В старшей школе для успешного прохождения итоговой аттестации целесообразно проводить зачетные работы по основным темам курса. Предлагаемый зачет по теме «Производная и ее применения» сориентирован на учащихся 10-х профильных классов.

Формы проведения зачета выбирает сам учитель: либо устные ответы, содержащие доказательства и теоретические обоснования решенных задач, либо письменная работа. Билеты содержат по пять вопросов, первый из которых требует знания теоретических фактов. С учетом уровня возможностей и обученности учащихся учитель может ограничить зачет первыми тремя заданиями. А №4 и №5 можно предлагать ученикам с повышенной подготовкой. Так же дифференцированно можно подходить и к требованиям изложения теоретического материала.

Перед зачетом следует ознакомить ребят со списком теоретических вопросов и предложить типовые задачи или задачи, которые вошли в зачет, но в тематическом порядке.

При желании можно выставить две оценки – за уровень теоретической подготовки и умение применять знания на практике или за обязательный уровень (первые три задания) и дополнительную часть (4 и 5 по выбору).

Билет 1.

1. Сформулируйте определение производной. Вычислите производную функции у = х² по определению.

2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = 3х – х³ в точке х_о = -2.

3. На рисунке изображён график функции у = f(х), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

4. Вычислите значение производной функции f(х) = sin2х в точке х_о = π/2.

5. Найдите значение функции f(х) = х³ + 2,5х² – 2х в точке максимума.

Билет 2.

1. Сформулируйте определение производной. Вычислите производную функции у = 1/x по определению.

2. Вычислите значение производной функции f(х) = х² – 4√x в точке х_о = 4.

3. На рисунке изображён график функции у = f(х), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х) = х + 1/x на отрезке [-2;1/2].

5. Является ли прямая у = 3х – 3 касательной к графику функции у = х – 1/х². Ответ обоснуйте.

Билет 3.

1. Сформулируйте определение производной. Вычислите производную функции у = √x по определению.

2. Вычислите значение производной функции f(х) = х • sinх в точке х_о = π/2. 

3. На рисунке изображён график функции у = f(х), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 6 или совпадает с ней.

4. Найдите наименьшее значение функции f(х) = x/3 + 3/x на отрезке [1;4].

5. Составьте уравнения касательных к графику функции у = 2х – х² в точках графика с ординатой у_о = -3.

Билет 4.

1. Сформулируйте определение производной, физический смысл производной. Приведите примеры.

2. Вычислите значение производной функции f(х) = (4x - 7)/(х² + 4) в точке х_о = 0.

3. На рисунке изображён график функции у = f(х), определенной на интервале (-2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(х).

4. Найдите критические точки функции у = sin2х + 2cosх – 2х.

5. При каких значениях а прямая у = -10х + а является касательной к графику функции у = 3х² – 4х – 2?

Билет 5.

1. Сформулируйте геометрический смысл производной, определение касательной к графику функции. Напишите уравнение касательной в общем виде. Приведите примеры нахождения касательной к графику функции, проходящей через точку х_о.

2. Материальная точка движется по прямой по закону s(t) = 16t – 2t³. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 2.

3. На рисунке изображён график функции у = f(х), определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(х) принимает наибольшее значение?

4. Исследуйте функцию f(х) = (1/3)х – х³ на возрастание и убывание.

5. Найдите абсциссы всех таких точек графика функции у = 0,5sin2х + 3sinх + х, угловой коэффициент касательной в которых равен -1.

Билет 6.

1. Сформулируйте теоремы о производной суммы двух функций, производной произведения двух функций, производной степенной функции. Приведите примеры.

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(х) = 3/х² в точке с абсциссой х_о = 1. 

3. На рисунке изображён график функции у = f(х), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(х) принимает наименьшее значение?

4. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?

5. Исследуйте функцию f(х) = cos2х – 2cosх на возрастание и убывание на промежутке [-π/3;π].

Билет 7.

1. Сформулируйте теоремы о производной дроби, производной сложной функции. Приведите примеры.

2. Вычислите значение производной функции f(х) = √x – 16х в точке х_о = 1/4. 

3. На рисунке изображён график функции у = f(х), определенной на интервале (-7;14). Найдите количество точек максимума функции f(х) на отрезке [-6;9].

4. Составьте уравнение касательной к графику функции у = х² – 2х – 3 в точке с абсциссой х_о = 2. Напишите уравнение одной из прямых, параллельных этой касательной.

5. Найдите критические точки функции f(х) = 2sinх + √2х. Укажите одну из точек максимума.

Билет 8.

1. Запишите формулы дифференцирования синуса и косинуса. Выведите формулу производной тангенса и котангенса.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = (1/6)t³ – 2t² – 4t + 3, где х – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с?

3. На рисунке изображен график производной функции f(х), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

4. Составьте уравнения касательных к графику функции у = х² – 4х в точках графика с ординатой уо = -3.

5. Постройте график функции у = х³ – 3х² + 2 на отрезке [-1/2;3]. Укажите множество значений функции на этом отрезке.

Билет 9.

1. Сформулируйте определение возрастания и убывания функции, признак возрастания и убывания функции. Приведите примеры нах_ождения промежутком монотонности функции.

2. Вычислите значение производной функции f(х) = 2х + cos2х в точке х_о = π/12.

3. На рисунке изображен график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(х) в точке хо.

4. Найдите длины сторон прямоугольника с периметром 20 см, имеющего наименьшую диагональ.

5. Постройте график функции у = -х⁴ + 2х² + 5 на отрезке [0;2].Укажите множество значений функции на этом отрезке.

Билет 10.

1. Сформулируйте определение критических точек, точек экстремума. Сформулируйте необх_одимое условие экстремума функции (теорему Ферма). Докажите, что обратное утверждение неверно (приведите пример).

2. Вычислите значение производной функции f(х) = (cos x)/(1 - x) в точке х_о = 0. 

3. На рисунке изображен график производной функции f(х). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у = f(х) параллельна прямой у = 2х – 2 или совпадает с ней.

4. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию f(х) = х + 4/х².

5. Найдите координаты точек касания, в которых касательные к графику функции у = (2x - 2)/(x + 1) имеют угловой коэффициент, равный 4.

Билет 11.

1. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции. Признак максимума и минимума функции. Проиллюстрировать на примерах.

2. В какой точке параболы у = 0,5х² + 1 касательная к ней параллельна прямой у = – х – 1?

3. Найдите значение производной функции f(х) = sin х (х² – 2х + 3) в точке х_о = 0.

4. На рисунке изображен график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(х) в точке хо.

5. Исследуйте функцию f(х) = sin²х – sinх на возрастание и убывание на промежутке [-π/2;5π/6].