Воскресенье, 21.01.2018, 06:10
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПИФАГОР [21]
СОФЬЯ КОВАЛЕВСКАЯ [45]
НИКОЛАЙ ЛОБАЧЕВСКИЙ [21]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Статьи » ЛИЧНОСТЬ В НАУКЕ » ПИФАГОР

В мире чисел и фигур

Предшественники Пифагора, более ранние греческие мыслители (да даже и жившие после него представители ионийской философии), были, так сказать, стихийными материалистами. Они искали начало мира в какой-либо из материальных «стихий», будь то вода, воздух, огонь… (разве что землю в этом качестве, кажется, никто не предлагал).

Пифагор же предложил принципиально иное решение проблемы. Известно, что он придавал большое значение для функционирования мироздания числам и их соотношениям, именно в числах видел некое мистическое «начало всех вещей». В чем новизна подобной установки?

Числа нематериальны, они представляют собой абстракции — но, что интересно, абстракции, которые понятны всем и каждому. Человек может представить себе три яблока или, допустим, три стула, а возможно ли представить себе просто число «три»? Такое вряд ли кому-нибудь удастся. Мы, разумеется, не имеем в виду цифру — банальный знак, обозначающий «тройку». Он-то как раз знаком любому. И, кстати, имел совсем не одинаковую форму в разные эпохи и в разных культурах. Мы пишем его как 3 (арабская цифра), древние римляне — как III, а древние греки (которые, естественно, нам особенно интересны в связи с Пифагором) — как Г'.

Нет, речь идет не о цифре, не о знаке, а именно о внутренней сущности числа. Она, повторим, не поддается визуальному представлению ввиду своей нематериальности. Но в то же время что такое «три» — понимает даже ребенок. Именно так: представить некий образ не может, но разумом понимает. А это и есть признак того, что перед нами абстракция: абстракции постигаются как раз разумом, а не чувствами.

Мы бы, пожалуй, даже сказали, что числа — наиболее древние абстракции. Понятно, что они должны были возникнуть очень рано, на самой заре человеческого общества, в далеких глубинах первобытной эпохи. Среди самых примитивных племен, исследовавшихся этнографами, нет ни одного настолько отсталого, чтобы ему были незнакомы цифры. Да это и не удивительно: насколько можно судить, людям всегда был необходим счет. Даже в коллективах охотников и собирателей ранней первобытности без чисел было не обойтись. Иначе как разделить добычу?

Итак, числа — первые абстракции или, выражаясь иными словами, первые идеи. А Пифагор, в свою очередь, был первым, кто поставил во главу угла при объяснении мироздания именно их, а не материальные элементы. И это, несомненно, дает право считать нашего героя основоположником идеализма как одного из важнейших направлений в истории философской мысли. По его стопам шли в дальнейшем и другие крупные представители италийской школы философии: Ксенофан, Парменид, Зенон Элейский, с некоторыми оговорками Эмпедокл…

Да и разве только они? Платон, который был самым крупным идеалистом античности и зачастую считается (как видим, не вполне точно) основателем идеализма как такового, очень многому научился у пифагорейцев, подвергся их сильнейшему влиянию (подробнее об этом мы еще скажем ниже). Ну а к Платону восходят все последующие идеалистические учения. Во всяком случае, объективно-идеалистические, включая наиболее разработанное из них — грандиозную систему Гегеля. Кстати, то же можно сказать и о нашем русском философском идеализме. «Отец» религиозной философии в России Владимир Соловьев очень углубленно занимался творчеством Платона, перевел ряд его произведений.

Что же касается субъективно-идеалистических теорий (Кант, Беркли и др.), с ними в этом отношении дело обстоит несколько сложнее. На Платона они не опираются, их первым «предтечей» следует считать Парменида. Но на взгляды Парменида тоже ведь повлиял Пифагор! Получается, что великий самосец стоит у истоков вообще всего идеализма в мировой философии. Что и говорить, почетное место. Уже одного этого хватило бы для того, чтобы считать Пифагора одной из грандиозных фигур в истории культуры.

Нам, получавшим образование в советское время, в пору господства марксистских представлений, усиленно вбивали в головы, как хорош материализм и как плох идеализм. На самом же деле, конечно, философия, озаренная светом какой-либо религиозной или иной высокой идеи, предпочтительнее философии чисто материалистической, признающей единственными двигателями процесса развития человечества в конечном счете желудок и кошелек. И не случайно ведь, что в целом, если подсчитать, количество когда-либо существовавших идеалистических систем значительно превышает количество материалистических. А первой из всех этих идеалистических систем, повторим снова, появляется учение Пифагора. Он в качестве ключевых идей для постройки своей картины мира избрал числа; идеалисты последующих времен использовали в этом качестве другие различные идеи.

«Пифагор, по сообщению Гераклида Понтийского, учил, что счастье заключается в знании совершенства чисел» (Климент Александрийский. Строматы. II. 130). Итак, основатель пифагореизма считал числа совершенными — потому и признал их основой всего. И их постижение, по его мнению, даже приносит счастье. «Числу все вещи подобны» — таково было одно из излюбленных изречений Пифагора, которое он чаще всего повторял своим ученикам (Ямвлих. Жизнь Пифагора. 29. 162).

Но как же конкретно мыслилось происхождение мира из чисел? Как идеи, абстракции могли порождать материальную реальность? Приведем несколько свидетельств, имеющих отношение к этому вопросу. Сразу заметим, что изложение соответствующего хода мысли выглядит достаточно сложным, запутанным, далеко не во всём ясным. Но тут уж ничего не поделаешь: все-таки мы занимаемся процессами, происходившими на весьма раннем этапе истории философии, когда еще не был отточен — усилиями Платона и прежде всего Аристотеля — категориальный аппарат этой дисциплины.

«…В пифагорейских записках содержится также вот что. Начало всего — единица; единице как причине подлежит как вещество неопределенная двоица; из единицы и неопределенной двоицы исходят числа; из чисел — точки; из точек — линии; из них — плоские фигуры; из плоских — объемные фигуры; из них — чувственно-воспринимаемые тела, в которых четыре основы — огонь, вода, земля и воздух; перемещаясь и превращаясь целиком, они порождают мир — одушевленный, разумный, шаровидный, в середине которого — земля…» (Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. VIII. 24—25).

Легко заметить, что тут перед нами — совершенно идеалистическая картина: материя происходит из идей. Но механизм подобного процесса остается неясным.

«…Понятие единства, тождества, равенства, причину единодушия, единочувствия, всецелости, то, из-за чего все вещи остаются самими собой, пифагорейцы называют Единицей… А понятие различия, неравенства, всего, что делимо, изменчиво и бывает то одним, то другим, они называют Двоицей… Таков же смысл и других чисел: всякое из них соответствует какому-то значению. Так, всё, что в природе вещей имеет начало, середину и конец, они по такой его природе и виду называют Троицей, и всё, в чем есть середина, считают троичным, и всё, что совершенно, — тоже; всё совершенное, говорят они, исходит из этого начала и им упорядочено, поэтому его нельзя назвать иначе, чем Троицей… Точно так же и последующие числа подчинены у них единому образу и значению, который они называют Десяткою… Поэтому они утверждают, что десять — это совершенное число, совершеннейшее из всех, и что в нем заключено всякое различие между числами, всякое отношение их и подобие» (Порфирий. Жизнь Пифагора. 49—52).

Здесь заметим, что священную для них десятку («декаду») пифагорейцы особым образом связывали с четверкой, или четверицей. Приведем, кстати говоря, и греческие термины, употреблявшиеся ими для остальных важнейших чисел: единица — «монада», двоица — «диада», троица — «триада», четверица — «тетрактида». Связь между четверкой и десяткой устанавливалась следующим образом: 4 — последний член арифметической профессии, приводящей к 10 (1+2-1-3-1-4 = 10). Также 4 — первый квадрат (22 = 4) и т. д. Припомним четыре страны света, четыре времени года. Число 4 лежит в основе первого по порядку геометрического тела — пирамиды, которая представляет собой четырехгранник (все остальные тела имеют большее количество граней). В общем, у Пифагора и пифагорейцев были основания относиться к четверке с определенным трепетом. Хотя, кстати, в большинстве религиозных традиций число 4 (как и 10) не сакрализовано, в отличие от 3 или 7.

В целом же во всём вышеизложенном определенную, вполне последовательную логику уловить, без сомнения, можно. Или — еще точнее — даже не столько логику, сколько диалектику «одного и иного». Отсюда — рассуждения о постоянном и меняющемся, что отражается в образах Единицы и Двоицы. Первой придаются скорее положительные обертоны, второй — отрицательные. «Из двух противодействующих сил лучшую он называл Единицею, светом, правостью, равенством, прочностью и стойкостью; а худшую — Двоицей, мраком, левизной, неравенством, зыбкостью и переменностью» (Лорфирий. Жизнь Пифагора. 28).

И далее появляется Троица, как некий синтез двух первых чисел — синтез, тем самым уже как бы обладающий некоторой степенью совершенства. Рассуждения подобного рода, несомненно, врезаются в память. Особенно нам, людям христианской культуры, в которой Троица — обозначение Бога, символ, знаменующий его абсолютное совершенство.

Вернемся к противопоставлению в пифагореизме Единицы и Двоицы. Нетрудно заметить, что тем самым противополагаются друг другу такие принципиальные категории, как нечетное и четное. Пифагорейцы и сюда вносили оценочный момент: нечетное — хорошо, четное — плохо. Более того, они выстраивали на этой основе целую систему взаимосвязанных противопоставлений (бинарных оппозиций, как выражаются в современной науке).

Тут необходимо предоставить слово Аристотелю, поскольку он в одном из своих трудов высказался по интересующей нас проблематике наиболее подробно:

«…Элементами числа они (пифагорейцы. — И. С.) считают четное и нечетное, из которых первое — предельное (то есть имеющее предел, границу. — И. С), а второе — беспредельное; единое же (речь идет о единице. — И. С.) состоит у них из того и другого (а именно: оно и четное и нечетное), число происходит из единого, а все небо, как было сказано, — это числа. Другие пифагорейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно:

предел и беспредельное

нечетное и четное

единое и множество

правое и левое

мужское и женское

покоящееся и движущееся

прямое и кривое

свет и тьма

хорошее и дурное

квадратное и продолговатое.

Такого же мнения, по-видимому, держался и Алкмеон из Кротона (известный врач и мыслитель-пифагореец, живший на рубеже VI—V веков до н. э.)… Он утверждает, что большинство свойств, с которыми сталкиваются люди, образуют пары… Например: белое — черное, сладкое — горькое, хорошее — дурное, большое — малое» (Аристотель. Метафизика. I. 986a18 sqq.).

Если при рассказе о теории метемпсихоза нам пришлось вспомнить о схожих индийских представлениях, то в данном случае смысловые ассоциации уводят нас еще дальше на восток — в Китай. В традиционных китайских воззрениях фигурируют — уже с глубокой древности (как минимум с середины I тысячелетия до н. э.) — два противоположных начала: Инь и Ян. Эти слова, собственно говоря, обозначают «темное» и «светлое». Но названные первопринципы противопоставляются и в прочих отношениях. Инь и Ян — это пассивное и активное, мягкое и твердое, женское и мужское, земное и небесное…

Сходство с пифагорейским дуализмом выглядит разительным! Не скажем, правда, что это сходство — полное и абсолютное. Имеются и различия. Так, в Китае мужское, благое начало Ян ассоциируется с активностью, а женское, дурное начало Инь — с пассивностью. У пифагорейцев наоборот. Если условно назвать два начала пифагореизма «Нечет» и «Чет», то «Нечет» окажется мужским и благим, а «Чет» — женским и дурным. То есть «Нечет» соответствует китайскому Ян, «Чет» — китайскому Инь. Однако пифагорейский «Нечет» связывается с покоящимся (то есть пассивным), а «Чет» — с движущимся (то есть активным). Но тут перед нами особенности именно древнегреческого философского мировосприятия, ставившего покой выше движения. Это достаточно серьезная и сложная историко-культурная проблема, о которой здесь не место подробно говорить.

И в любом случае подобные мелкие различия — всего лишь детали, не влияющие на общую картину. Так чем же вызывается почти полное сходство между пифагорейским и китайским учениями? Подчеркнем, что версию заимствования можно отбросить сразу. Если в случае с метемпсихозом вопрос о заимствовании из Индии можно было хотя бы поставить (но, правда, потом ответить на него отрицательно), то тут подобный вопрос даже и поставить нельзя. Об Индии греки эпохи Пифагора хоть что-то знали, а о Китае не знали вообще ничего. Даже не догадывались о существовании этой далекой страны. Не догадывался еще и Александр Македонский, живший через два века после Пифагора; он (как и все его современники) был убежден, что восточнее Индии суши уже нет.

Итак, если не заимствование, то, выходит, самостоятельное, независимое развитие двух похожих систем представлений? Получается, что только так. Тут, пожалуй, имеет смысл отметить, что в очень многих человеческих культурах (едва ли не во всех) более или менее значительную роль играют те самые дуальные противопоставления. Возьмем ли мы древний зороастризм, где утверждалось, что вся история есть противоборство доброго и злого верховных божеств, возьмем ли мы, допустим, мировоззрение современных американцев, для которых весь мир делится на «хороших парней» и «плохих парней»… Возможно, причина — в том, что построение пар таких противоположностей — простейший способ систематизации мира человеческим разумом.

Не сделаем сенсации, если скажем: с пифагорейской теорией чисел (и со всеми представлениями, от этой теории зависящими) связано очень много неясностей. Несомненно наличие, наряду с вполне рациональными рассуждениями, какого-то мистицизма. Он может восходить и к самому Пифагору, во взглядах которого, как мы уже имели случай убедиться, присутствовал изрядный мистический элемент. В то же время есть мнение, согласно которому тут много потрудились позднейшие пифагорейцы, приписав основателю своей школы много такого, чего в его изначальном учении вовсе не было. Это тем легче было сделать, что Пифагор не оставил письменных трудов; стало быть, его можно было объявить автором и таких идей, к которым он не имел прямого отношения. Или имел — но лишь к их становлению в самой зачаточной форме. Он дал некой мысли «первый толчок»; затем она начала развиваться по своим собственным законам и в итоге приобрела формы, которых и предвидеть не мог сам самосец, но тем не менее продолжала по традиции ассоциироваться именно с ним.

Иными словами, часто чрезвычайно затруднительно провести различие между учением Пифагора и тем, что предлагали его последователи. В итоге встречаем в современной исследовательской литературе и такие, например, пессимистические суждения: «…Реконструкция системы философских взглядов Пифагора кажется предприятием малореальным… Если бы даже ранние пифагорейцы неуклонно следовали доктринам Учителя, мы все равно имели бы очень мало шансов восстановить систему его философских взглядов: слишком многое говорит о том, что ее не существовало».

Крайне неутешительный вывод? Но характерно, что автор только что приведенной цитаты Л. Я. Жмудь буквально на тех же страницах высказывает и ряд достаточно категоричных тезисов о философии Пифагора. По мнению этого отечественного исследователя, «числовая доктрина» ассоциируется с Пифагором по недоразумению; в действительности же категорией, ключевой для его учения, являлась не категория числа, а иная. А именно — предел.

Из приведенного чуть выше списка «пифагорейских антитез» мы видели, что «предел» и противопоставленное ему беспредельное действительно там наличествуют. Более того, стоят в списке на первом месте. Соответственно, важность категории предела для пифагореизма отрицать действительно не приходится.

Но, с другой стороны, никуда нам не деться и от того, что Пифагор все-таки испытывал экстраординарный интерес к числам. Об этом согласно свидетельствуют все источники. И лишать пифагорейскую философию — с самых первых ее шагов, уже с основателя — связи с мистическими размышлениями о числах значило бы совершать уж слишком грубое насилие над фактами.

Стоит тут вспомнить и о вкладе Пифагора в развитие древнегреческой (да и мировой, в общем-то) математики. Мог ли он стать одним из крупнейших и наиболее известных представителей этой науки, если не интересовался числами? Что другое тогда могло бы побудить философа и теолога заниматься доказательством, например, геометрических теорем?

А имя Пифагора носит — и все это прекрасно знают — та самая теорема, которая может считаться наиболее, так сказать, хрестоматийной, чуть ли не воплощением теоремы вообще. Знаменитые «пифагоровы штаны», которые — согласно школьному фольклору чуть ли еще не дореволюционной поры — «на все стороны равны». Выражаясь более научно, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Уж каких только усилий не было приложено в современной науке, дабы отнять эту заслугу у Пифагора! Чаще всего апеллируют к тому, что намного раньше, в древневосточных цивилизациях, факт такого равенства был уже прекрасно известен на практике. Да, известен, конечно. Равно как известно было и то, что диаметр делит круг пополам. Но потребовался грек Фалес, чтобы доказать эту очевидную для египтян и вавилонян вещь. Так и в нашем случае — потребовался грек Пифагор, чтобы доказать данный тезис о соотношении сторон прямоугольного треугольника.

«…Пифагор перевел любовь к геометрической мудрости в разряд общеобразовательных дисциплин, рассмотрев ее начала сверху и исследуя теоремы безотносительно к вещественному миру посредством чистой мысли: именно он открыл область иррациональных чисел и строение пяти мировых тел» (Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. 65, 16 Friedlein).

Под «мировыми телами» имеются в виду правильные многогранники (равносторонняя пирамида, куб и т. д. — всего их действительно насчитывается пять). Но обратить внимание хотелось бы прежде всего на другое: в процитированном свидетельстве, в сущности, говорится о том, что Пифагор превратил геометрию из некой практической мудрости в абстрактную теоретическую дисциплину. Поступая при этом, надо сказать, в совершенно эллинском духе.

Как известно, из математических дисциплин числами занимается арифметика, фигурами — геометрия. Пифагор как философ ставил во главу угла числа. Означает ли это, что и Пифагор как математик должен был в первую очередь интересоваться проблемами арифметики?

В принципе — да. Однако в одной из предыдущих глав было указано на крайне важное обстоятельство: мышление античных греков имело образный, художественный характер, они стремились всё представить наглядно, всё изобразить — и, как следствие, у них даже арифметика получила геометрический характер. Эллинам был куда ближе мир «живых», вещественных фигур, чем мир «мертвых», абстрактных чисел. Пифагор был эллином, и он, конечно, не являлся исключением. Его арифметические интересы закономерно влекли его к геометрии. Диоген Лаэртский по этому поводу замечает:

«Это он (Пифагор. — И. С.) довел до совершенства геометрию… Больше всего внимания он уделял числовой стороне этой науки… А когда он нашел, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов, то принес богам гекатомбу…» (Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. VIII. 11 — 12).

Гекатомбой (буквально — «сто быков») называлось очень крупное жертвоприношение. В его ходе, конечно, не обязательно было заколоть на алтаре именно 100 быков (или коров), но, во всяком случае, требовалось какое-то весьма большое их количество. Видимо, радость Пифагора по поводу его открытия была так велика, что он решил не ограничиваться обычной благодарственной жертвой. Обратим также внимание на то, что в только что приведенной цитате прямо подчеркивается преимущественный интерес самосского ученого к числовой (то есть арифметической) стороне геометрии.

Один современный исследователь так очерчивает «круг тех конкретных математических проблем, к решению которых Пифагор был, скорее всего, лично причастен: теория пропорций, теория четных и нечетных чисел, теорема Пифагора, метод определения пифагоровых троек и построение двух правильных многогранников». Из перечисленного здесь ранее не упоминались пифагоровы тройки. Поясним: так назывался метод определения длины сторон прямоугольного треугольника. Таким образом, перед нами проблематика, тесно связанная с теоремой Пифагора.

Категория: ПИФАГОР | Добавил: admin (18.01.2014)
Просмотров: 404 | Теги: Жизнь Пифагора, пифагор, великие математики, Пифагор и его школа, становление математики как науки, биография Пифагора, дидактичес, история математики | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск
Copyright MyCorp © 2018
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru