В данном параграфе учебника достаточно традиционно вводится понятие производной, изучаются механический и геометрический смысл производной, производная суммы, разности, произведения и частного, непрерывность функции, имеющей производную. Авторы считают, что для определения производной достаточно использовать понятие предела на интуитивном уровне.
В результате изучения данного параграфа на базовом уровне учащиеся должны знать формулы производных основных элементарных функций. Желательно, чтобы они знали и формулу производной сложной функции. При углубленном изучении математики учащиеся должны уметь доказывать все эти формулы. Производную обратной функции следует рассматривать только при углубленном изучении математики.
4.1. Понятие производной
В данном пункте учебника рассматриваются физические задачи и задача о касательной, решение которых приводит к выполнению новой операции — дифференцированию функции. Здесь напоминаются определения приращения аргумента и приращения функции, дается определение производной функции. Надо обратить внимание учащихся на то, что производная функции, заданной на интервале, определяется в одной (внутренней) точке этого интервала, что производная функции в данной точке есть число. И только если в каждой точке интервала (a; b) производная существует, то говорят, что производная есть функция аргумента x, определенная на интервале (a; b).
Например, функция y = | x | определена на интервале (−1; 1), она имеет производную в каждой точке интервала, кроме точки x0 = 0, поэтому функция y = | x | не имеет производной — функции, определенной на всем интервале (−1; 1). Но у нее есть производная — функция, определенная на интервале (−1; 0), а также на интервале (0; 1).
В данном пункте с помощью определения вычисляются производные функций y = x, y = С, y = kx + b, y = x2, y = ax2 + bx + c. Теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного будут рассмотрены только в следующем пункте, поэтому, например, при отыскании производной функции в заданиях 4.10, 4.11, 4.12 надо для вывода производной пользоваться определением производной функции или опираться на ранее доказанные факты.
Для обучения на профильном уровне вводятся понятия односторонней производной и производной функции, определенной на отрезке [a; b].
Решения и комментарии
4.10. Точка движется прямолинейно по закону s = t2 − 4t.
а) Выразите скорость точки как функцию времени.
б) Вычислите скорость точки в момент времени t = 5.
в) В какой момент времени скорость была равна нулю?
Решение. а) Так как (ax2 + bx + c)′ = 2ax + b, то υ (t) = s′ (t) = (t2 − 4t)′ =
= 2t − 4.
б) Скорость точки в момент времени t = 5 равна υ (5) = 2 · 5 − 4 = 6.
в) Скорость точки равна нулю, если 2t − 4 = 0, т. е. в момент времени t = 2.
4.12. С помощью определения найдите производную функции у = x3.
Решение. Пусть f (x) = x3. Для любой точки x приращение функции f равно
Δf = (x + Δx)3 − x3 = (3x2 + 3xΔx + (Δx)2) Δx.
Поэтому Δf Δx = (3 x 2 +3xΔx+ (Δx) 2 )Δx Δx =3 x 2 +3xΔx+ (Δx) 2 . Поскольку 3x2 + 3xΔx + (Δx)2 стремится к 3x2 при Δx → 0, то f ′ (x) = 3x2, т. е. в любой точке х имеем (x3)′ = 3x2.
4.2. Производная суммы. Производная разности
В данном пункте учебника сначала доказана теорема о производной суммы двух функций, потом теорема о функции, заданной формулой f (x) = Au (x). В качестве следствия двух первых теорем доказана теорема о производной разности двух функций. Теорема 3 обобщает первые теоремы на случай n функций.
Решения и комментарии
4.19. д) Найдите производную функции y = (x − 2)3 в любой точке x ∈ R, используя задание 4.12.
Решение. Пусть f (x) = (x − 2)3. Сначала запишем функцию в виде f (x) = x3 − 6x2 + 12x − 8.
Тогда f ′ (x) = (x3)′ − (6x2)′ + (12x)′ − 8′ = 3x2 − 6 (x2)′ + 12 (x)′ − 0 =
= 3x2 − 6 · 2x + 12 · 1 = 3x2 − 12x + 12.
4.3*. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал
В данном пункте учебника доказана теорема о непрерывности в точке функции, имеющей в этой точке производную. Для обучения на профильном уровне вводится понятие дифференциала функции. Здесь надо показать, что дифференциал функции у = х равен Δx, т. е. dх = Δx.
Решения и комментарии
4.26. Найдите дифференциал функции:
а) у = 3х + 5; б) у = х2 + 2х + 4.
Решение. Так как дифференциал функции f (x) в точке x есть f ′ (x) Δx, то
а) dу = (3х + 5)′ Δx = 3Δx;
б) dу = (х2 + 2х + 4)′ Δx = (2х + 2) Δx.
4.27. а) Вычислите приближенно приращение Δy функции у = х3 − 4х2 + 2х − 10 в точке x = 1, если Δx = 0,1.
Решение. Так как dу = (х3 − 4х2 + 2х − 10)′ Δx = (3х2 − 8х + 2) Δx, то в точке x = 1 при Δx = 0,1 находим приращение функции Δy, приближенно равное dy:
Δy ≈ (3 · 12 − 8 · 1 + 2) · 0,1 = −0,3.
4.4. Производная произведения. Производная частного
В данном пункте учебника доказаны теоремы о производной произведения и производной частного двух функций и на примерах показано их применение.
Решения и комментарии
4.30. а) В любой точке х ∈ R найдите производную функции у = (х2 + 3х) (х − 1).
Решение. Учащиеся могут заметить, что проще всего перед нахождением производной раскрыть скобки, а затем вычислить производную:
1) (х2 + 3х) (х − 1) = х3 + 2х2 − 3х;
2) (х3 + 2х2 − 3х)′ = 3х2 + 4х − 3.
Однако умение находить производную произведения скоро понадобится им в более сложных случаях, поэтому производную надо находить и так:
((х2 + 3х) (х − 1)) ′ = (х2 + 3х)′ (х − 1) + (х2 + 3х) (х − 1) ′ =
= (2х + 3) (х − 1) + (х2 + 3х) · 1 = 3х2 + 4х − 3.
Совпадение результатов покажет, что ответ в этой задаче не зависит от способа ее решения.
Отметим задание 4.31 на нахождение производных функций: а) у = х4; б) у = х5; в) у = х6; г) у = х7. В учебнике имеется указание: представить данную функцию в виде произведения двух функций — и приведен пример нахождения производной:
(х4)′ = (х3 · х)′ = (х3)′ · х + х3 · (х)′ = 3х2 · х + х3 · 1 = 4х3.
Доказательство формулы (хn)′ = nхn − 1 в следующем пункте учебника будет опираться именно на этот прием.
4.33. и) Найдите производную функции y= − x 2 +7x−8 x 2 −7x+5 в любой точке ее области определения.
Решение.
y′= ( − x 2 +7x−8 x 2 −7x+5 ) ′ =
= (− x 2 +7x−8)′( x 2 −7x+5)−(− x 2 +7x−8)( x 2 −7x+5)′ ( x 2 −7x+5) 2 =
= (−2x+7)( x 2 −7x+5)−(− x 2 +7x−8)(2x−7) ( x 2 −7x+5) 2 = 6x−21 ( x 2 −7x+5) 2 .
Обратим внимание на необходимость подробной записи в подобных вычислениях, так как поспешность в «сворачивании» вычислений ухудшает результативность обучения.
4.34. а) Вычислите значение производной функции f (x) в указанной точке х0 = 0, если f(x)= 5 x 2 +1 .
Решение. f′(x)= ( 5 x 2 +1 ) ′ = 5′⋅( x 2 +1)−( x 2 +1)′⋅5 ( x 2 +1) 2 = −10x ( x 2 +1) 2 ; f ′ (0) = 0.
4.36. Вычислите значение производной функции у = (х + 1)10 в точке х0 = 0.
Решение. Так как y(x)= x 10 + C 10 1 x 9 + C 10 2 x 8 +...+ C 10 8 x 2 + C 10 9 x+1, то y′(x)=10 x 9 +9 C 10 1 x 8 +8 C 10 2 x 7 +...+2 C 10 8 x+ C 10 9 .
Тогда y′(0)= C 10 9 = C 10 1 =10 .
4.5. Производные элементарных функций
В данном пункте доказаны формулы производных всех основных элементарных функций, изучаемых в школе.
Доказательство формулы
( x n )′=n x n−1
для любого натурального n ≥ 2 проведено методом математической индукции (это доказательство, как и некоторые другие, необязательны при обучении на базовом уровне). Далее доказывается формула ( x −n )′=−n x −n−1 , потом с опорой на доказанное в п. 2.4 равенство lim α→0 e α −1 α =1 доказываются формула
( a x )′= a x lna
и ее частный случай ( e x )′= e x .
Формула
( log a x)′= 1 xlna
и ее частный случай (lnx)′= 1 x доказываются с опорой на доказанное в п. 2.4 равенство lim t→0 ln (1+t) 1 t =1 (без использования производной обратной функции, которая изучается позже).
Решения и комментарии
4.41. а) Для любого х ≠ 0 найдите производную функции y= 1 x 21 .
Решение. Для любого х ≠ 0 имеем у = х−21, поэтому y′=( x −21 )′=−21 x −22 .
Укажите, при каких значениях х функция f (x) имеет производную, и найдите эту производную (4.44—4.49):
4.44. а) y= 4 x 2 x ; г) f(x)= 3 x 3 x + 9 x ; ж) f(x)= lg x lg e .
Решение. а) Для любого х имеем 4 x 2 x = ( 2 x ) 2 2 x = 2 x , поэтому функцию можно записать в виде у = 2х. Для любого х ∈ R эта функция имеет производную y′=( 2 x )′= 2 x ln2 .
г) Для любого х имеем 3 x 3 x + 9 x = 3 x 3 x (1+ 3 x ) = 1 1+ 3 x , поэтому функцию можно записать в виде y= 1 1+ 3 x . Для любого х ∈ R эта функция имеет производную
y′= ( 1 1+ 3 x ) ′ = 1′⋅(1+ 3 x )−1⋅(1+ 3 x )′ (1+ 3 x ) 2 = − 3 x ln3 (1+ 3 x ) 2 .
ж) Для любого х > 0 имеем lgx lge =lnx, поэтому функцию можно записать в виде у = ln x. Для любого x∈(0;+∞) эта функция имеет производную y′=(lnx)′= 1 x .
4.45. г) f (x) = 5 log3х − 6 ln х + 7 lg х.
Решение. Для любого х > 0 эта функция имеет производную f ′ (x) = (5 log3 х − 6 ln х + 7 lg х) ′ = 5 xln3 − 6 x + 7 xln10 .
4.49. а) f (x) = cos 2002х cos 2001х + sin 2001х sin 2002х.
Решение. Для любого х имеем
cos 2002х cos 2001х + sin 2001х sin 2002х = cos (2002х − 2001х) = cos х,
поэтому функцию можно записать в виде f (x) = cos х. Для любого х ∈ R эта функция имеет производную f ′ (x) = (cos х) ′ = −sin х.
4.50. Найдите значения х, при которых производная функции y= lnx x :
а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна.
Решение. Для любого х > 0 эта функция имеет производную y′= ( lnx x ) ′ = (lnx)′⋅x−lnx⋅x′ x 2 = 1 x ⋅x−lnx⋅1 x 2 = 1−lnx x 2 .
а) y′=0, если 1−lnx x 2 =0, т. е. если x = e;
б) y′>0, если 1−lnx x 2 >0, т. е. если 0 < x < e;
в) y′<0, если 1−lnx x 2 <0, т. е. если x > e.
4.51. Докажите справедливость равенства:
а) (sin 2х)′ = 2 cos 2х; б) (52x)′ = 52x · ln 25;
г) (ln 17x)′= 1 x , x > 0.
Доказательство. Эти задания выполняются с предварительными преобразованиями, которые станут не нужны после изучения производной сложной функции.
а) (sin 2х)′ = (2 sin х cos х)′ = 2 ((sin х)′ cos х + sin х (cos х)′ ) =
= 2 (cos х cos х + sin х (−sin х)) = 2 (cos2 х − sin2 х) = 2 cos 2х;
б) (52x)′ = (25x)′ = 25x · ln 25 = 52x · ln 25;
г) (ln 17х)′ = (ln 17 + ln х)′ = (ln 17)′ + (ln х)′ = 0 + 1 x = 1 x , где x > 0.
Промежуточный контроль. C—12.
4.6. Производная сложной функции
В данном пункте учебника доказывается формула для нахождения производной сложной функции y x ′ = y u ′ ⋅ u x ′ (теорема 1). Примеры на нахождение производной не ограничиваются частным случаем, когда u (x) = kx + l. В теореме 2 для любого х > 0 и любого α ≠ 0 доказана формула
(xα)′ = αxα − 1.
В примере 6 показано, как для любого х ≠ 0 надо находить производную функции y= x 2 5 . Обратим внимание, что здесь необходимо рассматривать два случая: х > 0 и х < 0.
Для большей наглядности применения теоремы о производной сложной функции полезно, следуя учебнику, явно использовать замену. Рассмотрим более простые способы решения рассмотренных ранее заданий.
4.51. Докажите справедливость равенства:
а) (sin 2х)′ = 2 cos 2х;
б) (52x)′ = 52x · ln 25;
г) (ln17x)′= 1 x , x > 0.
Доказательство. а) (sin 2х)′ = (sin u)′ = cos u · u′ = cos 2х · (2х)′ =
= 2 cos 2х, где u = 2x.
б) (52x)′ = (5u)′ = (5u) · ln 5 · u′ = 52x · ln 5 (2х)′ =
= 52x · 2 ln 5 = 52x · ln 52 = 52x · ln 25, где u = 2x.
г) (ln17x)′= 1 u ⋅u′= 1 17x ⋅(17x)′= 1 17x ⋅17= 1 x , где u = 17x, x > 0.
Решения и комментарии
Укажите, при каких значениях x функция y = f (x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.54—4.56):
4.54. а) y= e x 3 ; е) y = 9cos x.
Решение. а) Для любого x ∈ R функция имеет производную y x ′ =( e u )′= e u ⋅u′= e x 3 ⋅( x 3 )′=3 x 2 e x 3 , где u = x3.
е) Для любого x ∈ R функция имеет производную
y x ′ =( 9 u )′= 9 u ⋅ln9⋅u′= 9 cosx ⋅ln9⋅(cos x)′=− 9 cosx ⋅ln9 sinx,
где u = cos x.
4.56. а) у = (cos x)4 − (sin x)4; б) у = 4 cos 17x cos 13x.
Решение. а) Для любого x ∈ R функцию у = (cos x)4 − (sin x)4 можно записать в виде у = cos 2x, поэтому для любого x ∈ R функция имеет производную
yx′ = (cos u)′ = −sin u · u ′ = −sin 2x · (2x)′ = −2 sin 2x,
где u = 2x.
б) Для любого x ∈ R функцию у = 4 cos 17x cos 13x можно записать в виде у = 2 (cos 30x + cos 4x), поэтому для любого x ∈ R функция имеет производную
y x ′ = 2 (cos u + cos υ )′ = 2 ((cos u)′ + (cos υ )′ ) =
= 2 (−sin u · u′ − sin υ · υ ′ ) = 2 (−sin 30x (30x)′ − sin 4x · (4x)′ ) =
= 2 (−30 sin 30x − 4sin 4x) = −60 sin 30x − 8 sin 4x,
где u = 30x, υ = 4x.
4.68. Для любого x > 0 найдите производную функции:
а) у = xx; б) у = xsin x.
Решение. а) Для любого x > 0 функцию у = xx можно записать в виде у = ex ln x, поэтому для любого x∈(0;+∞) эта функция имеет производную
y x ′ =( e u )′= e u ⋅u′= e xlnx ⋅(xlnx)′=
= x x ⋅(x′lnx+x(lnx)′)= x x ( lnx+x⋅ 1 x )= x x ⋅(lnx+1),
где u = x ln x.
б) Для любого x > 0 функцию у = xsin x можно записать в виде у = esin x ln x, поэтому для любого x∈(0;+∞) эта функция имеет производную
y x ′ =( e u )′= e u ⋅u′= e sinxlnx ⋅(sinxlnx)′=
= x sinx ⋅((sinx)′lnx+sinx(lnx)′)=
= x sinx ⋅( cosxlnx+ 1 x sinx ),
где u = sin x ln x.
4.69. Докажите, что графики функций f (x) = ex и φ (x) = xe, x > 0 в точке с абсциссой x = e имеют общую касательную.
Доказательство. Так как f (e) = ee = φ (e), то точки графиков данных функций с абсциссой x = e совпадают. Так как f ′ (x) = (ex)′ = ex, f ′ (e) = ee; φ′ (x) = (xe)′ = exe − 1, φ′ (e) = eee − 1 = ee, то угловые коэффициенты касательных к графикам функций f (x) и φ (x) в точке с абсциссой x = e также совпадают. Это означает, что графики функций f (x) = ex и φ (x) = xe, x > 0 в точке с абсциссой x = e имеют общую касательную, что и требовалось доказать.
Промежуточный контроль. C—13, C—14.
4.7*. Производная обратной функции
В данном пункте учебника доказывается формула для нахождения производной обратной функции. В качестве примеров применения этой формулы находятся производные обратных тригонометрических функций.
Отметим, что для нахождения производной обратной функции надо обратную функцию записывать в виде x = φ (y), а не в виде y = φ (x).
Решения и комментарии
4.71. Вычислите производную функции у = f (x), используя производную обратной к ней функции x = φ (у):
а) y= x , x∈(0;+∞) и x = у2, y∈(0;+∞) ;
в) у = ln x, x∈(0;+∞) и x = ey, у ∈ R.
Решение. В этом задании мы получаем новым методом уже известные формулы дифференцирования. В п. 4.7 учебника доказано, что если функции у = f (x) и x = φ (y) взаимно обратные, то f′(x)= 1 φ′(y) , где f ′ (x) — производная по x от f (x), а φ′ (y) — производная по y от φ (y).
а) Функции f(x)= x , x∈(0;+∞) и φ (y) = y2, y∈(0;+∞) взаимно обратные, поэтому ( x ) x ′ = 1 ( y 2 ) y ′ = 1 2y = 1 2 x .
в) Функции f (x) = ln x, x∈(0;+∞) и φ (y) = ey, у ∈ R взаимно обратные, поэтому (lnx)′= 1 ( e y ) y ′ = 1 e y = 1 x .
Промежуточный контроль. К—2.
|
