Суббота, 22.06.2024, 02:18
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                              Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ [63]
ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ [19]
Главная » Файлы » МЕТОДИЧЕСКИЕ НАРАБОТКИ » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ

Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел
07.10.2014, 18:47

18.1*. Корни многочленов

      В этом пункте обобщается понятие корня многочлена степени n (n  ∈  N, n ≥ 1) относительно x:
Pn (x) = anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0     (1)

с действительными коэффициентами an, an − 1, ..., a1, a0 (an ≠ 0). Если ранее корень многочлена был действительным числом, то теперь корень многочлена (1) может быть комплексным числом.
      Далее сформулирована основная теорема алгебры и другие теоремы, выражающие свойства корней многочлена степени n.
      Решения и комментарии
      Найдите все корни уравнения (18.2—18.4):
      18.2. в) x2 + 3x + 6,25 = 0.
      Решение. Так как D = 9 − 25 = −16, то x 1 =− 3 2 −2i, x 2 =− 3 2 +2i .
      18.3. а) 2x2 + 2x + 1 = 0.
      Решение. Так как D 4 =1−2=−1 , то x 1 =− 1 2 − 1 2 i , x 2 =− 1 2 + 1 2 i .
      18.4. г) x3 + 1 = 0.
      Решение. Применив формулу суммы кубов, перепишем исходное уравнение в виде
(x + 1) (x2 − x + 1) = 0.     (2)

      Уравнение (2) имеет три корня: x1 = −1, x 2 = 1 2 −i 3 2 , x 3 = 1 2 +i 3 2 .

18.2*. Показательная форма комплексного числа

      В этом пункте приведена формула Эйлера eiφ  = cos φ  + i sin φ, используя которую число z можно записать в более компактной форме

z = r · eiφ,

называемой показательной формой комплексного числа z.
      Здесь же приведены правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме.
      Решения и комментарии
      18.5. а) Представьте в показательной форме комплексное число 3 − 4i.
      Решение. Найдем модуль числа z = 3 − 4i:

| z |= 3 2 + (−4) 2 =5.
      Следовательно, z=5( 3 5 − 4 5 i ) . При этом среди углов α, удовлетворяющих двойному неравенству 0 ≤ α < 2π, существует, и притом единственный, такой угол α, что 3 5 =cos⁡α, −  4 5 =sin⁡α ,
и поэтому z = 5 (cos α + i sin α) = 5e−iα,  где α=−arcsin⁡ 4 5 , т. е. z=5 e −iarcsin⁡ 4 5 .
      18.7. Запишите в алгебраической форме комплексное число:
      а)   e iπ 4 ;    б)   2 e iπ 3 .
      Решение. а) e iπ 4 =cos⁡ π 4 +isin⁡ π 4 = 2 2 +i 2 2 .
      б)   2 e iπ 3 =2( cos⁡ π 3 +isin⁡ π 3 )=2( 1 2 +i 3 2 )=1+i 3 .
      18.9. Вычислите:
      а)   e iπ 5 ⋅2 e 4iπ 5 ;    б)   3 e iπ 4 ⋅4 e iπ 3 .
      Решение. а)   e iπ 5 ⋅2 e 4iπ 5 =2 e iπ 5 + 4iπ 5 =2 e iπ =2(cos⁡π+isin⁡π)=−2.
      б)   3 e iπ 4 ⋅4 e iπ 3 =12 e iπ 4 + iπ 3 =12 e 7iπ 12 =12( cos⁡ 7π 12 +isin⁡ 7π 12 ) .
Категория: ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ | Добавил: admin | Теги: МО учителей математики, обучение математики, математика в школе, из опыта работы учителя математики
Просмотров: 1133 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"

ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты
  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0
    Форма входа


    Copyright MyCorp © 2024
    Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru