Понедельник, 20.11.2017, 08:52
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ЧИСЛОВАЯ СИМВОЛИКА СРЕДНЕВЕКОВЬЯ [9]
ИСТОРИЯ ГЕОМЕТРИИ ОТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ДО ГИПЕРПРОСТРАНСТВА [38]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ » ИСТОРИЯ ГЕОМЕТРИИ ОТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ДО ГИПЕРПРОСТРАНСТВА

Материя пространства
06.05.2016, 15:46

Попытки разобраться, из чего же сделано пространство, привели, быть может, к величайшим научным прорывам в истории. Шла ожесточенная борьба между учеными, которые, по большому счету не знали, куда устремляются или куда попали, когда добрались. Как и само пространство, тропы их петляли и изгибались.

* * *

Все началось в 1865 году, когда шотландский физик пяти футов и четырех дюймов ростом опубликовал статью «Динамическая теория электромагнитного поля». Затем, в 1873 году, продолжил тот же разговор в «Трактате об электричестве и магнетизме». При рождении автор получил имя Джеймс Клерк, но, чтобы претендовать на наследство умершего дяди, отец автора добавил к фамилии «Максвелл». Как выяснилось, ценой небольших денег и благодаря необычным обстоятельствам, дядя увековечил свое имя — хотя бы среди физиков и историков науки.

Электромагнитная теория Максвелла считается краеугольным камнем современных механики, теории относительности и квантовой теории. Его серьезным бородатым лицом не украшают кофейные кружки. Ни нью-йоркские, ни голливудские стервятники от культуры не находят его образ притягательным. И тем не менее жизнь Максвелла знаменита среди тех, кто в старших классах или в колледже пытался постичь разнообразие и сложность явлений электричества, магнетизма и света, а затем, изучив векторное счисление, внезапно обнаруживал, что все эти премудрости содержатся в нескольких незатейливых строках, подобных тем, что Алексей назвал бы «численными фразами». Рядом с университетским городком Калтеха один пасадинский магазин как-то имел в продаже футболку, на которой значилась цитата-парафраз из передовицы Господа Бога — Книги Бытия: «И сказал Господь: "Да будет”. И стал свет». Эти четыре уравнения — максвелловы. Если не считать уравнения закона всемирного тяготения, эта горсть буковок и диковинных символов описывала все силы, известные науке.

Радио, телевидение, радары и спутники связи — всего лишь следствие этого знания. Квантовая версия максвелловой теории — самая продуманная и дотошно выверенная квантовая теория поля из существующих; она стала моделью нынешней Стандартной модели элементарных частиц, мельчайших известных нам единиц материи. Пристальный анализ теории Максвелла предполагает и специальную теорию относительности, и отсутствие какого бы то ни было эфира. Но все это в его время было совсем не очевидно.

Ныне теорию Максвелла студентам-физикам представляют в виде лапидарного набора дифференциальных уравнений, определяющих две векторные функции, из которых, в принципе, можно вывести все оптические и электромагнитные явления в вакууме. Изящнейшая теоретическая конструкция. Но, изучая ее по текстам, понимаешь, что вся эта красота имеет столько же общего с процессом ее открытия, сколько занятия по Ламазу и деторождение: адская боль и вопли придают второму переживанию несколько иной оттенок. Давным-давно один студент (я) сдал домашнюю работу, в которой решил сложную задачку про электромагнитное излучение двумя способами — чтобы прочувствовать волшебство более мощного метода. Элегантное решение — с применением современных тензоров — заняло менее страницы. Подход с позиций «грубой силы» для достижения того же результата потребовал восемнадцать страниц математики. (Преподаватель вычел у студента баллы за то, что тот вынудил его во всем этом копаться.) Последняя методика была ближе к исходным максвелловым теоретическим выкладкам — и все равно не настолько громоздкая. Теория Максвелла 1865 года содержала набор из двадцати дифференциальных уравнений с двадцатью неизвестными.

Вряд ли стоит упрекать Максвелла за то, что он не применил упрощенную форму записи: ее не просто не применяли широко — ее тогда еще не изобрели. С другой стороны, теория Максвелла не только была или выглядела сложной, она еще и объяснялась плоховато. Судя по всему, та же присущая Максвеллу дотошность, что позволила ему впитать и объединить обширное знание того времени, а затем умозрительно слепить из него настолько сложную теорию, повредила способности ученого растолковать ее. Хендрик Антон Лоренц, более прочих вложившийся в объяснение и упрощение максвелловой теории, писал позднее: «Постигать соображения Максвелла не всегда просто. В его книге ощущается недостаток единства, поскольку он достоверно описывает постепенный переход от старых идей к новым». Куда менее доброжелательны слова Пауля Эренфеста — он называл наработки Максвелла «своего рода интеллектуальными джунглями». Максвелл предоставил коллегам необработанную выгрузку своей оперативной памяти, а не педагогическое пособие. Однако невзирая на бестолковость презентации своей теории, Максвелл оказался величайшим знатоком электромагнитных явлений, каких тогда видывал мир. И что же он думал о материи пространства — с учетом всех его прозрений? Эфир или не эфир? В 1878 году он опубликовал статью на эту тему в девятом издании Британской энциклопедии:

Какие бы трудности ни возникали у нас при создании непротиворечивых представлений о составе эфира, сомнений быть не может: межпланетарные и межзвездные пространства не пусты, но заполнены некой материальной субстанцией или телом, которое, определенно, наибольшее и, вероятно, самое однородное из всех, что нам известны.

Даже великий Максвелл не смог расстаться с этой идеей.

Стоит все-таки отдать ему должное: он не просто отмахнулся от эфира, как многие другие, и отверг его как ненаблюдаемую необходимость. Он открыл первое и главное наблюдаемое следствие: если свет движется с постоянной скоростью относительно эфира, а Земля — по эллиптической орбите сквозь эфир, то скорость, с которой свет, испускаемый пространством, приближается к Земле, будет не одной и той же в зависимости от того, в какой точке орбиты Земля находится. Земля, вообще говоря, в январе и в июне, т. е. находясь в противоположных точках орбиты, движется в разных направлениях. 23 апреля 1864 года Максвелл попытался экспериментально определить, с какой скоростью Земля движется сквозь эфир.

По результатам этого эксперимента Максвелл сдал в журнал «Труды Королевского общества» статью под названием «Эксперимент с целью определить, влияет ли движение Земли на преломление света». К сожалению, ее так никогда и не опубликовали: ее редактор, Дж. Г. Стокс (Стоукс), убедил Максвелла в несостоятельности его подхода. На самом деле, состоятельным он был — по крайней мере в принципе. Максвелл не дожил до решения вопроса об эфире, но в 1879 году, мучаясь адской желудочной болью от рака, что вскоре отнимет у него жизнь, он отправил одному своему другу письмо на заданную тему. Это письмо в конце концов приведет к экспериментальному доказательству того, что эфира не существует.

Письмо Максвелла издали посмертно в журнале «Нэйчер», где его заметил Майкельсон. Оно и подтолкнуло его к эксперименту. Чтобы разобраться в замысле Майкельсона, вообразим, что Николай, Алексей и их отец играют в мяч в парке. Втроем они формируют прямоугольный треугольник с отцом в вершине прямого угла, Николаем в северной вершине и Алексеем — в западной, на равных расстояниях от отца, вдоль вертикальной и горизонтальной осей.

Теперь представим, что все трое бегут на север с одинаковой скоростью. Положим, расстояние от отца до каждого сына составляет 10 ярдов, и они втроем бегут со скоростью 10 миль в час. Отец гонится за Николаем, убежавшим с мячом, а Алексей старается не отставать от отца по параллельной дорожке. Отец смотрит на часы и кричит: «Пора домой!» Услышав его, дети вопят в ответ: «Нет!» Внимание, вопрос: услышит ли отец ответ одного из сыновей раньше, а другого — позже?

Ответ — «да». Не имеет значения, насколько шустро бежит любой говорящий, их крики летят по неподвижному воздуху с одной и той же скоростью, назовем ее с . Но Николай убегает от крика отца, а значит, звуку, чтобы добраться до Николая, придется пролететь большее расстояние, чем те 10 ярдов, которые разделяют бегущих, — на то расстояние, которое Николай пробежит за время, необходимое звуку, чтобы до него долететь, помимо заданных 10 ярдов. Ответному же крику Николая не придется пролететь и тех 10 ярдов, что отделяют его от отца, потому что отец бежит навстречу звуку, а значит, путь звука составит 10 ярдов минус расстояние, которое отец успеет пробежать за то время, необходимое звуку, чтобы добраться до отца. Иными словами, крик отца долетает до Николая со скоростью с — 10 миль/час, а крик Николая достигнет отца со скоростью с + 10 миль/час. Алексей, с другой стороны, не обгоняет отца и не отстает от него, стало быть, их крики достигают своих целей со скоростью, просто равной с .

Разговор на бегу

С учетом этих объяснений вроде очевидно, что путь туда и путь обратно занимает разное время, но как же все-таки быстрее: с постоянной скоростью с в обоих направлениях или сначала помедленнее (с — 10), а потом побыстрее (с + 10)?

Алексей и Николай знают ответ из сказки, которую им иногда читают на ночь (покуда они старательно не желают спать). Мораль этой сказки такова: тише едешь — дальше будешь. Чтобы в этом убедиться, предположим ненадолго, что скорость звука с равна 10,00001 (это в переводе с десятичной записи на обычный язык означает «10 и еще чуточку») миль/час. В таком случае вопли Алексея и его отца летят со скоростью 10,00001 миль/час, т. е. по 2 секунды в каждом из двух направлений. Николаев ответный клич полетит к отцу гораздо прытче, т. е. со скоростью с + 10 = 20,00001 миль/час, и достигнет слуха отца где-то через 1 секунду. Но сначала надо, чтобы зов отца услышал Николай. Сколько времени это займет? Скорость движения этого звука — всего лишь с — 10 = = 10,00001 — 10 = 0,00001 миль/час. С такой скоростью отец докричится до сына через три недели. Алексей выиграл. Разумеется, скорость звука на самом деле примерно 675 миль/час, или около 300 ярдов в секунду. И хоть это практически фотофиниш, результат этих догонялок все равно тот же.

Если заменить звук светом, а воздух — эфиром, предыдущий эксперимент превратится точь-в-точь в описание максвеллова замысла. Папе с сыновьями не придется бегать взапуски: Земля и так несется свозь пространство, вращаясь вокруг Солнца со скоростью примерно 18,5 миль в секунду. (Земля и вокруг своей оси вращается, но с гораздо меньшей скоростью.) Есть одна тонкость: вращение Земли вокруг Солнца с заданной скоростью не означает, что Земля с этой скоростью движется сквозь эфир. Тем не менее, вроде бы предполагается, что Земля движется сквозь эфир с некоторой скоростью, и она должна, по идее, меняться с временами года, т. е. с изменением направления движения Земли в пространстве по орбите. В самом деле, наш эксперимент с отцом и мальчишками должен позволить нам измерить скорость движения Земли в эфире: мы же знаем, с каким отрывом выигрывает Алексей, и это знание даст нам решение для скорости с . Примерно такой опыт Майкельсон и поставил — простой эксперимент, лабораторией которому послужил весь мир.

Свет движется споро — даже по сравнению со скоростью движения Земли по орбите: примерно в 10 000 раз быстрее. Для теории очень удобная круглая цифра, однако для эксперимента — ужас кромешный. Математика в этом случае говорит нам, что при такой скорости разница во времени обменов между Алексеем и Николаем и их отцом составит всего одну миллионную процента. Это означает, что, если отец, Алексей и Николай находятся на расстоянии одного светового года друг от друга, сигналы от мальчишек долетят за треть секунды. Применим ли практически предложенный метод? Вроде бы нет.

К счастью для Майкельсона, француз Арман Ипполит Луи Физо получил от своего отца-врача в наследство целое состояние и посвятил свое время и деньги утолению любопытства к оптике. Физо особенно увлекался созданием наземных конструкций для измерения скорости света — реализовывал устремления Галилея. Галилею, правда, недоступны были блага промышленной революции и точные приборы, появившиеся в середине XIX века. Для достижения поставленных целей Физо смог соорудить аппарат, в котором луч света двигался беспрепятственно целых 5 миль. Пять миль на неспешном автобусе преодолеть быстро не выйдет, а вот со скоростью 186 000 миль в секунду — еще как. И тем не менее в 1849 году замеры Физо показали скорость света с пятипроцентной погрешностью от современного значения. В 1851-м он провел серию опытов для проверки теории протекания эфира вдоль земной поверхности. Эту теорию в 1818 году предложил Френель, и она доказала свою важность, поскольку означала, что точки на земной поверхности вообще-то могут иметь малую или нулевую скорость относительно эфира. Аппарат Физо 1851 года получился сложным и производил сильное впечатление, а также содержал важное нововведение — «делитель луча», сработанный из слегка посеребренного зеркала, рассекавшего световой луч на два: каждый двигался далее своим путем, а затем они вновь соединялись. В установке Майкельсона тонкий луч света от крошечного источника натыкался на такое же зеркало, и половина его проходила насквозь, а половина отражалась под углом 90°. Роль отца, размещенного в вершине треугольника, исполняло это самое наполовину посеребренное зеркало. Алексея и Николая заменяли обычные зеркала, они просто отражали луч и посылали его обратно.

Майкельсон маленьким источником света генерировал узкий луч и направлял его на делитель. Поскольку луч ведет себя как волна, значит, если после воссоединения один луч вернулся быстрее другого, колебания этих двух лучей не останутся в одинаковой фазе, т. е. не будут двигаться «в ногу». В результате произойдет интерференция, а из нее можно вычислить временную разницу и определить скорость движения в эфире, как и ранее. (Если б нам не нужен был этот самый интерференционный эффект, можно было бы провести такой эксперимент, просто-напросто посветив между двумя точками в разные стороны, и сравнить время движения света.)

Майкельсон не мог, конечно, надеяться на то, что два рукава его аппарата будут равны с точностью до длины волны или что ему удастся померить их длину с такой точностью. Более того, у него не было никакой возможности узнать, под каким углом его установка находится по отношению к вектору скорости движения эфира. Майкельсон умно разрешил эти затруднения, поворачивая аппарат на 90° и измеряя сдвиги интерференционной полосы по мере того, как лучи «менялись ролями», не прибегая к измерению самих интерференционных полос.

Для развития боксерских умений Майкельсону далеко ехать не потребовалось, а вот его судьба как ученого сложилась иначе. В 1880 году он получил разрешение военно-морского начальства на путешествие через Атлантику — продолжить образование. Подобные дотации были в те времена довольно распространены — эдакая попытка американского правительства украсить военную мускулатуру налетом интеллекта. Майкельсону тогда не исполнилось тридцати, но, оказавшись в Берлине и Париже, он уже разработал свою гениальную модель интерферометра.

Майкельсон предложил схему установки, которую требовалось собрать с ювелирной точностью: отклонение в одну тысячную миллиметра в длине одного рукава относительно другого ставило под угрозу любые замеры. Если температура в одном рукаве оказалась бы выше всего на одну сотую градуса, эксперимент Майкельсона пошел бы прахом. Прежде чем начать, Майкельсон укутал рукава аппарата бумагой — чтобы предотвратить температурные перепады, — а также обложил все приборы тающим льдом, чтобы поддерживать единую температуру в 0 °C. Наконец, его установка обладала такой чувствительностью, что регистрировала возмущение, возникавшее от шагов по мостовой в ста ярдах от лаборатории.

Такие приборы стоят недешево. Майкельсон хотел изготовить латунную раму у знаменитых немецких умельцев приборостроения Шмидта и Хенша, но такой роскоши позволить себе не мог. По счастью, один его земляк, американец, за несколько лет до этого стяжал славу и состояние за изобретение «говорящего телеграфа» — приборчика, ныне называемого телефоном. В 1880 году его изобретатель, Александр Грэм Белл, уже трудился над новым проектом — видеофоном. Белл нанял Шмидта и Хенша строить себе исследовательские приборы и имел под это особый бюджет. Как раз на средства из него и соорудили аппарат Майкельсона.

Майкельсон осуществил свой эксперимент в немецком Потсдаме в апреле 1881 года. Вообще никакой разницы во времени прохождения света сквозь пространство он не обнаружил. Что это означало? Перед Майкельсоном не стояла цель разоблачить или даже проверить гипотезу эфира — он желал измерить нашу скорость в эфире. Ничего не обнаружив, он не сделал вывод, что эфира не существует, — он лишь заключил, что мы неким манером в нем не движемся. Как такое может быть: Земля не движется сквозь эфир? Один вариант ответа дал Френель и его вроде бы подтвердил, хоть и неточно, Физо: теория захвата эфира. В любом случае, ни сам Майкельсон, ни все остальные не восприняли полученные результаты как угрозу существованию эфира. Сэр Уильям Томсон (лорд Келвин), приехав в 1884 году в Соединенные Штаты, выразился очень прямо: «…светоносный эфир есть… единственное вещество, в котором мы можем быть в динамике уверены. Лишь в этом мы убеждены, такова подлинность и состоятельность светоносного эфира». В конце концов электромагнитная теория Максвелла требовала наличия волн, а волнам нужна среда. Большинство физиков не обратило на опыт Майкельсона никакого внимания. Позднее он писал: «Я неоднократно пытался заинтересовать моих ученых друзей в этом эксперименте, но все тщетно… Меня обескуражил такой недостаток внимания к нему».


* * *

Но кое-кто отнесся к эксперименту Майкельсона очень серьезно — голландский физик Лоренц. В 1886 го ду он подверг сомнению теоретический анализ Майкельсона, указав на нестыковку, впервые обозначенную французским физиком Андре Потье в 1882 году. Анализ Майкельсона — как и вышеприведенные наши рассуждения — содержат незаметную ошибку. Мы допустили, что вопль отца перемещается к Алексею горизонтально (в заданных нами условиях), начиная с того момента во времени, в котором находился отец, когда закричал, и до того момента во времени, в котором Алексей был, когда услышал этот крик. Но к тому мигу, когда крик достигает Алексея, все уже несколько продвинулись вперед. Это означает, что отцовский вопль вынужден пролететь больше тех десяти горизонтальных ярдов, которые мы включили в наше допущение. Это маленькое дополнительное расстояние и объясняет небольшое прибавление во времени и уменьшает разницу, на которую взаимодействие Алексея с отцом больше, чем Николая с отцом. В свете этого нового взгляда на всю ситуацию сдвиг интерференционных полос оказался вполовину меньше, чем ожидал Майкельсон. Лоренц считал, что при правильном анализе эксперимент Майкельсона включает достаточно погрешностей, чтобы отменить его выводы.

Майкельсон же вернулся в Соединенные Штаты и стал профессором Кейсовской школы прикладных наук в Кливленде. Вскоре Лоренц, а заодно и лорд Рэли потребовали уточненного повторного эксперимента. Майкельсон взялся работать над ним с коллегой из соседнего заведения — Колледжа западного резервного района — Эдвардом Уильямсом Морли. Тогда же, в 1885 году, у Майкельсона случился нервный срыв, и он отбыл в Нью-Йорк. Морли продолжил работу, не ожидая возвращения Майкельсона, однако тот к концу семестра вернулся в Кливленд. В полдень 8 июля 1887 года, а затем 9, 11 и 12 июля Майкельсон и Морли провели решающий эксперимент, ставший впоследствии частью любого студенческого курса физики. Реакция на результаты усовершенствованного эксперимента была столь же прохладной, что и ранее. Отрицательный результат, который мы сейчас воспринимаем как революционный, тогда многие сочли за неудачу в поиске желаемого эффекта — измерения нашей скорости в эфире. И хотя Майкельсон и Морли поначалу планировали продолжать измерения — например, в разные времена года, т. е. когда Земля находится в разных точках на своей орбите, они тоже утратили интерес.

Подобно открытию искривленного пространства, эксперимент Майкельсона-Морли не произвел взрыва в истории идей. Скорее, он поджег фитиль. Первый дымок от этого фитиля поплыл в 1889 году, когда об эксперименте вроде бы забыли: новый американский журнал «Сайенс» напечатал коротенькое письмо. Начиналось оно так:

С огромным интересом прочел я о восхитительно изящном эксперименте господ Майкельсона и Морли, нацеленном на выяснение важного вопроса о том, сколь сильно эфир затягивается движением Земли. Полученный ими результат, похоже, входит в противоречие с другими, показывающими, что эфир в воздухе может двигаться лишь до незначительной степени. Я бы предположил, что едва ли не единственная гипотеза, могущая примирить это противостояние, состоит в том, что длина материальных тел меняется в зависимости от того, вдоль эфира они движутся или против него, на величину, зависящую от квадрата отношения их скоростей и таковой у света…

Это что вообще? В каком смысле — длина материальных тел меняется? Пространство, в котором мы обитаем, меняет материю? Письмо заканчивалось еще двумя длинными фразами. Оно было подписано ирландским физиком Джорджем Фрэнсисом Фицджералдом и описывало форму одного из фундаментальнейших понятий теории, которую в конце концов объяснят Майкельсон и Морли: относительность.

Примерно в то же время Лоренц, по-прежнему размышлявший над результатам майкельсоновых измерений, пришел к аналогичному заключению. Правда, Лоренц, ведущий физик-теоретик 1890-х, попытался соорудить объяснение сжатию тел, основанное на том, что молекулярные взаимодействия осуществляются через эфир. (К тому моменту, стараясь спасти идею эфира, ученые перестали считать его не подверженным влиянию физических сил.) Без физического объяснения этого сжатия такое объяснение выглядело поделкой на скорую руку, вроде эпициклов Птолемея. И все равно попытки таким способом сформулировать толкование потерпели крах — особенно потому, что силы, которые Лоренцу пришлось постулировать, плохо вязались с ньютоновской механикой.

* * *

К 1904-му за год до первой статьи Эйнштейна по теории относительности, Лоренц и другие сделали несколько занятных открытий, но не оценили их следствий. Новая теория Лоренца вводила разницу между двумя видами времени: «местного» и «вселенского» (хотя вселенское время у него считалось предпочтительным). Лоренц также осознал, что движение электрона сквозь эфир должно влиять на значение его массы, и это воздействие экспериментально подтвердил физик Вальтер Кауфман. Пуанкаре задался вопросом: может ли скорость света быть предельной скоростью во Вселенной (это закономерность, вытекающая из теорий сжатия)? Он также рассуждал о субъективности пространства и времени: «Нет абсолютного времени; утверждение, что две длительности равны, само по себе не имеет смысла… у нас нет даже прямых догадок об одновременности двух событий, происходящих в разных местах…» Граница между временными вещами и вневременной Вселенной, в которой они существуют, начала разрушаться. Какая же из всего этого должна была возникнуть геометрия?

Альберту Эйнштейну потребовалось сформулировать простую теорию, которая объяснила наблюдаемое поведение света, движущегося в пространстве. Пространство и время слились навек, а их тетушка геометрия стала существом более чем эксцентричным.

Категория: ИСТОРИЯ ГЕОМЕТРИИ ОТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ДО ГИПЕРПРОСТРАНСТВА | Добавил: admin | Теги: развитие математики, Уроки математики, математика в школе, начало математики, история геометрии, сайт для учителей математики, история математики
Просмотров: 130 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск
Copyright MyCorp © 2017
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru