Геометрия занимается изучением свойств тел и фигур, хотя такое определение настолько широко, что почти лишено смысла. Так, оно позволяет считать геометром члена жюри любого конкурса красоты, поскольку тот судит о «свойствах тел и фигур», хотя под телами и фигурами он понимает нечто иное, чем геометр. Когда о какой-нибудь линии кто-либо замечает, что она необычайно изящна или выразительна, то, хоть речь идет о кривой, то есть объекте, действительно изучаемом в геометрии, само высказывание относится скорее к области эстетики, чем к математике.

Попробуем уточнить, что такое геометрия, и определим ее с помощью такого понятия, как симметрия. Под симметрией принято понимать такое преобразование фигуры, которое оставляет фигуру неизменной. Например, буква H симметрична относительно поворота на 180°. Это означает, что если букву H повернуть на 180° (поставить «вверх ногами»), то она перейдет в фигуру, неотличимую от буквы H в исходном положении (разумеется, при условии, если перекладина в букве H находится строго посредине). Слово «AHA», стоящее на обложке этой книги, обладает зеркальной, или двусторонней симметрией: если приставить к нему справа или слева зеркало, то зеркальное отражение слова будет неотличимо от оригинала.

Любой раздел геометрии можно определить как науку о свойствах фигур, не изменяющихся при определенных преобразованиях симметрии. Например, евклидова геометрия на плоскости занимается изучением свойств, остающихся неизменными (инвариантных) при движении фигуры по плоскости, поворотах, зеркальных отражениях и равномерных сжатиях и растяжениях. Аффинная геометрия занимается изучением свойств, инвариантных относительно «перекашивания» фигуры. Проективная геометрия изучает свойства, инвариантные относительно проецирования. Топология имеет дело со свойствами, которые сохраняются неизменными, когда фигура претерпевает сколь угодно сильные искажения без разрывов и склеиваний, аналогичные деформациям фигуры, изготовленной из гибкого, растяжимого и прочного материала.

Хотя геометрические мотивы встречаются во всех главах нашей книги, в этой главе мы собрали задачи, в которых геометрический аспект имеет явное преимущество перед всеми остальными. При отборе предпочтение отдавалось таким задачам, которые при надлежащем подходе (и «везении») допускают простые и ясные решения. Первая же задача — о разрезании сыра — отчетливо показывает, как тесно переплетаются даже в простейших задачах «сферы влияния» самых различных разделов математики: ее можно рассматривать как задачу по планиметрии, стереометрии, комбинаторике, теории чисел. В этой же задаче нетрудно усмотреть и зачатки исчисления конечных разностей.

«Пасутся кони на другом поле», как ни странно, — топологическая задача. Метод нитей и пуговиц позволяет свести ее к задаче о точках на простой замкнутой кривой. Форма замкнутой кривой для решения задачи не имеет ни малейшего значения — важны лишь топологические свойства кривой. Мы приводим решение задачи для случая, когда точки расположены на окружности, но с тем же успехом мы могли взять кривую, образующую периметр квадрата или треугольника.

Следующие две задачи («Невиданный меч» и «Пари на полюсе») снова выводят нас из плоскости в евклидову геометрию трехмерного пространства. При взгляде на маршруты полетов невольно вспоминается другая знаменитая задача о путях — задача о четырех черепахах. На ее примере мы видим, что иногда простые идеи позволяют избежать применения несравненно более сложных методов математического анализа. Задача об искусном землемере Рэнсоме возвращает нас на плоскость и знакомит с такими главами евклидовой геометрии, как теория разрезаний и разбиений. Задачи на разбиение земельных участков относятся к так называемой комбинаторной геометрии плоскости. Задача мисс Евклид о разрезании куба принадлежит к комбинаторной геометрии пространства.

Задача о ковровом покрытии для кольцевого коридора и ее трехмерный аналог — задача о просверленной насквозь сфере — могут служить прекрасными примерами того, как некая величина, которая, казалось бы, должна изменяться в зависимости от значений других параметров, в действительности принимает лишь одно значение. Кто мог бы ожидать, что при просверливании в сфере сквозного цилиндрического канала заданной длины объем оставшейся части сферы при постоянной длине канала не зависит ни от радиуса сферы, ни от диаметра канала? Впервые столкнувшись с теоремой о таком удивительном постоянстве, математик выразит свое изумление и почти заведомо скажет: «Красивый результат!»

Что именно имеют в виду математики, называя теорему или формулу красивой, точно не известно. Красота в их понимании каким-то образом связана с неожиданной простотой, но сколь ни трудно объяснить, в чем состоит эстетическая привлекательность математического утверждения, все математики умеют отличать красивую теорему или изящное доказательство с такой же легкостью, с какой мы отличаем красавицу от дурнушки. Геометрия, изучающая объекты, доступные не только мысленному взору, но и непосредственному созерцанию, необычайно богата красивыми теоремами и доказательствами. Некоторые из них вы встретите в этой главе.