18.1*. Корни многочленов
В этом пункте обобщается понятие корня многочлена степени n (n ∈ N, n ≥ 1) относительно x:
Pn (x) = anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 (1)
с действительными коэффициентами an, an − 1, ..., a1, a0 (an ≠ 0). Если ранее корень многочлена был действительным числом, то теперь корень многочлена (1) может быть комплексным числом.
Далее сформулирована основная теорема алгебры и другие теоремы, выражающие свойства корней многочлена степени n.
Решения и комментарии
Найдите все корни уравнения (18.2—18.4):
18.2. в) x2 + 3x + 6,25 = 0.
Решение. Так как D = 9 − 25 = −16, то x 1 =− 3 2 −2i, x 2 =− 3 2 +2i .
18.3. а) 2x2 + 2x + 1 = 0.
Решение. Так как D 4 =1−2=−1 , то x 1 =− 1 2 − 1 2 i , x 2 =− 1 2 + 1 2 i .
18.4. г) x3 + 1 = 0.
Решение. Применив формулу суммы кубов, перепишем исходное уравнение в виде
(x + 1) (x2 − x + 1) = 0. (2)
Уравнение (2) имеет три корня: x1 = −1, x 2 = 1 2 −i 3 2 , x 3 = 1 2 +i 3 2 .
18.2*. Показательная форма комплексного числа
В этом пункте приведена формула Эйлера eiφ = cos φ + i sin φ, используя которую число z можно записать в более компактной форме
z = r · eiφ,
называемой показательной формой комплексного числа z.
Здесь же приведены правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме.
Решения и комментарии
18.5. а) Представьте в показательной форме комплексное число 3 − 4i.
Решение. Найдем модуль числа z = 3 − 4i:
| z |= 3 2 + (−4) 2 =5.
Следовательно, z=5( 3 5 − 4 5 i ) . При этом среди углов α, удовлетворяющих двойному неравенству 0 ≤ α < 2π, существует, и притом единственный, такой угол α, что 3 5 =cosα, − 4 5 =sinα ,
и поэтому z = 5 (cos α + i sin α) = 5e−iα, где α=−arcsin 4 5 , т. е. z=5 e −iarcsin 4 5 .
18.7. Запишите в алгебраической форме комплексное число:
а) e iπ 4 ; б) 2 e iπ 3 .
Решение. а) e iπ 4 =cos π 4 +isin π 4 = 2 2 +i 2 2 .
б) 2 e iπ 3 =2( cos π 3 +isin π 3 )=2( 1 2 +i 3 2 )=1+i 3 .
18.9. Вычислите:
а) e iπ 5 ⋅2 e 4iπ 5 ; б) 3 e iπ 4 ⋅4 e iπ 3 .
Решение. а) e iπ 5 ⋅2 e 4iπ 5 =2 e iπ 5 + 4iπ 5 =2 e iπ =2(cosπ+isinπ)=−2.
б) 3 e iπ 4 ⋅4 e iπ 3 =12 e iπ 4 + iπ 3 =12 e 7iπ 12 =12( cos 7π 12 +isin 7π 12 ) .
| 