Пока астрологические числа Древнего Вавилона вместе с их многочисленными ассоциациями переносились в христианскую эпоху, в Греции зародилась независимая философия числа, которая во многих своих вариантах стала известна в Средние века как пифагорейская.

О самом Пифагоре (580–500 гг. до н. э.), которого Геродот называл «величайшим эллинским мудрецом», достоверно ничего не известно. Согласно легенде, после путешествий и длительного пребывания в Вавилоне и Египте он вернулся на Запад и основал в Южной Италии тайный культ, трактующий мистическое объяснение Вселенной.

Члены братства объединялись пожизненно, связанные клятвой и особым мистическим ритуалом, напоминавшим некоторые восточные мистерии, и соблюдением строгих этических и рациональных предписаний. Школа быстро расширялась и приобрела значительное политическое влияние, однако благодаря ее политическим или религиозным взглядам подвергалась жестоким преследованиям. Как предполагают, во время их Пифагор и погиб.

Самое пространное описание раннего пифагорейства дается Аристотелем: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев, стали считать ее начала началами всего существующего. А поскольку среди этих начал числа от природы суть первое, в числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходства с существующим и возникающим, более, чем в огне, земле и воде (например, некое свойство чисел справедливость, а иное — душа и ум, другое — удача, так можно сказать по каждому остальному случаю). Далее они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах. Следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и числа — первое во всей природе. Они предположили, что элементы чисел — суть элементы всего существующего, небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями, частями неба и всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в соответствие друг с другом; и если у них где-то получался тот или иной пробел, они стремились восполнить его, чтобы все учение было связным» (Метафизика, кн. 1).

Очевидно, Аристотель не выказывает благожелательности. Тем не менее Филолай (ок. 450 г. до н. э.), чей труд, посвященный пифагорейским доктринам, сохранился фрагментами, подтверждает это заявление основным положением пифагорейства: «В основе всех вещей лежит число, — учил Пифагор, познать мир — значит познать управляющие им числа».

Источник подхода пифагорейцев к числу — два главных принципа: возвышение десятка, содержащего все числа и, следовательно, вещи, и в геометрической концепции математики. Из первой посылки, по Аристотелю, образовалась их космическая теория.

В центре Вселенной помещен центральный огонь, вокруг которого вращаются Земля, Солнце, Луна, планеты и постоянные звезды. Итоговое целое из девяти сфер настолько отвратительно их вере в силу организованной и математической Вселенной, что невидимая «противоположная земля» должна была завершить эту декаду. Число 10 для осознания завершенности было просто необходимо, поскольку все вещи содержались внутри декады, а после 10 числа просто повторялись.

С другой стороны, геометрический подход к математике доказывал связь (отличную от астрологической) между абстрактным числом и конкретной реальностью. Именно благодаря цифрам, заметил Филолай, вещи и становятся известными. Следовательно, число 1 представляется точкой. Число 2 позволяет расширение, ибо линия проводится, присоединяясь к точке.

Все же ни точка, ни линия не являются вещественными предметами. Как бы то ни было, триада представлена треугольником, первой плоской фигурой и, следовательно, первым реальным числом. Треугольник становится основой базы всех предметов, постижимых чувствами. Суть замечания Платона — в том, что поверхность состоит из треугольников.

Что же касается числа 3, это самое фундаментальное представление поверхности, так что из числа 4 производится первое геометрическое тело. Ведь если четвертая точка устанавливается в среднем положении над треугольником и соединяется линиями с тремя его точками, получается пирамида, или тетраэдр, четырехгранник, состоящий из треугольных поверхностей.

Или, как подметили поздние комментаторы, поверхность ограничивается тремя точками, восходящими к размещенной сверху. Выявлены пять подобных «регулярных» твердых тел, состоящих в основном из треугольников. Первые четыре — тетраэдр, октаэдр (восьмигранник), икосаэдр (двадцатигранник) и куб — ассоциировались у Платона с огнем, воздухом, водой и землей.

Подчеркнем, огонь, первый принцип пифагорейской космографии, оставался единственной фигурой, чья поверхность четырехугольная и связана с землей, таким образом добавляя философскую поддержку традиционной вере в квадратную форму земли.

Существовавшие четыре элемента во многом влияли на стабильность мышления многих греческих философов, полагавших, что есть четыре, вместо пяти, постоянных тела. Платон или подчеркивал, что пятый включает и управляет остальными четырьмя, или обходил выдвинутое положение, когда заявлял, что додекаэдр, двенадцатигранник с 12 пятиугольными лицевыми сторонами, «используется, чтобы приукрасить Вселенную созвездиями». Позже философы уделяли особое внимание определению природы двенадцатигранника.

Здесь, как и в «Республике», порядок осуществления действия и терминология геометрические по своим свойствам. «Свадебное число» «Республики» образуется из известных 3, 4, 5 правильных треугольников, знакомых египтянам по крайней мере уже в 1000 году до н. э. Они явно любимые фигуры и самого Пифагора. Вероятно, так вполне было в Античности, где измерения оказывались необычно рациональными и чьи стороны, 3 и 4, первые ровные числа и первое солидное число, объединялись, чтобы произвести гипотенузу, 5, число постоянных тел.

Краткое изложение Эвклидом трудов греческих математиков также свидетельствует о преобладании геометрического мышления над арифметическим и обнаружении гармонических пропорций, приписанных Пифагору. Должно быть, оно происходит из геометрического опыта прижимания натянутой струны или наблюдения за относительным весом кузнечных молотов.

Из геометрии вытекает пифагорейская концепция совершенного числа, которым является сумма не ее делителей, а ее кратных частей. Она, должно быть, придает особый вес их философии, обнаруживая, что первое совершенное число 6 = (1+ 2 + 3) находится в области больших 3, 4, 5 правильных треугольников, а второе совершенное число — 28 — оказывается астрологическим значительным.

Подобное сочетание философии и геометрии побуждало рассматривать «математику» и «пифагорейство» как почти трансформируемые понятия. Некоторые пифагорейские открытия, например различение четных и нечетных чисел, простого числа, оказывались исключительно математическими.

Другой пример организации рациональных целых чисел образуется по аналогии с точными числами. Далее начинают классифицировать числа, подразделяя на простые и составные, исходя из отношений числа к кратным частям. Сказанное относится также и к геометрической концепции.

Согласно терминологии, используемой в алгебре, кратные части чисел являются делителями, исключающими себя. Следовательно, простое число делится на единицу и самое себя. Так, например, делителями 6 являются 1, 2, 3 и 1 + 2 + 3 = 6. Составное число то, чьи части складываются в сумму меньшую, чем число. Кратные части 14 — 1, 2, 7, целое же составляет всего 10. Избыточное число также предоставляет части для деления: 12 — 1, 2, 3, 4, 6, в сумме же 16.

Числа характеризуются и метафорически. Обнаружили, что сумма любого числа последовательных арифметических понятий (начинающихся с одного) образует треугольник 1, 2, 3.

Отсюда и распознавание треугольных номеров. Квадратные номера выстраиваются добавлением любого числа последовательных понятий серии нечетных чисел, начиная с 1. Последовательное добавление четных чисел, следуя той же самой схеме, создает продолговатые числа со сторонами, различающимися единицей. Продолговатое число еще является удвоением числа треугольного. Наконец, взятое восемь раз любое треугольное число плюс 1 равно квадрату.

При этом исключительное философское наполнение числа вовсе не теряли из виду. Многие, следуя руководству Платона и, возможно, Пифагора, продолжали видеть в декаде архетипический образец Вселенной, а в членах декады — воплощение божественных идей. Например, доктрина так называемых неопифагорейцев, преуспевавших с I столетия до н. э. вплоть до V века, создавших традицию, которая явно сохранилась и послужила примером для несохранившихся сочинений их предшественников.

Описание школы дошло до нас в сочинениях Филона Александрийского (Филона Иудейского, Philon Alexandreos; ок. 25 г. до н. э. — ок. 50 г. н. э.), Никомаха (греч. Νικόμαχος; ок. 60 — ок. 120 г. н. э.) и Плутарха из Херонеи (др. — греч. Πλούταρχος; ок. 45 — ок. 127 г. н. э.). Все авторы, представлявшие пифагорейство в Средние века, сходились в суждениях по поводу значения и свойств чисел. Для них число являлось первым принципом и арифметическим ключом к космическим тайнам. Никомах, в частности, писал: «Все, что по природе подчиняется систематическому методу, устроено во Вселенной как в частях, так и в целом, определено и сведено к соответствию с числом, благодаря продуманности и разумению его, того, кто создал все сущее. Ведь образец был устроен как предварительный набросок, доминирование числа, ранее существовавшего в сознании создавшего мир Господа.

Только отвлеченное и нематериальное во всех смыслах число. Однако в то же время истинная и неизменная сущность, что с ним соотносится, как художественный план, должна создать вещи, время, движение, небеса, звезды, любые изменения. Необходимо, чтобы научное число, устанавливаясь над всем, что отмечено, гармонично устроится не только с помощью других, но благодаря самому себе».

Поскольку числовые понятия после 10 проистекают из декады и прямо «очевидны и бесспорны», упорядоченные и ограниченные предшествуют неограниченным и бесконечным. Отсюда через анализ свойств первых десяти чисел выявится не только их природа, но также образец Вселенной в том виде, в каком он существует с точки зрения Господа.

Видимые усилия греческой философии обычно направлялись в сторону анализа разложения единства. Говорят, Эмпедокл из Акраганта (др. — греч. Εμπεδοκλής; ок. 490 — ок. 430 г. до н. э.) заявлял, что «Вселенная попеременно находится в движении и в покое, когда любовь производит одного из многих или соперничает, чтобы произвести многих из одного. В покое же в промежуточные периоды».

Даже здесь, где размещены два государства, объединяющий импульс, очевидно, воспринимается как самый желанный. Вполне естественно, пифагорейцы считали монады первым принципом, из которого вытекают другие цифры.

Само по себе не число, а, скорее, сущность является бытием, как и точка, назначенная потенциальным числом. Она, хотя и не плоская, может организовывать плоские (двухмерные) фигуры. Как первый создатель, монада является добродетелью и Господом.

Они в равной степени нечетные и одинаковые, мужское и женское, ведь, когда добавляют единицу к нечетному, образуется четное, она же, добавляясь к четному, снова производит нечетное. Это основа и создатель числа, однако, хотя действительно и является великим единым нечетным, более родственна мужской нечетности, чем к женской одинаковости. Короче говоря, они всегда используются, чтобы представить добродетельное, желаемое и существенное, неделимое и несозданное.

Если 1 — точка и доводится отцом числу, то линия — мать числа. Что же касается линии, она образуется расширением монады, и, поскольку каждое число, даже большое, объединяется в группу, декада приобретает мистическую известность как многообразное единое.

Линия не является ни пространственной, ни конкретной, следовательно, как и монада, точка скорее принцип, чем действительное число. В таком качестве она представляет собой разнообразие, отличающееся от единства и по той причине иногда имеющее эпитет «открытый».

Таким образом, представляет материю или существование, мать элементов, вечное, но не постоянное, противопоставленное Сущности или Идее. Поскольку все делимое изменчиво и материально, число избыточно и недостаточно множественности и человеку, ибо он одновременно является животным и разумным существом.

Судя по всему, отмеченные первые две принципа находятся в вечной оппозиции, отчего представляют соответственно интеллектуальное и чувственное, бессмертное и смертное, день и ночь, правое и левое, восток и запад, луну и месяц, равенство и неравенство.

От неустойчивой дуады исходит вереница однородных чисел, называемых женскими, потому что они слабее, чем нечетные, поскольку полые в центре, в то время как нечетные числа делятся, середина всегда остается. Более того, нечетное число всегда лучшее, ибо оно, даже смешанное (добавленное), всегда обеспечивает нечетное. Однородное плюс неоднородное никогда не образует нечетную сумму, однако образует однородное число. Однородные числа — дурное предзнаменование, относящееся к низшим богам.

Если женские числа еще недостаточно порицаются, к ним прикрепляется стигмата бесконечности, явно по аналогии с линией. Идея бесконечности оказалась мощной, можно утверждать, что принципы ограниченности и общности стали самым значимым вкладом пифагорейцев в математическую мысль, поскольку, по аналогии с их математикой, так во многом поддерживалась вера в упорядоченный и ограниченный мир.

Бесконечность, как заявляет Прокл, должна восприниматься не родственной Единому, а быть с ним в противоречии. Значит, многообразие богов ограничено.

Плотин добавляет: «Бесспорно, мироздание велико и прекрасно, но прекрасно только в той степени, как если единство удерживает его от рассеянности в бесконечности».

Поскольку 1 и 2 являются единственными принципами или возможными числами, 3 становится первым настоящим числом и представляет всю реальность не только через образ «поверхности», но и имеет начало, середину и конец. Благодаря свойствам триады, единство и разнообразие которых составляется, они возвращаются к гармонии, «потому что среднее число, выступающее посредником, связывает два других в единый завершенный порядок».

Не менее мистическое объяснение дается в Theologoumena arithmeticae: «Как сычуг [четвертый отдел желудка теленка] свертывает текущее молоко с помощью созидательных и активных способностей, объединяющая сила монады, двигающая дуаду/триаду, источник свободного движения и разламывания, устанавливает связи и форму, то есть число, над триадой, являясь началом фактического числа, определяющегося сочетанием монад».