Пятница, 24.05.2024, 12:44
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                              Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ [63]
ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ [19]
Главная » Файлы » МЕТОДИЧЕСКИЕ НАРАБОТКИ » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ

Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел
07.10.2014, 18:52

16.1*. Алгебраическая форма комплексного числа

      В этом пункте учебника приведено формальное определение комплексных чисел, введены арифметические операции над комплексными числами, понятия мнимой единицы и мнимого числа, действительной и мнимой частей комплексного числа, понятия противоположного и обратного числа для данного комплексного числа, понятие алгебраической формы комплексного числа.
      Решения и комментарии
      16.22. а) Разложите на множители x2 + 1.
      Решение. x2 + 1 = x2 − (−1) = x2 − i2 = (x − i) (x + i).
      16.26. Для какого действительного числа x выражение

(3 + xi)2 − (4x + 2) i

является: а) действительным числом; б) мнимым числом?
      Решение. Преобразуем данное выражение:

(3 + xi)2 − (4x + 2) i = 9 + 6xi − x2 − 4xi − 2i = (9 − x2) + (2x − 2) i.

      а)  Данное выражение является действительным числом, если его мнимая часть равна нулю: 2x − 2 = 0, т. е. при x = 1.
      б)  Данное выражение является мнимым числом, если его действительная часть равна нулю: 9 − x2 = 0, т. е. при x = −3 и при x = 3.
      16.30. а) Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие двум условиям: z2 = −15 + 8i и Im z > 0.
      Решение. Пусть z = a + bi. Тогда z2 = a2 − b2 + 2abi. По условию задачи числа a2 − b2 + 2abi и −15 + 8i равны и b > 0. Следовательно, пара чисел a и b является решением системы
{ a 2 − b 2 =−15 2ab=8 b>0.     (1)

      Решив систему (1), получим, что a = 1, b = 4. Следовательно, z = 1 + 4i.

16.2*. Сопряженные комплексные числа

      В этом пункте учебника введены понятия числа, сопряженного с данным комплексным числом, взаимно сопряженных комплексных чисел, сформулированы основные свойства, связанные с сопряженными числами. Здесь нужно обратить внимание на то, что деление на комплексное число, отличное от нуля, можно заменить умножением на комплексное число, сопряженное с делителем.
      Решения и комментарии
      16.40. а) Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие условию z Re z +  z ¯  Im z = 3 − 2i.
      Решение. Пусть z = a + bi. Тогда z Re z +  z ¯  Im z = (a + bi) a + (a − bi) b =
= a2 + ab + (ab − b2) i. По условию задачи a2 + ab + (ab − b2) i = 3 − 2i. Следовательно, пара чисел a и b является решением системы
{ a 2 +ab=3 ab− b 2 =−2.     (1)

      Решив систему (1), получим, что она имеет четыре решения: a = 1, b = 2; a = −1, b = −2; a= 3 2 2 , b=− 2 2 ; a=− 3 2 2 , b= 2 2 . Следовательно, условию задачи удовлетворяют четыре числа: z1 = 1 + 2i; z2 = 1 − 2i; z 3 = 3 2 2 − 2 2 i; z 4 =− 3 2 2 + 2 2 i .

16.3*. Геометрическая интерпретация комплексного числа

      В этом пункте учебника введены понятия геометрической интерпретации комплексных чисел с помощью точек комплексной плоскости и модуля комплексного числа, дано геометрическое истолкование суммы и модуля разности комплексных чисел, приведены примеры использования новых понятий при решении задач.
      Решения и комментарии
      16.49. а) Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию | z − 4 | = | z + 4i |.
      Решение. Пусть z = x + yi. Тогда условие задачи означает, что верно равенство
(x−4) 2 + y 2 = x 2 + (y−4) 2 .     (1)

      Решив уравнение (1), получим, что y = x. Это означает, что исходному условию удовлетворяют лишь точки прямой y = x комплексной плоскости xOy (рис. 97).

Рис. 97

      Тот же результат можно получить из геометрических соображений. Выражения | z − 4 | и | z + 4i | задают расстояние от точки (x; y) комплексной плоскости, соответствующей комплексному числу z = x + yi, до точек (4; 0) и (0; 4), соответствующих комплексным числам z1 = 4 + 0i и z2 = 4 + 0i. Поэтому множество всех точек (x; y) комплексной плоскости, одинаково удаленных от точек (4; 0) и (0; 4), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, т. е. прямая y = x.
      16.51. а) Найдите комплексное число z, удовлетворяющее условию zi = 5 − 2i, и соответствующую ему точку комплексной плоскости.
      Решение. Пусть z = x + yi. Тогда из условия задачи следует, что верно равенство − y + xi = 5 − 2i. Это равенство справедливо при условии x = −2, y = −5, т. е. z = −2 − 5i. Числу z соответствует точка (−2; −5) комплексной плоскости.
Категория: ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ | Добавил: admin | Теги: МО учителей математики, обучение математики, математика в школе, из опыта работы учителя математики
Просмотров: 1131 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"

ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты
  • Статистика

    Онлайн всего: 4
    Гостей: 4
    Пользователей: 0
    Форма входа


    Copyright MyCorp © 2024
    Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru