С середины восемнадцатого века события в дифференциальном и интегральном исчислениях шли рука об руку с развитием математического анализа физических явлений, особенно движения. Исследуемые темы включали термодинамику, астрономическую механику, гидродинамику, оптику, электричество и магнетизм. Ученые составляли дифференциальные уравнения, описывая эти явления, а затем разрабатывали методы, необходимые для их решения. Единственное точное решение было трудно найти, а потому математики сосредоточились на методах приблизительного решения. Хотя упомянутые выше явления физически выглядели совершенно по-разному, все они в некотором смысле были связаны со средой. Со времени появления ньютоновских «Начал» бушевали споры относительно реальности «действия на расстоянии»: как, например, тяготение может действовать на большом расстоянии? Что такое тяготение и магнетизм — разные проявления одной и той же силы или совершенно различные явления? Возможно ли, что пространство заполнено некоей средой, известной как эфир? Если да, то что такое эфир и каковы его свойства? Чтобы проиллюстрировать все эти вопросы, я сосредоточусь на истории теории потенциала и ее связи с электромагнетизмом.

Дифференциальное и интегральное исчисления Лейбница усложнились и теперь позволяли работать более чем с одной независимой переменной, так что можно было исследовать функцию z=t (х,у) так же, как кривую y=ƒ(x) на плоскости. Это стало возможно благодаря появлению частичных дифференциальных уравнений, в которых каждую переменную можно было дифференцировать независимо от остальных. Взаимодействия движущихся частиц могли быть представлены дифференциальными уравнениями. Первоначальные решения Ньютона, описывавшие эллиптические орбиты планет, были получены только благодаря применению достаточно грубых упрощений, в частности утверждений, что Солнце и планеты имеют точечные массы и что каждую планету можно рассматривать независимо от всех остальных. Теперь, когда неприятие гелиоцентрической модели и эллиптических орбит было преодолено, можно было начать работу по созданию более точной и сложной модели. Одним из приемов было рассмотрение изменения энергии внутри динамической системы — речь идет о теории потенциалов, представляющей собой математический способ выразить физическую идею сохранения энергии.

Главные проблемы в области небесной механики возникли после того, как было обнаружено, что планеты не движутся по идеальным эллиптическим орбитам, а скорее покачиваются, двигаясь из стороны в сторону. По мере получения более точных данных становилось все очевиднее, что объекты Солнечной системы отклоняются от идеального пути, и это привело к развитию теории возмущений. Теперь путь планеты рассматривали как результат ее взаимодействия не только с Солнцем, но со всеми остальными планетами. Это сделало математический анализ движения планет невероятно трудным делом, так как теперь приходилось учитывать очень много переменных. Очень подробно рассматривалась задача трех тел: даже для упрощенной системы, состоящей только из Солнца, Земли и Луны, все равно невозможно было получить точное решение. Но затем, в 1747 году, Эйлер разработал новую технику, посредством которой можно было приблизительно вычислить расстояния между планетами в любой момент времени, используя раскрытие тригонометрических рядов.

Леонард Эйлер (1707–1783) — самый плодовитый математик в истории. В Базельском университете ему помогал Иоганн Бернулли. (Семейство Бернулли в течение нескольких поколений давало миру выдающихся математиков, это действительно настоящая научная династия.) В 1727 году Эйлер начал работать в Санкт-Петербургской академии наук, которую незадолго до этого открыла Екатерина Великая. В 1733 году Даниил Бернулли, сын Иоганна, возвратился домой в Базель, оставив кафедру математики в Санкт-Петербурге молодому Эйлеру. Год спустя Эйлер женился. У него родилось тринадцать детей, однако восемь умерли в младенчестве. Позднее он писал, что самые значительные свои открытия сделал, держа ребенка на руках или играя с детьми. У него были серьезные проблемы со зрением — в 1740 году он написал, что один глаз у него не видит, а в 1771 году ученый полностью ослеп. В 1741 году Эйлер принял приглашение Фридриха Великого переехать в Берлин и несколько лет спустя вошел в состав правления недавно основанной Берлинской академии наук. В 1766 году Эйлер возвратился в Санкт-Петербург и, несмотря на слепоту, получил там больше половины своих результатов. В работе ему помогали преданные ассистенты и его феноменальная память.

Математические исследования Эйлера охватывали практически все области математики. Он делал практические работы по картографии, судостроению, составлял календари, занимался финансовыми вычислениями. Но более всего он известен своими работами по математическому анализу и аналитической механике. Особенно известны такие поистине революционные работы, как «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Теория движения твердых тел» (1765) и главный труд, посвященный дифференциальному и интегральному исчислениям. Эйлер создал язык функций, запись ƒ(х), а также внедрил множество общепринятых теперь математических символов, вроде π для обозначения отношения окружности к ее диаметру, е — для базы натуральных логарифмов, i — для обозначения √-1 и знак ∑, для суммы. Он считал, что теория чисел, геометрия и математический анализ должны поддерживать друг друга в процессе моделирования явлений природы.

Теория возмущений позволила получить более точные результаты при вычислении орбит планет, но также привела к тревожному заключению, что планеты вовсе не должны оставаться на тех орбитах, по которым они движутся в настоящий момент. Небольшие колебания легко могут увеличиться, и планета сойдет со своей орбиты — казалось, придется допустить существование ангелов, не позволяющих планетам сойти со своих орбит. (В XX веке выяснилось, что динамику Солнечной системы можно объяснить с помощью теорий хаоса, — см. Главу 24.) Увеличилось число и сложность уравнений, необходимых для описания движения планет. Во Франции аналитические методы предпочли геометрическим, и это привело к огромному числу громоздких уравнений. Аналитический подход наиболее ярко использовал Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), создавший систему уравнений, известную как «лагранжиан». В его «Аналитической механике» (1788) на всех 500 страницах не было ни одной схемы. В 1799 году Лаплас издал первый том энциклопедического труда «Небесная механика», в котором особое внимание уделялось теории потенциалов и теории возмущений.

В то время во Франции произошло множество значительных событий, и лишь немногие математики смогли избежать политических беспорядков французской революции. Молодой Огюстен Луи Коши (1789–1857) избежал самых серьезных неприятностей, связанных с революцией, лишь потому, что его семья решила на время покинуть Париж. После окончания Политехнической школы он занимался постройкой портовых сооружений для запланированного Наполеоном вторжения в Англию. Но в основном он хотел посвятить себя математике, и после многочисленных разочарований ему наконец удалось занять пост доцента математического анализа в Политехнической школе.

Производительность Коши была просто потрясающей: основными его трудами были «Курс математического анализа» (1821), и «Лекции по дифференциальному анализу» (1829). Его собрание сочинений составляет приблизительно 27 толстых томов. Но в политическом климате Франции начала девятнадцатого столетия многие плохо воспринимали его верность католицизму, и его отношения с коллегами нередко были довольно напряженными. За то, что Коши поддерживал иезуитов в их борьбе против Академии наук и отказался поклясться в преданности новому режиму, в 1830 году он был лишен всех своих постов и отправился вместе с Карлом X в изгнание. По возвращении в Париж он дважды не прошел конкурс на право занять должность руководителя кафедры математики в Коллеж де Франс, хотя, безусловно, был самым лучшим кандидатом. Лишь в 1848 году, после низвержения Луи Филиппа он вернул свое положение в университете. Между 1840 и 1847 годом Коши издал свой четырехтомный труд «Упражнения по математическому анализу и математической физике». Коши помог заложить фундамент действительного и комплексного анализа, которые составляют основу математической физики.

Французский подход к приблизительному вычислению функций посредством усеченных степенных рядов и надежда на получение более точных приближений за счет большего количества членов ряда критиковались многими из тех, кто искал более надежные методы вычислений. Например, уже в 1860-х годах Шарль Делоне опубликовал уравнение поистине чудовищных размеров, занимающее целую главу, за которым следовали почти шестьдесят методов оценки его элементов. В 1834 году Уильям Роуэн Гамильтон послал Королевскому обществу статью, где представил функцию, которую ныне называют гамильтонианом. В одном уравнении он смог описать движение любого числа частиц, перемещающихся в границах одного потенциала. Как объяснял сам Гамильтон, это выражение не только позволяло описать движение частиц, но и давало метод решения, в отличие от функции Лагранжа, попытки решения которой приводили к неудачам. С середины девятнадцатого века работа Римана в области геометрии преобразовала методы и язык теории потенциалов (Глава 16). Новая область, которая стала известна как дифференциальная геометрия, расширила представления об исчислении в трехмерном пространстве. Геометрические объекты, такие, как точки, кривые и поверхности, были описаны в терминах векторов, а динамические понятия, вроде скорости, ускорения и энергии, могли быть описаны функциями и операторами, действующими на эти векторы. В трех измерениях есть три различно описанных векторных оператора: оператор градиента, в котором векторная функция выражается через скалярную функцию f (х, у, z); оператор вращения, который выражает один вектор через другой вектор, и скалярный оператор, который выражает скалярную функцию через вектор. Действительно, поскольку каждую переменную динамической системы можно было бы рассматривать как «размерность» системы, работа Римана с многомерными пространствами сделала дифференциальную геометрию прекрасным средством для моделирования физических систем в рамках одной системы. Максвелл сформулировал свою теорию электромагнетизма именно в нотации дифференциальной геометрии.

К середине девятнадцатого века набралось уже очень много экспериментальных и теоретических результатов в области электричества и магнетизма. В 1780-х годах Шарль Кулон обнаружил в процессе эксперимента, что электростатическая сила, возникающая между двумя заряженными частицами, подчиняется закону обратного квадрата. Теперь ученые могли применить к электростатическим явлениям некоторые из математических моделей и методов, которые были развиты при работе с силами гравитации. В 1812 году Симон-Дени Пуассон рассматривал электростатику практически так же, как несколько десятилетий назад Лаплас решал задачи небесной механики. Он предполагал, что электричество состоит из двух жидкостей с противоположным зарядом, которые присутствуют во всех телах, где одинаково заряженные частицы отталкиваются, а разнозаряженные — притягиваются. Год спустя он получил частичное дифференциальное уравнение, которое связывает потенциал с плотностью заряда, теперь известное как «уравнение Пуассона». В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил электромагнетизм, показав, что провод, несущий ток, может заставить колебаться намагниченную иглу. Это вдохновило Андре Мари Ампера начать изучать взаимодействие между электричеством и магнетизмом, для которого он выдумал термин «электродинамика». Он показал математически, что электромагнитная сила подчиняется закону обратного квадрата, так же как и электростатическая. Открытие электромагнитной индукции Майкла Фарадея показало, что электричество и магнетизм неразрывно связаны. Но физические теории того времени не были готовы адекватно объяснить эти явления. Например, идея Ампера о наличии в эфире крошечных электрических вихрей, которые передают магнетизм, столкнулась с проблемами, подобными тем, с которыми сталкивалась вихревая модель Декарта, призванная объяснить движение планет.

В результате анализа гравитационного взаимодействия между Землей и Луной астрономам стало очевидно, что из-за размеров этих двух тел и большого расстояния между ними их больше нельзя было считать точечными массами: теперь необходимо было рассмотреть влияние всего тела планеты. Если рассматривать все из некоей точки на Земле, гравитационное влияние Луны связано и с ее объемом или массой, и с ее формой. Эти взаимосвязи между силами внутри тела и на его поверхности были математически решены как отношения между объемным интегралом и поверхностным интегралом. Эти отношения были описаны в 1828 году в теореме Грина, названной в честь Джорджа Грина, который изучал математику в Кембридже. Эта теорема, которую Грин разработал для электромагнитных потенциалов, могла также использоваться и для гравитационных потенциалов.

В 1873 году Максвелл издал свой «Трактат об электричестве и магнетизме», в котором, вслед за Фарадеем, он описал такие ключевые понятия, как электрическое и магнитное поля. Максвелл попытался избежать того, чтобы его теории стали дополнительным аргументом в спорах о существовании эфира и истинной природы пространства, использовав, по существу, принцип нисходящего анализа (от сложных элементов к простым). Его теория избегает опоры на микроскопические идеи вроде заряда или тока, тогда еще не вполне понятные, а скорее применяет макроскопический подход, допуская существование полей, которые взаимодействуют друг с другом и со средой, через которую происходит это взаимодействие. Для Максвелла пространство было упругим континуумом, благодаря чему оно могло передавать движение из точки в точку. Из-за этой эластичности сама среда могла сохранять кинетическую и потенциальную энергии. Он многократно использовал теорию потенциалов и дифференциальную геометрию, поначалу записав свои уравнения в гамильтоновской кватернионной нотации, а затем в декартовском эквиваленте. Лишь Оливер Хевисайд перевел уравнения Максвелла в векторную форму, в которой они используются и по сей день.

Успех сопутствовал теории и представлениям Максвелла не с первых дней. Дж. Дж. Томпсон обвинял Максвелла в «мистике» за его теории полей. Эти обвинения довольно сильно напоминали реакцию, которую получил Ньютон в ответ на его теорию всемирного тяготения. В этот период в описании природы пространства царил полный хаос, и многие физики приспособили уравнения Максвелла для того, чтобы подтвердить свои собственные теории. В 1861 году Максвелл вычислил, что скорость электромагнитных волн очень близка к скорости света, что вдохновило его сделать свет частью электромагнитного спектра. В 1888 году Генрих Герц экспериментально доказал теорию Максвелла путем демонстрации существования электромагнитных волн. В то же самое время эксперименты Альберта Майкельсона и Эдварда Морли показали, что если эфир и существовал, то на него не влияло никакое движение как планет, так и пучка света. Старые аргументы о действии на расстоянии исчезли перед лицом экспериментальных доказательств. Но в основном переосмысление общего понятия пространства и времени произошло в 1905 году в результате работы Альберта Эйнштейна.

Впервые уравнения Максвелла с успехом были использованы в телеграфии и радиокоммуникациях. Хевисайд преобразовал его уравнения для телеграфии, где принял во внимание самоиндуктивность в линиях передач, которая была пропущена другими исследователями. Это привело к внедрению индуктивных катушек, чтобы повышать уровень сигнала, идущего по кабелям, в особенности по трансатлантическому кабелю. В 1902 году Гульельмо Маркони сумел успешно передать радиосигналы через Атлантику. Это подарило математическим физикам проблему точного моделирования того, как именно электромагнитные волны движутся в атмосфере Земли, особенно когда приемник находится вне поля зрения передатчика. С тех пор телекоммуникационная промышленность больше никогда не оглядывалась назад.