3.1. Понятие обратной функции3.2*. Взаимно обратные функции В данном параграфе рассматриваются функции, обратные к данным функциям. Обычно функцию, обратную к функции y = f (x), находят так: сначала выражают x через y, потом заменяют x на y, а y на x. Или наоборот: сначала заменяют x на y, а y на x, потом выражают y через x. Практика показывает, что учащихся можно научить таким способом находить функцию, обратную к данной (следуя принципу «знаю как»), но при этом они не всегда понимают, что они делают, выполняя шаг «заменим x на y, а y на x». Попытаемся разъяснить это. В п. 3.1 вводится понятие функции, обратной к данной. Сначала введем это понятие на простом примере. Пусть, например, тело движется по прямой по законуs = 3t, t ∈ [0; 2], (1)где s (м) — путь, пройденный телом за t (с). Отсюда следует, что если известно время движения t, то однозначно находится путь s, пройденный телом за это время. Если же известен путь s, пройденный телом, то однозначно находится и время движения t:t= s 3 , s∈[0; 6] . (2) Функцию (2) принято называть функцией, обратной к функции (1). При этом не возникает желания в формуле (2) «заменить t на s, а s на t». Однако в отличие от физики в математике принято исходную функцию y = f (x) и обратную к ней функцию записывать как функции одного и того же аргумента x, а это требует шага «заменить x на y, а y на x». Покажем, как это можно сделать в учебнике. Аналогично разобранному выше примеру для функцииy= x 2 , x∈[0; 2] (y∈[0; 4]) , (3)найдем обратную к ней функциюx= y , y∈[0; 4] (x∈[0; 2]) . (4) Но у функции, заданной формулой (4), независимой переменной является y, а зависимой — x. Поскольку более привычно записывать функцию так, чтобы независимой переменной была x, а зависимой — y, то в формуле (4) заменим x на y, а y на x. Получится более привычная запись той же функции:y= x , x∈[0; 4] (y∈[0; 2]) . (5) Естественно, что функцию (5) также называют функцией, обратной к функции (3), но теперь она записана в привычном виде. В п. 11 дидактических материалов приведены примеры нахождения функции, обратной к данной функции. Функцию (5), обратную к функции (3), можно найти и другим способом. Пусть дана функция (3). Запишем формулуx= y 2 , y∈[0; 2] (x∈[0; 4]), (6)которая получится, если в формуле (3) заменить x на y, а y на x. Выразив в формуле (6) y через x, получим формулу (5). Ясно, что графики функций (5) и (6) совпадают, поэтому для построения графика функции (5) надо построить график функции (6), откладывая значения y на вертикальной оси в привычной системе координат xOy, а соответствующие значения x на горизонтальной оси (рис. 29).Рис. 29 Такое построение вызывает некоторые затруднения у учащихся. Помочь в построении этого графика позволяет такой прием. Изобразим на листе бумаги систему координат так, чтобы ось Oy была горизонтальной, а ось Ox — вертикальной. В этой системе координат легко построить график функции (6) (рис. 30, а). Чтобы перейти к привычному откладыванию значений x на горизонтальной оси, а значений y на вертикальной оси, выполним последовательно два поворота листа бумаги, на котором изображен график функции (6): первый — на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, а второй — на 180° вокруг нового положения оси Ox. График окажется на невидимой стороне листа, но, посмотрев этот лист на просвет, учащиеся увидят график, изображенный на рисунке 30, б.Рис. 30 Далее в п. 3.1 по аналогии с разобранным примером находится функция, обратная к данной, строго монотонной на заданном промежутке функции. Напомним, что в 10 классе для построения графиков некоторых функций и исследования их свойств применялся описанный здесь способ. Так, для построения графиков функций y= x , y= x n , y = loga x строились графики функций x = y2, x = yn, x = ay. Построение графиков описанным способом дает доказательство непрерывности и возрастания обратной функции, если данная функция была непрерывна и возрастала. Аналогичные рассуждения можно провести для убывающих функций. В п. 3.2 вводится понятие взаимно обратных функций. Если для функции (4) найти обратную к ней функцию, то получится функция (3). Поэтому функции (3) и (4) — взаимно обратные функции. Заменив в формуле (4) x на y, а y на x, получим функцию (5). Функции (3) и (5) также взаимно обратные функции. В п. 3.2 показывается, что графики взаимно обратных функций y = f (x) и y = φ (x) симметричны относительно прямой y = x. Если изобразить в одной системе координат графики взаимно обратных функций (3) и (5), то получим наглядную иллюстрацию этого свойства (рис. 31).Рис. 31 Таким образом, получается еще один способ построения графика функции y = φ (x), обратной к данной функции y = f (x): симметричным отражением относительно прямой y = x графика данной функции. Практика показывает, что после такого объяснения с демонстрацией графика и его преобразований «таинственный» шаг «заменить x на y, а y на x» становится понятным. Из проведенных в п. 3.2 рассуждений следует, что достаточным условием существования обратной функции является строгая монотонность данной функции. Решения и комментарии 3.3. В данной формуле замените x на у, а у на x, затем выразите из полученной формулы y через x: а) у = 3x + 1; г) y = − x2, x ∈ [0; 3]; ж) y = 3x. Решение. а) Заменив x на у, а у на x, получим x = 3у + 1. Теперь выразим из полученной формулы y через x: y= x−1 3 . г) Из формулы y = − x2, x ∈ [0; 3] получим, что y ∈ [−9; 0]. В данной формуле, заменив x на у, а у на x, получим x = − y2, y ∈ [0; 3], x ∈ [−9; 0]. Теперь выразим из полученной формулы y через x: y= −x , x ∈ [−9; 0]. ж) Заменив x на у, а у на x, получим x = 3y. Отметим, что здесь x > 0. Теперь выразим из полученной формулы y через x: у = log3 x, x∈(0;+∞). 3.8. в) Постройте график данной функции y = f (x). Найдите функцию y = φ (x), обратную к данной функции, и постройте ее график, если:y=1− 6 x+2 , x∈(−2;+∞) . Решение. Найдем функцию x = φ (y), обратную к исходной. Для этого выразим x через y:x=− 6 y−1 −2, y∈(−∞;1), x∈(−2;+∞) . Затем, заменив x на у, а у на x, получим функцию y = φ (x), обратную к исходной и записанную в привычном виде y=− 6 x−1 −2, x∈(−∞; 1). График обратной функции получим из графика данной функции симметричным отражением его относительно прямой y = x. 3.10. Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных линейных функций у = k1x + l1 и у = k2x + l2 связаны соотношением k 2 = 1 k 1 (k1 ≠ 0, k2 ≠ 0). Доказательство. В первой формуле, заменив x на у, а у на x, получим x = k1у + l1. Теперь, выразив из полученной формулы y через x, найдем обратную функцию: y= 1 k 1 x− l 1 k 1 . Отсюда следует, что угловой коэффициент k2 функции, обратной к данной, есть k 2 = 1 k 1 , что и требовалось доказать. 3.11. Приведите пример функции, обратной самой себе. Решение. Можно привести много примеров таких функций. Они должны быть строго монотонны, а их графики — симметричны относительно прямой у = x. Такими функциями являются, например, следующие функции:у = x, у = −x, у = −x + 5, у = −x − 2, y= 1 x , x ∈ (0; +∞ ), y= 2 x , x∈(−∞; 0), y= 4− x 2 , x∈[0; 2], y=− 9− x 3 , x∈[−3; 0] и т. д. Промежуточный контроль. C—11.3.3*. Обратные тригонометрические функции В данном пункте учебника изучаются свойства и графики основных обратных тригонометрических функций y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Графики обратных тригонометрических функций строят с помощью приемов, описанных выше. Решения и комментарии 3.16. Найдите функцию y = φ (x), обратную к функции: а) y = sin x; x∈[ − 3π 2 ;− π 2 ]; б) y = cos x, x∈[π; 2π], — и постройте ее график. Решение. а) Так как sin x = −sin (x + π) = sin (−x − π), то для − 3π 2 ≤x≤− π 2 функцию можно записать в виде y = sin (−x − π). Аргумент α = −x − π принадлежит промежутку [ − π 2 ; π 2 ]. Из формулы y = sin α, где α∈[ − π 2 ; π 2 ], y∈[−1; 1] , выразим α через y:α = arcsin y, где y∈[−1; 1],откуда − x − π = arcsin y, илиx = −π − arcsin y, где y ∈ [−1; 1]. (1) Формула (1) задает функцию x = φ (y), обратную к функции y = sin x, x∈[ − 3π 2 ; − π 2 ]. Заменим в равенстве (1) x на y и y на x, получим функцию y = −π − arcsin x, где x ∈ [−1; 1], обратную к функции y = sin x, x∈[ − 3π 2 ; − π 2 ] и записанную в привычном виде. График этой функции можно построить тремя способами: 1) график функции y = sin x, − 3π 2 ≤x≤− π 2 симметрично отразить относительно оси y = x (рис. 33);Рис. 33 2) построить график функции x = sin y, y∈[ − 3π 2 ;− π 2 ]; 3) график функции y = arcsin x сначала отразить симметрично относительно оси Ox, затем перенести полученный график на π единиц вниз. б) 1-й способ. Так как cosx=−sin( 3π 2 −x )=sin( x− 3π 2 ), то для π ≤ x ≤ 2π функцию можно записать в виде y=sin( x− 3π 2 ) . Аргумент α=x− 3π 2 принадлежит промежутку [ − π 2 ; π 2 ]. Из формулы y = sin α, где α∈[ − π 2 ; π 2 ], y∈[−1;1], выразим α через y:α = arcsin y, где y ∈ [−1; 1],откуда x− 3π 2 =arcsiny, илиx= 3π 2 +arcsiny, где y ∈ [−1; 1]. (2) Формула (2) задает функцию x = φ (y), обратную к функции y = cos x, x ∈ [π; 2π]. Заменив в равенстве (2) x на y и y на x, получим функцию y= 3π 2 +arcsinx , где x ∈ [−1; 1], обратную к функции y = cos x, x ∈ [π; 2π] и записанную в привычном виде. График этой функции можно построить тремя способами: 1) график функции y = cos x, x ∈ [π; 2π] симметрично отразить относительно оси y = x (рис. 34);Рис. 34 2) построить график функции x = cos y, y ∈ [π; 2π]; 3) график функции y = arcsin x перенести на 3π 2 единиц вверх. 2-й способ. Так как cos x = cos (x − 2π) = cos (2π − x), то для π ≤ x ≤ 2π функцию можно записать в виде y = cos (2π − x), где аргумент α = 2π − x принадлежит промежутку [0; π]. Из формулы y = cos α, где α ∈ [0; π], y∈[−1;1], выразим α через y:α = arccos y, где y ∈ [−1; 1],откуда 2π − x = arccos y, илиx = 2π − arccos y, где y ∈ [−1; 1]. (3) Формула (3) задает функцию x = φ (y), обратную к функции y = cos x, x ∈ [π; 2π]. Заменив в равенстве (3) x на y и y на x, получим функцию y = 2π − arccos x, где x ∈ [−1; 1], обратную к функции y = cos x, x ∈ [π; 2π] и записанную в привычном виде. Так как arcsin x= π 2 −arccosx, то полученная формула выражает ту же функцию, что и в первом способе решения.3.4*. Примеры использования обратных тригонометрических функций В этом пункте учебника даны примеры доказательства некоторых свойств обратных тригонометрических функций, формул для cos (arcsin x), sin (arccos x) и т. п., построены графики функций y = sin (arcsin x), y = cos (arcsin x) и др. Решения и комментарии 3.18. Докажите, что для любого числа x ∈ R справедливо равенствоarctg x+arcctg x= π 2 . Доказательство. Так как 0 < arcctg x < π, то - π 2 < π 2 −arcctg x< π 2 . Найдем тангенс числа ( π 2 −arcctg x ), пользуясь формулой приведения и определением арктангенса:tg ( π 2 −arcctg x )=ctg (arcctg x)=x . Итак, число ( π 2 −arcctg x ) принадлежит промежутку ( − π 2 ; π 2 ), тангенс этого числа равен x, поэтому по определению арктангенса имеем π 2 −arcctg x=arctg x, откуда следует, что arctg x+arcctg x= π 2 , что и требовалось доказать. Промежуточный контроль. К—1. |
