 Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало
начало «высшей математики». Методы математического анализа, в отличие от
понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными.
Многие годы математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались
дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на
многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он
находил все более широкое применение. Дифференциальное и интегральное
исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который
со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных
уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды,
вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое.
Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.
Неевклидова
геометрия. К 1800 математика покоилась на двух «китах» - на числовой
системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы
доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной
частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала
утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло
быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому
Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней
скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой
конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о
параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте
непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой
геометрии выпала Н.И.Лобачевскому (1792-1856) и Я.Бойяи (1802-1860),
каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное
изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку
можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии
Б.Римана (1826-1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной
параллельной.
О физических приложениях неевклидовой геометрии
никто серьезно не помышлял. Создание А.Эйнштейном (1879-1955) общей
теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию
реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала
наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно
продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод
непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать
достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато
математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли
показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был
теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать
аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из
аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга
математических исследований в конце прошлого века по существу явилось
следствием этой новой свободы.
Математическая строгость. Примерно
до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по
предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к
математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не
меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова
геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство
коммутативности) заставили математиков осознать, что то, что они
принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в
действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.
Создание
неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в
евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из недостатков
евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в
явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства,
которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были
включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух
треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на
другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не
изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и
несколько ошибочных доказательств.
Создание новых алгебр, начавшееся с
квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической
обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее
известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab =
ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о
числах, были открыты в 1843 У.Гамильтоном (1805-1865). Они оказались
полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем,
хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности.
Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать
посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых
Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы.
Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и
производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они
успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации
практической пользе. |
