Понятие предела функции является одним из основных понятий в курсе алгебры и начал математического анализа. Однако практика введения этого понятия в школе показала, что оно с трудом усваивается учащимися. Поэтому при обучении на базовом уровне даже не используют знак предела. Мы считаем, что вполне достаточно интуитивного понимания предела функции, и пользуемся знаком предела.
2.1. Понятие предела функции
В данном пункте из рассмотрения многочисленных примеров на интуитивном уровне вводится понятие предела функции сначала при x→+∞, затем при x→−∞ . При этом никак не формализуются слова «x неограниченно возрастает» и «значения функции f (x) стремятся к A», где A — действительное число, +∞ или −∞ . Вводится соответствующая символика (знак предела), объясняется смысл употребления слова «равен» и знака «=» перед знаками +∞, −∞, ∞, не являющимися действительными числами. Затем дается понятие предела функции в точке также на интуитивном уровне.
Решения и комментарии
2.2. Объясните, что означает запись:
а) lim x→∞ ( 2+ 1 x )=2; б) lim x→−3 x 2 =9; г) lim x→5 1 x−5 =∞ .
Решение. а) Эта запись означает, что при неограниченном возрастании x (при x→+∞) соответствующие значения функции y=2+ 1 x стремятся к числу 2.
б) Эта запись означает, что при x→−3 соответствующие значения функции y = х2 стремятся к числу 9.
г) Эта запись означает, что lim x→5 | 1 x−5 |=+∞, т. е. при x→5 соответствующие значения функции y=| 1 x−5 | стремятся к +∞, т. е. неограниченно возрастают.
2.3. Объясните, почему верно равенство:
а) lim x→1 1 |x−1| =+∞; б) lim x→−1 −1 (x+1) 2 =−∞; в) lim x→2 1 (x−2) 3 =∞ .
Решение. а) Функция y= 1 |x−1| определена для всех x, кроме x = 1. Для всех x ≠ 1 соответствующие значения этой функции положительны, и при х → 1 они неограниченно возрастают, а это и означает справедливость равенства.
б) Функция y= −1 (x+1) 2 определена для всех x, кроме x = −1. Для всех x ≠ −1 соответствующие значения этой функции отрицательны, а их модули при х → −1 неограниченно возрастают, а это и означает справедливость равенства.
в) Так как lim x→2 | 1 (x−2) 3 |=+∞ , то это и означает справедливость равенства.
2.5. Определите, чему равен предел:
а) lim x→+∞ (−1) [x] ⋅ x 3 ; д) lim x→+∞ (−2) [x] .
Решение. а) Так как lim x→+∞ | (−1) [x] ⋅ x 3 |=+∞, то lim x→+∞ (−1) [x] ⋅ x 3 =∞ .
д) Так как lim x→+∞ | (−2) [x] |=+∞ , то lim x→+∞ (−2) [x] =∞ .
2.2. Односторонние пределы
В данном пункте учебника рассматривается понятие одностороннего предела.
Сначала рассматривается функция y= sinx x . Она определена для всех действительных x, кроме x = 0, ее график изображен на рисунке 62 учебника.
Из рассмотрения положительных значений x, близких к нулю (х → 0, x > 0), делается вывод, что lim x→0 x>0 sinx x =1, т. е. находится односторонний предел функции sinx x при x, стремящемся к нулю справа.
Затем с помощью замены переменной x = − u показывается, что и lim x→0 x<0 sinx x =1. Тем самым доказано, что и при x, стремящемся к нулю слева, предел функции sinx x существует и тоже равен 1.
Наконец, приводятся определения правого и левого пределов функции f (x) в точке.
Далее после рассмотрения ряда примеров в учебнике дано определение:
Если существуют левый и правый пределы функции y = f (x) в точке a и оба они равны A, то говорят, что эта функция имеет предел в точке a, равный A, и пишут:
lim x→a f(x)=A .
Для обучения на профильном уровне в учебнике приведены также определения предела функции «на языке ε − δ» и «на языке последовательностей».
Следует подчеркнуть, что пределы, найденные по разным определениям, совпадают.
Решения и комментарии
2.7. Найдите левый и правый пределы функции y = f (x) при x → a, если:
а) f(x)= 1 x+2 , a = −2; б) f(x)= 1 (x−2) 2 , a = 2.
Решение. а) При x → −2 и x < −2 дробь 1 x+2 отрицательна и стремится к −∞, т. е. lim x→−2 x<−2 1 x+2 =−∞. При x → −2 и x > −2 дробь 1 x+2 положительна и стремится к +∞ , т. е. lim x→−2 x>−2 1 x+2 =+∞.
б) При x → 2 и x < 2 дробь 1 (x−2) 2 стремится к +∞, т. е. lim x→2 x<2 1 (x−2) 2 =+∞ . При x → 2 и x > 2 дробь 1 (x−2) 2 стремится к +∞, т. е. lim x→2 x>2 1 (x−2) 2 =+∞ .
2.11. Найдите левый и правый пределы функции y = f (x) при x → a, если:
а) f(x)= x |x| , a = 0; б) f(x)= x 2 −4 x+2 , a = −2.
Решение. а) При x → 0 и x < 0 дробь x |x| равна −1, поэтому lim x→0 x<0 x |x| =−1. При x → 0 и x > 0 дробь x |x| равна 1, поэтому lim x→0 x>0 x |x| =1.
б) При x → −2 и x < −2 верны равенства x 2 −4 x+2 = (x−2)(x+2) x+2 =x−2, поэтому lim x→−2 x<−2 x 2 −4 x+2 = lim x→−2 x<−2 (x−2)=−4. При x → −2 и x > −2 верно равенство x 2 −4 x+2 =x−2, поэтому lim x→−2 x>−2 x 2 −4 x+2 = lim x→−2 x>−2 (x−2)=−4.
2.12. Вычислите:
а) lim x→0 sin2x 2x ; в) lim x→0 sinπx πx .
Решение. а) При x → 0 переменная u = 2x также стремится к 0 (u → 0), поэтому lim x→0 sin2x 2x = lim u→0 sinu u =1.
в) При x → 0 переменная u = πx также стремится к 0 (u → 0), поэтому lim x→0 sinπx πx = lim u→0 sinu u =1.
2.13. а) Докажите, используя определение предела «на языке ε − δ» или «на языке последовательностей», что lim x→4 (3x−7)=5.
Доказательство. 1-й способ. Функция y = 3x − 7 определена в любой окрестности точки x0 = 4, включая и саму точку x0 = 4. Возьмем произвольное положительное число ε и выясним, для каких значений x выполняется неравенство | 3x − 7 − 5 | < ε. Поскольку равносильны неравенства
| 3x − 7 − 5 | < ε, | 3x − 12 | < ε, |x−4|< ε 3 , (1)
то это означает, что для любого числа ε > 0 нашлось число δ= ε 3 >0, такое, что из справедливости неравенства | x − 4 | < ε следует справедливость неравенств (1). По определению предела «на языке ε − δ» это означает, что lim x→4 (3x−7)=5, что и требовалось доказать.
2-й способ. Рассмотрим произвольную последовательность {xn} значений переменной x, имеющую пределом число 4. Пусть, например, x n =4+ 1 n . Тогда последовательность {f (xn)} соответствующих значений функции f (x) = 3x − 7 задается формулой общего члена f( x n )=3 x n −7=5+ 3 n . Эта последовательность имеет пределом при n→+∞ число 5. По определению предела «на языке последовательностей» это означает, что lim x→4 (3x−7)=5, что и требовалось доказать.
Дополнение. В учебнике утверждается, что можно доказать, что
lim x→0 x>0 (1+x) 1 x =e и lim x→0 x<0 (1+x) 1 x =e, (2)
где e — иррациональное число, приближенно равное 2,71828... .
Докажем это. Как показано в учебнике для 10 класса,
lim n→+∞ ( 1+ 1 n ) n =e, (3)
если n ∈ N и n→+∞ .
Покажем, что
lim α→+∞ ( 1+ 1 α ) α =e, (4)
если α→+∞, принимая любые положительные значения, необязательно натуральные.
Обозначим через [α] целую часть числа α. Для любого положительного числа α выполняются очевидные неравенства
[α] ≤ α < [α] + 1.
Но тогда для α ≥ 1 имеем
( 1+ 1 [α]+1 ) [α]+1 < ( 1+ 1 α ) [α]+1 < ( 1+ 1 α ) α+1 ≤ ( 1+ 1 [α] ) α+1 < ( 1+ 1 [α] ) [α]+2 .
Разделив на 1+ 1 α все члены этих неравенств, получим, что справедливы неравенства
( 1+ 1 [α]+1 ) [α]+1 1+ 1 α < ( 1+ 1 α ) α < ( 1+ 1 [α] ) 2 1+ 1 α ⋅ ( 1+ 1 [α] ) [α] . (5)
Пусть α→+∞ . Тогда m = [α] + 1 и m1 = [α] таковы, что m ∈ N и m1 ∈ N, m→+∞ и m 1 →+∞ . Используя равенство (3), получим, что
lim α→+∞ ( 1+ 1 [α]+1 ) [α]+1 = lim m→+∞ ( 1+ 1 m ) m =e,
lim α→+∞ ( 1+ 1 [α] ) [α] = lim m 1 →+∞ ( 1+ 1 m 1 ) m 1 =e .
Так как при α→+∞ знаменатель левой части соотношения (5) стремится к 1 и дробь в правой части также стремится к 1, то левая и правая части в соотношении (5) стремятся к e. Но тогда и средняя часть соотношения (5) стремится к e. Справедливость равенства (4) доказана.
Пусть теперь α→−∞, принимая любые отрицательные значения, необязательно натуральные. Тогда β=−α→+∞, принимая любые положительные значения, следовательно,
lim α→−∞ ( 1+ 1 α ) α = lim β→+∞ ( 1− 1 β ) −β = lim β→+∞ ( β β−1 ) β =
= lim β→+∞ ( ( 1+ 1 β−1 ) β−1 ( 1+ β β−1 ) )=e⋅1=e .
Таким образом, доказано, что
lim α→−∞ ( 1+ 1 α ) α =e, (6)
если α→−∞, принимая любые отрицательные значения.
Если в формуле (4) положить x= 1 α , то получим, что x → 0 и x > 0 при α→+∞ и α > 0, следовательно,
lim x→0 x>0 (1+x) 1 x =e .
Аналогично если в формуле (6) положить x= 1 α , то получим, что x → 0 и x < 0 при α→−∞ и α < 0, следовательно,
lim x→0 x<0 (1+x) 1 x =e .
Тем самым мы доказали, что справедливы равенства (2).
2.3. Свойства пределов функций
В данном пункте учебника рассматриваются свойства пределов функций и применение этих свойств для вычисления пределов. При этом свойства пределов не доказываются.
В п. 10 дидактических материалов приведены примеры вычисления пределов функций.
Решения и комментарии
2.15. Вычислите:
а) lim x→ π 2 (sinx+cosx); в) lim x→1 x 3 −1 x−1 ;
г) lim x→−2 sin(x+2) x+2 ; д) lim x→0 1−cos2x x 2 ;
е) lim x→0 (1+3x) 1 x .
Решение. а) lim x→ π 2 (sinx+cosx)= lim x→ π 2 sinx+ lim x→ π 2 cosx=1+0=1.
в) lim x→1 x 3 −1 x−1 = lim x→1 (x−1)( x 2 +x+1) x−1 = lim x→1 ( x 2 +x+1)= 1 2 +1+1=3.
г) При x→−2 переменная u = x + 2 стремится к 0 (u→0), поэтому lim x→−2 sin(x+2) x+2 = lim u→0 sinu u =1.
д) lim x→0 1−cos2x x 2 = lim x→0 2 sin 2 x x 2 = 2lim x→0 ( sinx x ) 2 =2 ( lim x→0 sinx x ) 2 =2.
е) Так как lim x→0 (1+3x) 1 x = lim x→0 ( (1+3x) 1 3x ) 3 и при x→0 переменная u = 3x стремится к 0 (u→0),
то lim x→0 (1+3x) 1 x = lim u→0 ( (1+u) 1 u ) 3 = lim x→0 ( (1+u) 1 u ) 3 = e 3 .
2.18. а) Вычислите lim x→∞ ( 1+ 1 x ) 3x .
Решение. Положим x= 1 α, тогда α→0 при x→∞ x и справедливы равенства
lim x→∞ ( 1+ 1 x ) 3x = lim α→0 (1+α) 3 α = lim α→0 ( (1+α) 1 α ) 3 = lim α→0 ( (1+α) 1 α ) 3 = e 3 .
2.19. а) Вычислите lim x→∞ 3x+7 2x+1 .
Решение. lim x→∞ 3x+7 2x+1 = lim x→∞ 3+ 7 x 2+ 1 x = lim x→∞ ( 3+ 7 x ) lim x→∞ ( 2+ 1 x ) = 3 2 =1,5.
Промежуточный контроль. C—10.
2.4. Понятие непрерывности функции
В данном пункте учебника вводятся понятия приращения аргумента и приращения функции, с использованием предела функции объясняется, что такое непрерывность функции в точке и на интервале. Этот материал должны усвоить все учащиеся хотя бы на интуитивном уровне. Вычисление приращений функции в заданной точке x0 и при заданном приращении аргумента Δx готовит учащихся к усвоению понятия производной.
Для обучения на профильном уровне непрерывность функции в точке определяется «на языке ε − δ», вводятся понятия непрерывности справа и непрерывности слева в точке x0, непрерывности на отрезке [a; b].
Решения и комментарии
2.23. а) Вычислите приращение Δf функции y = f (x) в заданной точке x0 и при заданном приращении аргумента Δx, если f (x) = −2x + 1, x0 = 0, Δx = 0,1.
Решение. Δf = f (x0 + Δx) − f (x0) = −2 (x0 + Δx) + 1 − (−2x0 + 1) =
= −2x0 − 2Δx + 1 + 2x0 − 1 = −2Δx = −2 · 0,1 = −0,2.
2.25. в) Найдите приращение Δf функции y = f (x), соответствующее приращению аргумента Δx, в точке x0, если f (x) = x2. К чему стремится Δf при Δx → 0? Зависит ли ответ на этот вопрос от выбора точки x0?
Решение. Δf = f (x0 + Δx) − f (x0) = (x0 + Δx)2 − (x0)2 =
= (x0)2 + 2x0Δx + (Δx)2 − (x0)2 = 2x0Δx + (Δx)2 = Δx (2x0 + Δx), Δf → 0 при Δx → 0. Ответ не зависит от выбора точки x0. (Это и означает, что в любой точке x0 своей области определения функция f (x) = x2 непрерывна.)
2.28. Докажите, что в любой точке x0 ∈ (0; +∞) непрерывна функция:
а) y = log2 x; б) y= x − 3 2 .
Доказательство. а) Так как Δf = f (x0 + Δx) − f (x0) =
= log2 (x0 + Δx) − log2 x0 = log 2 x 0 +Δx x 0 = log 2 ( 1+ Δx x 0 ) в любой точке x 0 ∈(0;+∞), то при Δx→0 имеем ( 1+ Δx x 0 )→1, а log 2 ( 1+ Δx x 0 )→0, т. е. Δy→0 при Δx→0. Следовательно, в любой точке x 0 ∈(0;+∞) функция y = log2 x непрерывна.
б) Так как Δf=f( x 0 +Δx)−f( x 0 )= ( x 0 +Δx) − 3 2 − ( x 0 ) − 3 2 = 1 ( x 0 +Δx) 3 2 − 1 ( x 0 ) 3 2 в любой точке x 0 ∈(0;+∞), то 1 ( x 0 +Δx) 3 2 → 1 ( x 0 ) 3 2 при Δx→0, т. е. Δf→0 при Δx→0. Следовательно, в любой точке x 0 ∈(0;+∞) функция y= x − 3 2 непрерывна.
2.5. Непрерывность элементарных функций
В данном пункте учебника перечислены основные элементарные функции, которые являются непрерывными в любой точке своей области определения и на каждом интервале своей области определения.
Для обучения на профильном уровне сформулировано утверждение о непрерывности суперпозиции непрерывных функций, а также теорема о том, что непрерывная на отрезке [a; b] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка [a; b]. Эту теорему можно использовать, например, для доказательства того, что область изменения функции есть отрезок. Доказательство этой теоремы обычно в школе не рассматривается. На рисунке 69, а, б учебника дана геометрическая иллюстрация этого доказательства.
Решения и комментарии
2.34. а) Определите все промежутки, на которых непрерывна функция y− 2 sinx .
Решение. Область определения D (F) функции F(x)= 2 sinx состоит из отрезков [2πn; π + 2πn], где n ∈ Z. В любой точке x0, лежащей внутри любого интервала (2πn; π + 2πn), n ∈ Z, функция u=φ(x)= sinx непрерывна, а функция f (u) = 2u непрерывна в точке u 0 = sin x 0 . Поэтому функция F(x)=f(φ(x))= 2 sinx непрерывна в точке x0. Следовательно, функция y= 2 sinx непрерывна на каждом из интервалов (2πn; π + 2πn), где n ∈ Z. Если добавить, что в левом конце каждого из промежутков функция непрерывна справа, в правом конце каждого из промежутков функция непрерывна слева, то получим, что функция y= 2 sinx непрерывна на каждом из отрезков [2πn; π + 2πn], где n ∈ Z.
Столь подробное обоснование достаточно провести для одной функции, а для других можно только найти промежутки непрерывности.
2.36. а) Объясните, почему функция f (x) на промежутке [−1; 2] имеет нуль, если f (x) = 5x + 2.
Решение. Так как f (−1) = 5 · (−1) + 2 = −3 < 0, а f (2) = 5 · 2 + 2 = 12 > 0 и функция f (x) непрерывна на отрезке [−1; 2], то по теореме о промежуточных значениях функции существует число x 0 ∈ (−1; 2), такое, что f (x0) = 0.
2.37. Докажите, что уравнение x5 − 55 = 0 имеет корень на отрезке [2; 4].
Доказательство. Так как функция f (x) = x5 − 55 на отрезке [2; 4] непрерывна и f (2) = 25 − 55 = −23 < 0, а f (4) = 45 − 55 = 969 > 0, то по теореме о промежуточных значениях функции существует точка x 0 ∈(2;4), такая, что f (x0) = 0. Это означает, что уравнение x5 − 55 = 0 имеет корень на отрезке [2; 4].
Замечание. Отметим, что из возрастания функции f (x) = x5 − 55 на отрезке [2; 4] следует, что каждое свое значение она принимает только один раз, поэтому уравнение x5 − 55 = 0 имеет единственный корень на этом отрезке.
А доказать возрастание функции f (x) = x5 − 55 на отрезке [2; 4] можно так. Пусть x1 и x2 — любые числа из отрезка [2; 4], такие, что x1 < x2. Тогда x 1 5 < x 2 5 по свойству числовых неравенств для положительных чисел, поэтому
f( x 1 )−f( x 2 )=( x 1 5 −55)−( x 2 5 −55)= x 1 5 − x 2 5 <0,
т. е. f (x1) < f (x2), следовательно, функция f (x) = x5 − 55 возрастает на отрезке [2; 4].
2.6*. Разрывные функции
В данном пункте учебника напоминается определение функции, непрерывной в точке и на интервале, и дается определение функции, разрывной в точке: функцию, определенную в каждой точке интервала J, называют разрывной в точке x0 ∈ J, если для нее не выполнено условие непрерывности в этой точке. На многочисленных примерах объясняется, что значит, что функция разрывна в некоторой точке интервала.
Например, функцию f(x)= 1 x нельзя назвать разрывной в точке x0 = 0, так как 0 ∉ D (f), но, если эту функцию доопределить так, что f (0) = a, где a — любое число, получим, что новая функция будет разрывной в точке x0 = 0.
Отметим, что иногда в вузах дают и другие определения разрывной функции.
Здесь же даны определения устранимого и неустранимого разрывов.
Решения и комментарии
2.40. Имеет ли точки разрыва функция:
а) { x |x| , если x≠0, 0, если x=0; б) { sinx x , если x≠0, 1, если x=0?
Решение. а) Если x > 0, то y = 1; если x < 0, то y = −1. Следовательно, функция непрерывна на каждом из промежутков (−∞;0) и (0;+∞) . Так как пределы функции слева и справа при x → 0 не равны, то функция в точке x = 0 не имеет предела, поэтому в точке x = 0 функция имеет неустранимый разрыв.
б) Функция непрерывна на каждом из промежутков (−∞;0) и (0;+∞) . Так как предел функции при x → 0 равен 1 и y (0) = 1, то функция в точке x = 0 непрерывна, следовательно, функция не имеет точек разрыва.
2.41. Можно ли доопределить функцию f (x) в точке x0 (в точках xk) так, чтобы новая функция стала непрерывной на интервале (−∞;+∞)? Если да, то как это сделать?
а) f(x)= x 2 −5x+4 x−1 , x0 = 1;
д) f (x) = cos x tg x, x k = π 2 +πk, k ∈ Z.
Решение. а) Так как D (f) есть все x, кроме x = 1, то для каждого x ∈ D (f) имеем f(x)= x 2 −5x+4 x−1 = (x−1)(x−4) x−1 =x−4 .
Поэтому lim x→1 x 2 −5x+4 x−1 = lim x→1 (x−4)=−3. Доопределив функцию в точке x0 = 1 так, чтобы f (x0) = −3, мы получим новую функцию, непрерывную на интервале (−∞;+∞).
д) Так как D (f) есть все x, кроме x k = π 2 +πk, k ∈ Z, то для каждого x ∈ D (f) имеем f (x) = cos x tg x = sin x. Поэтому lim x→ x k sinx=1 для k = 2n и lim x→ x k sinx=−1 для k = 2n + 1, n ∈ Z. Доопределив функцию в каждой точке xk так, чтобы f (xk) = 1 для k = 2n и f (xk) = −1 для k = 2n + 1, n ∈ Z, мы получим новую функцию, непрерывную на интервале (−∞;+∞). |
