Избавившись от болтливой дамы, шофер такси
вздохнул с облегчением. Следующий рейс был несравненно легче: трем
молодым парам не терпелось поскорее попасть в дискотеку. Одна девушка
была в красном костюме, вторая — в зеленом, третья — в синем. Их
партнеры также были в красном, зеленом и синем. Оказавшись во время танцев рядом с девушкой в зеленом, юноша в красном обратился к ней.
Фрэнк. Не правда ли, Мабель, забавно получается: ни у кого из нас цвет костюма не совпадает с цветом костюма партнера. Можете ли вы с уверенностью сказать, в костюме какого цвета был юноша, танцевавший в паре с девушкой в красном? Юноша в красном мог танцевать только с
девушкой в синем. Девушка в красном не могла танцевать с ним, так как
тогда по крайней мере одна пара была бы в костюмах одного цвета. Девушка
в зеленом не танцевала с ним (он заговорил с ней, когда она оказалась
рядом, танцуя с кем-то другим). Аналогичные рассуждения показывают, что
девушка в зеленом не могла танцевать с юношами в красном и зеленом.
Следовательно, она могла танцевать с юношей в синем. Таким образом, девушка в красном могла танцевать только с юношей в зеленом.
Цвета против цветов
Для большинства людей разобраться во всех
тонкостях рассуждений, приводящих к решению задачи, дело нелегкое. А
догадаться, как решить задачу, не понимая до конца, что именно
утверждается в каждом из ее многочисленных условий, попросту невозможно.
Всю информацию удобно представить в виде квадратной матрицы следующего
вида: Прописные буквы слева означают цвета
костюмов, в которые были одеты юноши: К — красный, 3 — зеленый, С —
синий. Строчные буквы сверху означают цвета платьев, в которые были
одеты девушки.
Поскольку ни в одной паре костюмы партнеров
не были одного цвета, то три комбинации Кк, Зз и Сс можно сразу же
исключить (клетки, соответствующие этим комбинациям, закрашены). Юноша в красном оказался во время танцев
неподалеку от девушки в зеленом. Значит, он не танцевал в паре с
девушкой в зеленом, и мы можем исключить клетку Кз. В ряду К после этого
останется одна клетка. Значит юноша в красном танцевал с девушкой в
синем. Это обстоятельство мы отметим, поставив «птичку» в клетке Кс,
после чего наша таблица примет следующий вид: Поскольку нам уже известно, что девушка в
синем танцевала с юношей в красном, то она не могла танцевать с
партнером в зеленом. Следовательно, клетку Зс можно закрасить, после
чего во втором ряду остается незакрашенной только одна клетка Зк.
Значит, юноша в зеленом танцевал с девушкой в красном, и в клетке Зк
можно поставить «птичку». Но если девушка в красном танцевала с
юношей в зеленом, то она не могла танцевать с юношей в синем, что
позволяет нам закрасить клетку Ск. В ряду С остается только одна
незакрашенная клетка Сз. Мы поставим в ней «птичку», означающую, что
юноша в синем танцевал с девушкой в зеленом. Задача полностью решена. А вот более трудная логическая задача по
существу того же рода. Решить ее без матричного, или табличного, метода
под силу лишь немногим.
Пол, Джон и Джордж — три звезды «рока».
Один из них гитарист, другой ударник, третий пианист (разумеется, мы
отнюдь не утверждаем, что Пол непременно играет на гитаре, Джон на
ударных и Джордж на фортепьяно: Пол вполне может быть, например,
пианистом, Джордж ударником и т. д.).
1. На запись грампластинки популярной
«рок»-музыки ударник хотел пригласить гитариста, но того не оказалось в
городе: он отбыл на гастроли вместе с пианистом.
2. Пианисту платят больше, чем ударнику,
3. Полу платят меньше, чем Джону.
4. Джордж никогда не слышал о Джоне.
На каком инструменте играет каждый из трех музыкантов?
Удастся ли вам, построив матрицу 3×3 решить задачу по аналогии с предыдущей?
Получив правильное решение, вы узнаете, что Пол гитарист, Джон ударник, а Джордж пианист.
Табличный (или матричный) способ решения
логических задач имеет много общего с решением задач формальной логики
при помощи диаграмм Венна. В обоих случаях решение получается
последовательным исключением недопустимых комбинаций «значений
истинности», которое продолжается до тех пор, пока не останется
одна-единственная комбинация, отвечающая всем условиям задачи. Как
сказал однажды Шерлок Холмс доктору Ватсону в рассказе «Знак четырех»:
«Если исключить невозможное, то то, что останется, сколь бы невероятным
оно ни было, должно быть истиной».
А вот задача более сложная, чем предыдущие.
Она познакомит вас с одним из наиболее важных двухместных отношений
формальной логики — так называемой импликацией, или утверждением «Если…,
то…».
В комнате общежития женского колледжа
собрались однажды все четыре обитательницы. Каждая из них занималась
своим делом. Одна студентка занялась маникюром, другая расчесывала
волосы, третья прихорашивалась перед зеркалом, а четвертая читала.
1. Мира не занималась маникюром и не читала.
2. Мод не прихорашивалась перед зеркалом и не занималась маникюром.
3. Если Мира не прихорашивалась перед зеркалом, то Мона не занималась маникюром.
4. Мэри не читала и не занималась маникюром.
5. Мона не читала и не прихорашивалась.
Что делала каждая девушка?
Начертить матрицу 4×4 для четырех имен и
занятий не составит особого труда. Обратите внимание на то, что каждое
из утверждений 1, 2, 4 и 5 позволяет закрасить 2 клетки (и исключить из
рассмотрения соответствующие комбинации имен и занятий).
Утверждение 3 — импликация. В нем говорится, что если Мира не прихорашивалась перед зеркалом, то Мона не занималась маникюром. Пусть A означает посылку импликации (утверждение, стоящее после «если»), а B — ее заключение (утверждение, стоящее после «то»). Двухместное отношение «если A, то B» ложно, когда A истинно, а B ложно, но ничего не говорит нам о значениях истинности утверждения B в тех случаях, когда A ложно.
Следовательно, утверждение 3 допускает 3 различные комбинации значений истинности.
1. Мира не прихорашивалась перед зеркалом, и Мона не занималась маникюром.
2. Мира прихорашивалась перед зеркалом, и Мона не занималась маникюром.
3. Мира прихорашивалась перед зеркалом, и Мона занималась маникюром.
После того как вы исключите 8 комбинаций
(заштриховав или закрасив в таблице 8 клеток), запрещаемых утверждениями
1, 2, 4 и 5, останется проверить каждую из 3 пар простых высказываний,
содержащихся в утверждении 3. Две пары приводят к противоречию: приняв
их, вы получили бы, что две девушки занимались одним и тем же. Лишь пара
высказываний «Мира прихорашивалась перед зеркалом, и Мона занималась
маникюром» не противоречит информации, содержащейся в остальных
утверждениях. Итак, окончательное решение имеет вид:
Мира прихорашивалась перед зеркалом.
Мод читала.
Мэри расчесывала волосы.
Мона занималась маникюром.
Составлять логические задачи такого типа
совсем не трудно. Попробуйте придумать одну-две такие задачи сами.
Решать такие задачи можно многими способами, например используя
алгебраические методы, теорию графов, различного рода логические
диаграммы и т. д. Возможно, вам удастся изобрести свой собственный
метод, не уступающий приведенному нами или даже в чем-то превосходящий
его.
| 
