего
неравномерны. Тело, падающее на Землю, снаряд, вылетевший из пушки,
планета, обращающаяся вокруг Солнца, — все движутся неравномерно: их
скорость непрерывно меняется. Во многих случаях необходимо знать
значения скорости движения в разные моменты времени. Например, жизненно
важно знать, с какой скоростью пуля долетает до человека; если эта
скорость близка к 0 м/с, то на землю упадет пуля, тогда как при
скорости порядка 300 м/с на землю падает человек. По самому своему
смыслу момент времени есть не что иное, как «нулевой промежуток»
времени, а за нулевое время тело, разумеется, проходит равное нулю
расстояние. Следовательно, если бы мы решили вычислять мгновенную
скорость так, как вычисляют среднюю скорость, т.е. деля пройденное
расстояние на требующееся для его прохождения время, то получили бы
выражение 0/0, а такое отношение смысла не имеет.
Выход из создавшегося затруднения, который
промелькнул в сознании математиков XVII в., но не был уяснен ими до
конца, состоит в следующем. Предположим, что требуется вычислить
скорость, которую приобретает свободно падающее тело ровно через 4 с
после начала падения. Выбрав любой конечный промежуток времени (в
отличие от нулевого промежутка — момента времени), в течение
которого тело падает, и разделив на него расстояние, пройденное телом за
это время, мы получим среднюю скорость за выбранный промежуток времени.
Вычислим теперь среднюю скорость за промежутки времени, следующие за
4-й секундой и имеющие продолжительность /, /, /, … с. Ясно, что, чем
меньше промежуток времени, тем ближе средняя скорость к мгновенной
скорости тела через 4 с после начала падения. По-видимому, нам остается
лишь вычислить средние скорости и посмотреть, к какой величине они стремятся.
Эта величина и определяет мгновенную скорость, которой тело достигает к
концу 4-й секунды свободного падения. Предложенная схема кажется
достаточно разумной, хотя и таит в себе, как мы увидим в дальнейшем,
некоторые сложности. Как бы то ни было, скорость к концу 4-й секунды
свободного падения, если она вычислима, называется производной функции d = 4,9t при t = 4.
Трудности, связанные с определением
производной, станут более понятными, если от словесного описания
производной перейти на язык символов. Математическое определение
производной, которое, по существу, и было в конце концов принято,
принадлежит Ферма. Вычислим скорость, приобретаемую через 4 с после
начала свободного падения мячом, движение которого описывается функцией При t = 4 получаем: d = 4,9∙4= 78,4 м. Пусть h — приращение времени. За время (t + h) с мяч пролетит в свободном падении расстояние 78,4 м плюс некоторое дополнительное расстояние k. Следовательно,
...
78,4 + k = 4,9 (4 + h)= 4,9(16 + 8h + h),
или
...
78,4 + k = 78,4 + 39,2h + 4,9h.
Вычтем из правой и левой частей последнего равенства по 78,4: Итак, средняя скорость за время h с свободного падения равна
...
k/h = (39,2h + 4,9h)/h. (2)
При рассмотрении этой простой функции и
других функций Ферма повезло: числитель и знаменатель правой части ему
удалось разделить на h, получив Затем Ферма положил приращение h равным нулю и получил, что скорость тела через 4 с после начала свободного падения такова: (d — обозначение производной, предложенное Ньютоном). Итак, d — производная от d = 4,9t при t = 4.
Против предложенного Ферма метода вычисления производной можно возразить, указав, что приращение h должно быть отлично от нуля, ибо выполнение таких операций, как деление числителя и знаменателя на h, возможно только при h, отличном от нуля. Но тогда и равенство (3) справедливо только при h, отличном от нуля. Следовательно, мы не можем полагать в (3) значение h равным нулю и делать из этого предположения какие бы то ни было выводы. Кроме того, в случае такой простой функции, как d = 4,9t, соотношение (2) после сокращения правой части на h переходит в соотношение (3). В случае же более сложных функций нам пришлось бы иметь дело с выражением типа (2). При h = 0 правая часть (2), выражающая предельное значение средней скорости k/h, обращается в неопределенность 0/0.
Ферма никогда не занимался обоснованием
своего метода, и, хотя он по праву может быть назван одним из создателей
математического анализа, ему не удалось продвинуться здесь особенно
далеко. Он был достаточно осторожен, чтобы пытаться формулировать общие
теоремы, если сознавал, что какая-либо идея не обоснована им полностью.
Ферма довольствовался тем, что предложил правильный алгоритм, которому
смог дать геометрическую интерпретацию, и надеялся, что когда-нибудь
удастся найти полное геометрическое обоснование предложенного им метода.
Второе понятие математического анализа, доставившее немало хлопот его создателям, — (определенный) интеграл — встречается, например, при вычислении площадей фигур, ограниченных целиком или частично кривыми линиями, объемом тел, ограниченных изогнутыми поверхностями
(не плоскостями!), а также центров тяжести тел различной формы. Чтобы
понять, какого рода трудности встречаются при использовании понятия
определенного интеграла, рассмотрим вычисление площади криволинейной трапеции.
Предположим, требуется найти площадь криволинейной трапеции DEFG (рис. 6.1), ограниченной дугой FG кривой, задаваемой уравнением y = x, отрезком DE оси x и вертикальными отрезками DG и EF.
В этом случае, как и при вычислении производной, мы хотим найти
интересующую нас величину методом все более точных последовательных
приближений. Нечто подобное предприняли математики XVII в.
Рис. 6.1. Криволинейная трапеция DEFG.
Разобьем отрезок DE на три равные части (каждая длиной h) и обозначим точки разбиения через D, D, и D (точка D совпадает с точкой E, рис. 6.2). Пусть y, y, и y — ординаты в точках разбиения. Тогда yh, yh, и yh — площади трех прямоугольников, изображенных на рис. 6.2, а — сумма площадей этих трех прямоугольников, являющаяся некоторым приближением к площади DEFG.
...
Рис. 6.2. Вычисление площади криволинейной трапеции (основание DE разбито на 3 части).
Лучшее приближение к площади криволинейной трапеции DEFG мы можем получить, уменьшая размеры прямоугольников и увеличивая их число. Предположим, что отрезок DE
мы разбили не на три, а на шесть частей. На рис. 6.3, в частности,
показано, что произойдет при таком разбиении со средним прямоугольником,
изображенным на рис. 6.2: после разбиения его заменяют два
прямоугольника. Поскольку за высоту каждого прямоугольника мы выбираем
ординату y в соответствующей точке разбиения отрезка DE,
заштрихованный прямоугольник на рис. 6.3 уже не входит в сумму площадей
тех шести прямоугольников, которыми аппроксимируется теперь площадь
криволинейной трапеции DEFG. Следовательно, сумма
...
yh + yh + yh + yh + yh + yh (6)
(где новое h в два раза меньше прежнего) дает более точное приближение к площади трапеции DEFG, чем сумма (5).
...
Рис. 6.3. Вычисление площади криволинейной трапеции DEFG (основание DE разбито на 6 частей)
Относительно применяемого нами метода последовательных приближений можно в общем сказать следующее. Разделив отрезок DE на n частей, мы получили бы n прямоугольников, каждый шириной h. Пусть y, y, …, y — ординаты в точках разбиения (многоточие означает, что включены все ординаты y в точках разбиения). Сумма площадей n прямоугольников равна
...
yh + yh + yh + … + yh (7)
(и на этот раз многоточие означает, что в
сумму входят все промежуточные прямоугольники). Мы уже говорили о том,
как влияет на точность приближения разбиение отрезка DE на все более мелкие части. Следовательно, приближенное значение площади криволинейной трапеции DEFG, задаваемое суммой (7), с увеличением n становится все более точным. Но по мере возрастания n убывает h, поскольку h = DE/n.
Итак, мы установили, что фигуры, ограниченные отрезками прямых (в нашем
случае — прямоугольниками), позволяют добиться все более точного
приближенного вычисления площади фигуры, ограниченной кривой.
|
