В главе 31 уже говорилось о занимательных задачах, возникающих при одном лишь складывании листа бумаги без разрезания. Еще более интересные и поистине неисчерпаемые возможности по-новому, иногда с довольно неожиданной точки зрения взглянуть на давно знакомые теоремы планиметрии открываются перед нами, когда в игру вступают ножницы.

Рассмотрим, например, хорошо известную теорему о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна развернутому углу (то есть составляет 180°). Вырежем из листа бумаги треугольник, поставим рядом с каждой его вершиной жирную точку и обрежем все его углы. Сложив помеченные точкой уголки вместе, вы убедитесь, что три внутренних угла треугольника действительно образуют развернутый угол (рис. 193,а).

 

Рис. 193 Доказательство теорем планиметрии с помощью ножниц.

Попробуем проделать такую же операцию с внутренними углами любого (в том числе и не выпуклого, как на рис. 193,б) четырехугольника. Четыре отрезанных угла в сумме всегда дают полный угол (360°). Продолжив стороны любого выпуклого многоугольника за вершины так, как показано на рис. 193, в, мы получим так называемые внешние углы (на рисунке они отмечены точками). Независимо от того, сколько сторон в многоугольнике, вырезав и приложив друг к другу его внешние углы, мы всегда получим угол в 360°.

Если одна или несколько сторон многоугольника пересекаются, мы получаем то, что иногда принято называть самопересекающимся многоугольником. Хорошо известным примером таких многоугольников может служить пятиугольная звезда, или пентаграмма, — символ братства пифагорейцев. Начертите звезду сколь угодно неправильной формы (если хотите, можно нарисовать даже одну из вырожденных звезд, изображенных на рис. 194, у которых одна или две вершины расположены внутри тела звезды), отметьте точками углы при вершинах, вырежьте звезду и отрежьте все помеченные углы, приложив их один к другому.

 

Рис. 194 Заставив спичку скользить вдоль сторон этих звезд, мы убедимся в том, что сумма углов, отмеченных точками, равна 180°.

Вы с удивлением обнаружите, что углы при вершинах любой звезды, так же как и внутренние углы треугольника, в сумме всегда составляют развернутый угол. Справедливость этой теоремы подтверждается и другим, не менее причудливым эмпирическим методом, который можно было бы назвать методом скользящей спички. Начертив большую звезду, положим на одну из ее сторон спичку (как следует класть спичку, показано на рис. 194). Будем сдвигать спичку вдоль стороны до тех пор, пока ее головка не совпадет с вершиной звезды, а затем повернем спичку влево так, чтобы она расположилась вдоль другой стороны нашей звезды. Ориентация спички на плоскости изменилась по сравнению с первоначальной на угол, равный углу при вершине звезды. Сдвинем теперь спичку вдоль новой стороны до следующей вершины и проделаем там то же самое. Так будем продолжать до тех пор, пока спичка не вернется в исходное положение. При этом она, описав по часовой стрелке угол в 180°, окажется перевернутой: ее головка будет направлена не вверх, а вниз. Угол, описанный спичкой, очевидно, равен сумме углов при пяти вершинах пятиугольной звезды.

Методом скользящей спички можно воспользоваться как для подтверждения правильности всех упоминавшихся выше теорем, так и для отыскания новых. Он служит удобным способом измерения углов любых многоугольников, в том числе и звездчатых, и многоугольников с любыми самыми сложными самопересечениями. Так как спичка при возвращении в исходное положение имеет направление, либо совпадающее с первоначальным, либо противоположное ему, сумма описанных ею углов (разумеется, при условии, что спичка всегда поворачивается в одном и том же направлении) всегда кратна развернутому углу. Если же спичка, описывая углы, может поворачиваться в обе стороны, как это часто бывает в случае самопересекающихся многоугольников, то получить сумму углов оказывается невозможным, хотя можно сформулировать некоторые другие теоремы. Например, если спичка скользит по периметру самопересекающегося многоугольника, изображенного на рис. 195, то она будет поворачиваться по часовой стрелке во всех углах А и против часовой стрелки во всех углах В.

 

Рис. 195 Сумма углов этого самопересекающегося многоугольника, обозначенных буквой А, равна сумме его углов, обозначенных буквой В.

Таким образом, мы не можем получить сумму всех восьми углов этого многоугольника, но можем утверждать, что сумма углов А равна сумме углов В. Наше заключение нетрудно проверить, вырезав многоугольник из бумаги и отрезав все его углы или дав строгое геометрическое доказательство.

Известная 47-я теорема Евклида—теорема Пифагора—допускает много изящных доказательств с помощью ножниц. Мы приведем лишь одно замечательное доказательство, открытое в прошлом веке Генри Перигэлом, лондонским биржевым маклером и астрономом-любителем. Постройте квадраты на катетах любого прямоугольного треугольника (рис. 196).

 

Рис. 196 Доказательство теоремы Пифагора с помощью листа бумаги и ножниц.

Разделите большой квадрат (или любой из квадратов, если прямоугольный треугольник равнобедренный) на четыре одинаковые части, проведя через центр квадрата две взаимно перпендикулярные прямые, одна из которых параллельна гипотенузе треугольника. Вырежьте из листа бумаги части большего квадрата и меньший квадрат. Не меняя их ориентации на плоскости, вырезанные части можно передвинуть так, что они составят один большой квадрат (на рис. 196 этот квадрат показан пунктиром), построенный на гипотенузе.

Перигэл открыл свой способ разрезания квадрата где-то около 1830 года, но опубликовал его лишь в 1873 году. Он был в таком восторге от своего открытия, что приказал отпечатать схему разрезания квадрата на своей визитной карточке и изготовил и роздал сотни головоломок, в которых из пяти частей нужно было сложить два квадрата. (Тем, кто не видел схемы разрезания, сложить эти части так, чтобы они сначала составили два квадрата, а затем один большой, довольно трудно.) Из некролога, помещенного в 1899 году в заметках Лондонского королевского астрономического общества, мы узнаем любопытную деталь о Перигэле: «… главной целью его жизни в астрономии» было убедить других, «в особенности молодых людей, еще не закосневших в противоположном мнении», что выражение «Луна обращается вокруг Земли» неправильно передает характер движения нашего естественного спутника. Перигэл писал брошюры, строил модели и даже сочинял поэмы, чтобы доказать инакомыслящим правильность своей точки зрения, «с неизменной стойкостью духа перенося все новые и новые разочарования и убеждаясь, что ни одно из использованных им средств не приносит желаемого результата».

Разрезание многоугольников на части и составление из последних новых многоугольников принадлежит к числу наиболее увлекательных областей занимательной математики. Доказано, что любой многоугольник можно разрезать на конечное число частей, образующих любой другой многоугольник, равновеликий первому, но разрезание фигур представляет интерес лишь в тех случаях, когда число частей достаточно мало, чтобы метаморфоза поражала воображение зрителей. Кто мог предсказать, что правильную шестиугольную звезду можно разрезать всего лишь на пять частей, из которых составляется квадрат (рис. 197)?

 

Рис. 197 Как нужно разрезать правильную шестиугольную звезду для того, чтобы ее можно было превратить в квадрат.

(Для того чтобы составить квадрат из частей пятиугольной звезды, ее требуется разрезать не менее чем на восемь частей.) Ведущим специалистом по разрезанию геометрических фигур, по-видимому, считается австралиец Гарри Линдгрен. На рис. 198 показан принадлежащий ему способ разрезания правильного двенадцатиугольника, из частей которого составляется квадрат.

 

Рис. 198 Как разрезать правильный двенадцатиугольник, чтобы из его частей сложить квадрат.

Существует еще один совершенно иной класс развлечений, также связанный с вырезанием из бумаги, но знакомый больше фокусникам, чем математикам: лист бумаги сначала несколько раз складывают, затем делают один-единственный прямой разрез и, развернув, показывают зрителям тот или иной удивительный результат.

Например, развернутый лист бумаги может иметь форму правильного многоугольника или более сложной геометрической фигуры, в нем может появиться отверстие столь же причудливой формы и т. п.

Фокусникам хорошо известен необычный фокус с одним разрезом под названием «двухцветный разрез». Квадратный кусок клетчатой ткани размером восемь клеток на восемь, напоминающий обычную шахматную доску (клетки могут быть, например, красными и черными), определенным образом складывают и производят один разрез ножницами. В результате красные квадраты оказываются отделенными от черных, а вся «доска» — разрезанной на отдельные квадраты. Взяв лист кальки (тонкая бумага позволит нам видеть контуры клеток, даже когда она будет сложена в несколько раз), нетрудно наметить линию разреза для этого фокуса и способы вырезания простых геометрических фигур. Вырезание же более сложных узоров представляет довольно сложную задачу.

Старый фокус неизвестного происхождения, также связанный с разрезанием листа бумаги, показан на рис. 199.

 

Рис. 199 Старый фокус с разрезанием листа бумаги.

Обычно, показывая его, рассказывают историю о двух современных политических лидерах, один из которых пользовался всеобщей любовью, а другой — ненавистью. Оба скончались и предстали перед небесными вратами. У Плохого лидера, как водится, не оказалось никаких документов на право входа, и он обратился за помощью к стоявшему за ним Хорошему лидеру. Хороший сложил свой листок бумаги так, как показано на рис. 199, а — д, и разрезал сложенный лист по пунктирной линии. Часть листа, торчащую вверх слева, он оставил себе, а все остальное отдал Плохому лидеру. Святой Петр, взяв из рук Плохого лидера части листа, сложил из них слово «hell» — ад (рис. 199,е) и отправил Плохого по указанному адресу. Развернув часть листа, предъявленную Хорошим лидером, святой Петр увидел крест, изображенный на рис. 199,ок.

Неизогнутый ровный лист бумаги, очевидно, нельзя разрезать по прямой так, чтобы получились криволинейные фигуры, но если лист бумаги навернуть на конус и пересечь его плоскостью, то край листа в зависимости от угла наклона секущей плоскости будет иметь вид окружности, эллипса, параболы или гиперболы. Все эти кривые, как и должно быть, являются коническими сечениями и были изучены еще древними греками. Менее известен тот факт, что синусоиду можно построить очень быстро, если лист бумаги обернуть много раз вокруг цилиндрической свечи, а затем перерезать наискось и свечу и бумагу. Развернув обе половинки листа, вы увидите, что края вырезаны по синусоиде — одной из фундаментальных форм волнового движения в физике. Этот фокус полезен и для домашних хозяек, желающих украсить край бумаги, которой они застилают кухонные полки.

В заключение приведем две занимательные задачи на складывание и вырезание. В обеих задачах речь идет о построении кубов.

Первая из них легкая, вторая потруднее.

1. Полоска бумаги имеет в ширину 3 см. Какова длина самой короткой полоски, из которой можно сложить куб с длиной ребра 3 см? Сложенный куб должен иметь все шесть граней.

2. Квадрат белой бумаги со стороной 9 см выкрашен с одной стороны в черный цвет и расчерчен на девять квадратов, каждый из которых имеет размер 3x3 см. Если разрезы разрешается делать только по проведенным линиям, можно ли разрезать лист бумаги так, чтобы из него сложить куб, все шесть граней которого были бы черного цвета? Развертка куба должна состоять из одного куска.

Разрезать и складывать развертку по каким-либо прямым, кроме уже проведенных, нельзя.

* * *

Существуют, разумеется, самые разнообразные геометрические доказательства того, что сумма углов при вершинах трех изображенных на рис. 194 различных типов пятиконечных звезд равна 180°. Читателю полезно самому додуматься до них, хотя бы для того, чтобы оценить, насколько проще и нагляднее доказательство с помощью метода скользящей спички.

Ответы

Самая короткая полоска бумаги шириной 3 см, из которой можно сложить куб размером 3 х 3 см, имеет в длину 21 см. Как складывать полоску, показано на рис. 200.

 

Рис. 200 Как сложить куб с длиной ребра 3 см из полоски бумаги шириной 3 и длиной 21 см.

Если полоска с одной стороной выкрашена в черный цвет, то для того, чтобы сложить куб с шестью черными гранями, потребовалось бы взять полоску длиной 24 см.

Сложить куб с шестью черными гранями из квадратного куска бумаги, выкрашенного с одной стороны в черный цвет, можно многими различными способами. Для этого выкройка должна содержать не менее восьми квадратов, но положение отсутствующего (девятого) квадрата ничем не фиксировано. На рис. 201 показана выкройка, у которой вырезан центральный квадрат, и способ, позволяющий сложить из нее черный куб.

 

Рис. 201 Разрезав квадратный лист бумаги так, как показано вверху слева, вы сможете сложить куб, все шесть граней которого будут черного цвета. (Нижняя сторона листа бумаги окрашена в черный извет.)

Во всех решениях общая длина разреза равна пяти сторонам квадрата. (Если используется весь большой квадрат, то есть все девять маленьких, то длина разреза может быть уменьшена до периметра маленького квадрата.)