Пятница, 22.01.2021, 19:32
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ [63]
ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ [19]
Статистика

Онлайн всего: 4
Гостей: 4
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МЕТОДИЧЕСКИЕ НАРАБОТКИ » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ

Обратные функции
10.10.2014, 18:56

3.1. Понятие обратной функции

3.2*. Взаимно обратные функции

      В данном параграфе рассматриваются функции, обратные к данным функциям. Обычно функцию, обратную к функции y = f (x), находят так: сначала выражают x через y, потом заменяют x на y, а y на x. Или наоборот: сначала заменяют x на  y, а  y на x, потом выражают y через x.
      Практика показывает, что учащихся можно научить таким способом находить функцию, обратную к данной (следуя принципу «знаю как»), но при этом они не всегда понимают, что они делают, выполняя шаг «заменим x на y, а  y на x». Попытаемся разъяснить это.
      В п. 3.1 вводится понятие функции, обратной к данной. Сначала введем это понятие на простом примере.
      Пусть, например, тело движется по прямой по закону
s = 3t, t  ∈  [0; 2],     (1)

где s (м) — путь, пройденный телом за t (с).
      Отсюда следует, что если известно время движения t, то однозначно находится путь s, пройденный телом за это время.
      Если же известен путь s, пройденный телом, то однозначно находится и время движения t:
t= s 3 ,  s∈[0; 6] .     (2)

      Функцию (2) принято называть функцией, обратной к функции (1). При этом не возникает желания в формуле (2) «заменить t на s, а s на t».
      Однако в отличие от физики в математике принято исходную функцию y = f (x) и обратную к ней функцию записывать как функции одного и того же аргумента x, а это требует шага «заменить x на y, а y на x». Покажем, как это можно сделать в учебнике.
      Аналогично разобранному выше примеру для функции
y= x 2 ,  x∈[0; 2] (y∈[0; 4]) ,     (3)

найдем обратную к ней функцию
x= y ,  y∈[0; 4] (x∈[0; 2]) .     (4)

      Но у функции, заданной формулой (4), независимой переменной является y, а зависимой — x. Поскольку более привычно записывать функцию так, чтобы независимой переменной была x, а зависимой — y, то в формуле (4) заменим x на y, а y на x. Получится более привычная запись той же функции:
y= x ,  x∈[0; 4] (y∈[0; 2]) .     (5)

      Естественно, что функцию (5) также называют функцией, обратной к функции (3), но теперь она записана в привычном виде.
      В п. 11 дидактических материалов приведены примеры нахождения функции, обратной к данной функции.
      Функцию (5), обратную к функции (3), можно найти и другим способом.
      Пусть дана функция (3). Запишем формулу

x= y 2 ,  y∈[0; 2] (x∈[0; 4]),     (6)

которая получится, если в формуле (3) заменить x на y, а y на x. Выразив в формуле (6) y через x, получим формулу (5).
      Ясно, что графики функций (5) и (6) совпадают, поэтому для построения графика функции (5) надо построить график функции (6), откладывая значения y на вертикальной оси в привычной системе координат xOy, а соответствующие значения x на горизонтальной оси (рис. 29).



Рис. 29

      Такое построение вызывает некоторые затруднения у учащихся. Помочь в построении этого графика позволяет такой прием. Изобразим на листе бумаги систему координат так, чтобы ось Oy была горизонтальной, а ось Ox — вертикальной. В этой системе координат легко построить график функции (6) (рис. 30, а).
      Чтобы перейти к привычному откладыванию значений x на горизонтальной оси, а значений y на вертикальной оси, выполним последовательно два поворота листа бумаги, на котором изображен график функции (6): первый — на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, а второй — на 180° вокруг нового положения оси Ox. График окажется на невидимой стороне листа, но, посмотрев этот лист на просвет, учащиеся увидят график, изображенный на рисунке 30, б.



Рис. 30

      Далее в п. 3.1 по аналогии с разобранным примером находится функция, обратная к данной, строго монотонной на заданном промежутке функции.
      Напомним, что в 10 классе для построения графиков некоторых функций и исследования их свойств применялся описанный здесь способ. Так, для построения графиков функций y= x , y= x n , y = loga x строились графики функций x = y2, x = yn, x = ay. Построение графиков описанным способом дает доказательство непрерывности и возрастания обратной функции, если данная функция была непрерывна и возрастала. Аналогичные рассуждения можно провести для убывающих функций.
      В п. 3.2 вводится понятие взаимно обратных функций. Если для функции (4) найти обратную к ней функцию, то получится функция (3). Поэтому функции (3) и (4) — взаимно обратные функции.
      Заменив в формуле (4) x на y, а y на x, получим функцию (5). Функции (3) и (5) также взаимно обратные функции.
      В п. 3.2 показывается, что графики взаимно обратных функций y = f (x) и y = φ (x) симметричны относительно прямой y = x. Если изобразить в одной системе координат графики взаимно обратных функций (3) и (5), то получим наглядную иллюстрацию этого свойства (рис. 31).



Рис. 31

      Таким образом, получается еще один способ построения графика функции y = φ (x), обратной к данной функции y = f (x): симметричным отражением относительно прямой y = x графика данной функции.
      Практика показывает, что после такого объяснения с демонстрацией графика и его преобразований «таинственный» шаг «заменить x на  y, а  y  на  x» становится понятным.
      Из проведенных в п. 3.2 рассуждений следует, что достаточным условием существования обратной функции является строгая монотонность данной функции.
      Решения и комментарии
      3.3. В данной формуле замените x на у, а у на x, затем выразите из полученной формулы y через x:
      а) у = 3x + 1; г) y =  − x2, x  ∈  [0; 3]; ж) y = 3x.
      Решение. а) Заменив x на у, а у на x, получим x = 3у + 1. Теперь выразим из полученной формулы y через x: y= x−1 3 .
      г) Из формулы y =  − x2, x  ∈  [0; 3] получим, что y  ∈  [−9; 0]. В данной формуле, заменив x на у, а у на x, получим x =  − y2, y  ∈  [0; 3], x  ∈  [−9; 0]. Теперь выразим из полученной формулы y через x: y= −x , x  ∈  [−9; 0].
      ж) Заменив x на у, а у на x, получим x = 3y. Отметим, что здесь x > 0. Теперь выразим из полученной формулы y через x: у = log3 x, x∈(0;+∞).
      3.8. в) Постройте график данной функции y = f (x). Найдите функцию y = φ (x), обратную к данной функции, и постройте ее график, если:

y=1− 6 x+2 , x∈(−2;+∞) .

      Решение. Найдем функцию x = φ (y), обратную к исходной. Для этого выразим x через y:

x=− 6 y−1 −2,

  y∈(−∞;1), x∈(−2;+∞) .
      Затем, заменив x на у, а у на x, получим функцию y = φ (x), обратную к исходной и записанную в привычном виде
       y=− 6 x−1 −2, x∈(−∞; 1).
      График обратной функции получим из графика данной функции симметричным отражением его относительно прямой y = x.

      3.10. Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных линейных функций у = k1x + l1 и у = k2x + l2 связаны соотношением k 2 = 1 k 1 (k1 ≠ 0, k2 ≠ 0).
      Доказательство. В первой формуле, заменив x на у, а у на x, получим x = k1у + l1. Теперь, выразив из полученной формулы y через x, найдем обратную функцию: y= 1 k 1 x− l 1 k 1 . Отсюда следует, что угловой коэффициент k2 функции, обратной к данной, есть k 2 = 1 k 1 , что и требовалось доказать.
      3.11. Приведите пример функции, обратной самой себе.
      Решение. Можно привести много примеров таких функций. Они должны быть строго монотонны, а их графики — симметричны относительно прямой у = x. Такими функциями являются, например, следующие функции:

у = x, у = −x, у = −x + 5, у = −x − 2, y= 1 x , x  ∈  (0;  +∞ ), y= 2 x , x∈(−∞; 0), y= 4− x 2 , x∈[0; 2], y=− 9− x 3 , x∈[−3; 0] и т. д.

      Промежуточный контроль. C—11.

3.3*. Обратные тригонометрические функции

      В данном пункте учебника изучаются свойства и графики основных обратных тригонометрических функций y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
      Графики обратных тригонометрических функций строят с помощью приемов, описанных выше.
      Решения и комментарии
      3.16. Найдите функцию y = φ (x), обратную к функции:
      а)  y = sin x; x∈[ − 3π 2 ;− π 2 ];
      б)  y = cos x, x∈[π; 2π], — и постройте ее график.
      Решение. а) Так как sin x = −sin (x + π) = sin (−x − π), то для − 3π 2 ≤x≤− π 2 функцию можно записать в виде y = sin (−x − π). Аргумент α = −x − π принадлежит промежутку [ − π 2 ; π 2 ]. Из формулы y = sin α, где α∈[ − π 2 ; π 2 ], y∈[−1; 1] , выразим α через y:

α = arcsin y, где y∈[−1; 1],

откуда − x − π = arcsin y, или
x = −π − arcsin y, где y  ∈  [−1; 1].     (1)

      Формула (1) задает функцию x = φ (y), обратную к функции y = sin x, x∈[ − 3π 2 ; − π 2 ]. Заменим в равенстве (1) x на y и y на x, получим функцию y = −π − arcsin x, где x  ∈  [−1; 1], обратную к функции y = sin x, x∈[ − 3π 2 ; − π 2 ] и записанную в привычном виде. График этой функции можно построить тремя способами:
      1)  график функции y = sin x, − 3π 2 ≤x≤− π 2 симметрично отразить относительно оси y = x (рис. 33);



Рис. 33

      2)  построить график функции x = sin y, y∈[ − 3π 2 ;− π 2 ];
      3)  график функции y = arcsin x сначала отразить симметрично относительно оси Ox, затем перенести полученный график на π единиц вниз.
      б) 1-й способ. Так как cos⁡x=−sin⁡( 3π 2 −x )=sin⁡( x− 3π 2 ), то для π ≤ x ≤ 2π функцию можно записать в виде y=sin⁡( x− 3π 2 ) . Аргумент α=x− 3π 2 принадлежит промежутку [ − π 2 ; π 2 ]. Из формулы y = sin α, где α∈[ − π 2 ; π 2 ], y∈[−1;1], выразим α через y:

α = arcsin y, где y  ∈  [−1; 1],

откуда x− 3π 2 =arcsin⁡y, или
x= 3π 2 +arcsin⁡y, где y ∈ [−1; 1].     (2)

      Формула (2) задает функцию x = φ (y), обратную к функции y = cos x, x  ∈  [π; 2π]. Заменив в равенстве (2) x на y и y на x, получим функцию y= 3π 2 +arcsin⁡x , где x  ∈  [−1; 1], обратную к функции y = cos x, x  ∈  [π; 2π] и записанную в привычном виде. График этой функции можно построить тремя способами:
      1)  график функции y = cos x, x  ∈  [π; 2π] симметрично отразить относительно оси y = x (рис. 34);



Рис. 34

      2)  построить график функции x = cos y, y  ∈  [π; 2π];
      3)  график функции y = arcsin x перенести на 3π 2 единиц вверх.
      2-й способ. Так как cos x = cos (x − 2π) = cos (2π − x), то для π ≤ x ≤ 2π функцию можно записать в виде y = cos (2π − x), где аргумент α = 2π − x принадлежит промежутку [0; π]. Из формулы y = cos α, где α  ∈  [0; π], y∈[−1;1], выразим α через y:

α = arccos y, где y ∈ [−1; 1],

откуда 2π − x = arccos y, или
x = 2π − arccos y, где y ∈ [−1; 1].     (3)

      Формула (3) задает функцию x = φ (y), обратную к функции y = cos x, x  ∈  [π; 2π]. Заменив в равенстве (3) x на y и y на x, получим функцию y = 2π − arccos x, где x  ∈  [−1; 1], обратную к функции y = cos x, x  ∈  [π; 2π] и записанную в привычном виде.
      Так как arcsin  x= π 2 −arccos⁡x, то полученная формула выражает ту же функцию, что и в первом способе решения.

3.4*. Примеры использования обратных тригонометрических функций

      В этом пункте учебника даны примеры доказательства некоторых свойств обратных тригонометрических функций, формул для cos (arcsin x), sin (arccos x) и т. п., построены графики функций y = sin (arcsin x), y = cos (arcsin x) и др.
      Решения и комментарии
      3.18. Докажите, что для любого числа x  ∈  R справедливо равенство

arctg x+arcctg x= π 2 .

      Доказательство. Так как 0  < arcctg x < π, то - π 2 < π 2 −arcctg x< π 2 . Найдем тангенс числа ( π 2 −arcctg x ), пользуясь формулой приведения и определением арктангенса:
tg ( π 2 −arcctg x )=ctg (arcctg x)=x .
      Итак, число ( π 2 −arcctg x ) принадлежит промежутку ( − π 2 ; π 2 ), тангенс этого числа равен x, поэтому по определению арктангенса имеем π 2 −arcctg x=arctg x, откуда следует, что arctg x+arcctg x= π 2 , что и требовалось доказать.
      Промежуточный контроль. К—1.
Категория: ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ | Добавил: admin | Теги: МО учителей математики, обучение математики, математика в школе, из опыта работы учителя математики
Просмотров: 1860 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 5.0/1
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru