Перед изучением параграфа 7 надо сказать учащимся о том, что имеется много различных способов преобразования уравнений и неравенств. А начинается их изучение с простейших — равносильных преобразований.
7.1. Равносильные преобразования уравнений
В данном пункте учебника вводятся понятия равносильных уравнений и равносильного преобразования уравнений, выделены шесть основных равносильных преобразований уравнений. При изучении данного пункта сначала повторяются основные способы решения уравнений, в которых используются равносильные преобразования, известные учащимся по предыдущему обучению, а затем усваиваются новые способы. Стоит подчеркнуть, что если при решении уравнения применялись только равносильные преобразования, то все полученные корни последнего уравнения являются корнями исходного уравнения. Поэтому проверка полученных корней не является обязательным элементом решения уравнения. Решения и комментарии 7.11. а) Решите уравнение 2x − 1 = 3x. Решение. Перепишем исходное уравнение в виде 2 x−1 = 2 x log 2 3 . Это уравнение равносильно уравнению x − 1 = x log2 3, которое имеет единственный корень x 0 = 1 1− log 2 3 , поэтому и равносильное ему исходное уравнение имеет единственный корень 1 1 − log 2 3 . 7.13. При каком значении параметра a уравнение 3 x 2 −2x+a = 9 x имеет единственный корень? Решение. Перепишем исходное уравнение в виде 3 x 2 −2x+a = 3 2x . (1)
При каждом значении параметра a уравнение (1) равносильно уравнению x2 − 2x + a = 2x, которое можно переписать в виде x2 − 4x + a = 0. (2)
Квадратное уравнение (2) имеет единственный корень только тогда, когда его дискриминант D = 16 − 4a равен нулю, т. е. только при a = 4. Следовательно, и равносильное ему уравнение (1) имеет единственный корень только при a = 4. Дополнение. При изучении материала данного пункта учащиеся иногда задают вопрос: «Существуют только шесть равносильных преобразований уравнений или есть другие?» Ответить на него можно так: «В основном это все равносильные преобразования, однако есть и неравносильные преобразования уравнений (их мы еще будем изучать), которые в частном случае могут привести к уравнению, равносильному исходному». Например, при возведении в квадрат уравнения x2 = | x | получим уравнение x4 = x2, равносильное исходному, так как обе части исходного уравнения неотрицательны при каждом x ∈ R. Но надо иметь в виду, что, вообще говоря, это преобразование — возведение уравнения в квадрат — не является равносильным преобразованием. Например, при возведении в квадрат уравнения x2 = x получим уравнение x4 = x2, неравносильное исходному, так как оно имеет корень −1, который не является корнем исходного уравнения. В качестве дополнительных задач по изучаемой теме учащимся можно предложить задачи из ЕГЭ прошлых лет. В1 (2005). Решите уравнение 34x + 5 = 81. Ответ. −0,25. В2 (2008). Решите уравнение 7x + 1 − 5 · 7x = 98. Решение. Так как для каждого x ∈ R справедливы равенства 7x + 1 − 5 · 7x = 7 · 7x − 5 · 7x = (7 − 5) · 7x = 2 · 7x, то исходное уравнение равносильно уравнению 2 · 7x = 98. (3)
Уравнение (3) имеет единственный корень x1 = 2, следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень. Ответ. 2. Промежуточный контроль. C—29.
7.2. Равносильные преобразования неравенств
В данном пункте учебника вводятся понятия равносильных неравенств, равносильного преобразования неравенств, выделены шесть основных равносильных преобразований неравенств. Доказательство утверждений о равносильности неравенств проводится аналогично доказательству утверждений о равносильности уравнений в п. 7.1. При изучении данного пункта сначала повторяются основные способы решения неравенств, в которых используются равносильные преобразования, известные учащимся по предыдущему обучению, а затем усваиваются новые способы. Стоит подчеркнуть, что если при решении неравенства применялись только равносильные преобразования, то все полученные решения последнего неравенства являются решениями исходного неравенства. Обратим внимание на то, что в основном все приемы решения неравенств, рассмотренные в учебнике, обсуждаются для строгих неравенств. Нестрогое неравенство f (x) ≥ 0 рассматривается как совокупность уравнения f (x) = 0 и неравенства f (x) > 0, т. е. для решения нестрогого неравенства требуется решить сначала уравнение, затем строгое неравенство и потом объединить все найденные решения. Это связано с тем, что иногда учащиеся применяют к нестрогим неравенствам те же приемы решения, что и к строгим неравенствам, и совершают ошибки. Например, строгое неравенство (x−1)(x−2) (x−2)(x−3) <0 обычно решают так. Это неравенство равносильно неравенству (x − 1) (x − 2)2 (x − 3) < 0. Применяя метод интервалов (рис. 80), находим все его решения: (1; 2) ∪ (2; 3).
Рис. 80
Теперь решим нестрогое неравенство (x−1)(x−2) (x−2)(x−3) ≤0. (1)
Сначала решим уравнение
(x−1)(x−2) (x−2)(x−3) =0. (2)
Оно имеет единственное решение x1 = 1. Затем решим строгое неравенство
(x−1)(x−2) (x−2)(x−3) <0. (3)
Множество его решений, как показано выше, есть множество (1;2)∪(2;3) . Объединяя множества решений уравнения (2) и неравенства (3), получаем множество решений неравенства (1): [1;2)∪(2;3) . Если же учащиеся по ошибке перепишут неравенство (1) в виде
(x − 1) (x − 2)2 (x − 3) ≤ 0,
то получат неравенство, неравносильное неравенству (1). Такой «метод решения» нестрогого неравенства приводит к появлению двух посторонних решений: x1 = 2 и x2 = 3. Поэтому в дальнейшем мы будем придерживаться приведенного в п. 7.2 способа решения нестрогого неравенства. Решения и комментарии Решите неравенство (7.20—7.32): 7.20. а) cos 2x + 3 sin2 x + 2 sin x < 4. Решение. Пользуясь формулами косинуса двойного угла и основным тригонометрическим тождеством, перепишем исходное неравенство в виде
sin2 x + 2 sin x − 3 < 0.
Сделав замену неизвестного t = sin x, получим квадратное неравенство t2 + 2t − 3 < 0, все решения которого составляют промежуток −3 < t < 1. Следовательно, лишь все решения неравенства −3 < sin x < 1 являются решениями исходного неравенства. Все решения последнего неравенства, а значит, и исходного неравенства составляют все x≠ π 2 +2πk, k ∈ Z. 7.29. а) 5x − 1 > 4x. Решение. Перепишем исходное неравенство в виде 5 x−1 > 5 x log 5 4 . (4)
Неравенство (4) равносильно неравенству x − 1 > x log5 4, которое можно переписать в виде x (1 − log5 4) > 1. (5)
Так как 1 − log5 4 > 0, то все решения неравенства (5), а значит, и исходного неравенства составляют x> 1 1− log 5 4 . 7.32. в) 4⋅ ( 1 2 ) 5 x 2 ≤ ( 1 8 ) −3x . Решение. Перепишем исходное неравенство в виде ( 1 2 ) 5 x 2 −2 ≤ ( 1 2 ) −9x . (8)
Сначала решим уравнение ( 1 2 ) 5 x 2 −2 = ( 1 2 ) −9x . (9)
Оно равносильно уравнению 5x2 − 2 = − 9x. (10)
Уравнение (10), а значит, и равносильное ему уравнение (9) имеют два корня: x1 = −2 и x 2 = 1 5 . Теперь решим строгое неравенство ( 1 2 ) 5 x 2 −2 < ( 1 2 ) −9x . (11)
Оно равносильно неравенству 5x2 − 2 > − 9x. (12)
Неравенство (12), а значит, и равносильное ему неравенство (11) имеют одно и то же множество решений: (−∞;−2)∪( 1 5 ;+∞ ) . Объединяя все решения уравнения (9) и неравенства (11), получаем все решения неравенства (8): (−∞;−2]∪[ 1 5 ;+∞ ) . 7.33. При каких значениях параметра a все решения неравенства 2 x 2 +2x− a 2 < 4 x содержатся в интервале (−1; 1)? Решение. Перепишем исходное неравенство в виде 2 x 2 +2x− a 2 < 2 2x . (13)
При каждом значении параметра a неравенство (13) равносильно неравенству x2 + 2x − a2 < 2x, которое можно переписать в виде (x − a) (x + a) < 0. (14)
Если a = 0, то неравенство (14), а значит, и исходное неравенство не имеют решений. Если a > 0, то неравенство (14), а значит, и исходное неравенство имеют решения: −a < x < a. Все эти решения содержатся в интервале (−1; 1) лишь при a ∈ (0; 1] (рис. 81, а). Если a < 0, то неравенство (14), а значит, и исходное неравенство имеют решения: a < x < −a. Все эти решения содержатся в интервале (−1; 1) лишь при a ∈ [−1; 0) (рис. 81, б). Следовательно, все решения исходного неравенства содержатся в интервале (−1; 1) только при a ∈ [−1; 0) ∪ (0; 1] (см. рис. 81, б).
Рис. 81
Дополнение. При изучении материала данного пункта учащиеся иногда задают вопрос: «Существуют только шесть равносильных преобразований неравенств или есть другие?» Ответить на него можно так: «В основном это все равносильные преобразования, однако есть неравносильные преобразования неравенств (их мы еще будем изучать), которые в частном случае могут привести к неравенству, равносильному исходному». Например, при приведении подобных членов неравенства
x 2 +1 +x− x 2 +1 >1
получим неравенство x > 1, равносильное исходному неравенству, так как функция y= x 2 +1 определена для каждого x ∈ R. Но надо иметь в виду, что, вообще говоря, приведение подобных членов не является равносильным преобразованием. Например, приведя подобные члены в неравенстве x +x− x <1, получим неравенство x < 1, неравносильное исходному неравенству, так как оно имеет решения (например, все x < 0), которые не являются решениями исходного неравенства (для этих значений x функция y= x не определена).
