В данном параграфе будет продолжено изучение неравносильных преобразований уравнений, но будет рассмотрен другой способ решения: переход от исходного уравнения к системе, равносильной этому уравнению. Так как при таком оформлении решения исходное уравнение равносильно системе, то все решения системы являются решениями исходного уравнения, поэтому никакой проверки найденных решений как обязательного элемента решения делать не нужно. В § 9 начинается изучение неравносильных преобразований неравенств; будет рассмотрен способ решения при помощи перехода от неравенства к системе, равносильной этому неравенству.
9.1. Основные понятия
В данном пункте учебника вводятся понятия системы (составленной из уравнений, неравенств и других условий), решения такой системы, равносильных систем, уравнения (неравенства), равносильного системе, уравнения (неравенства), равносильного совокупности систем. Приведены примеры применения этих понятий.
Поясним еще раз, что подразумевается под словами «система» и «совокупность», под знаками «{» и «[». Слово «система» и знак «{» употребляются в смысле союза «и». Например, если система содержит несколько условий (уравнений, неравенств и т. п.) с неизвестным x, то имеются в виду все те значения x, каждое из которых удовлетворяет каждому из этих условий.
Слово «совокупность» и знак «[» употребляются в смысле союза «или». Например, если совокупность содержит несколько условий (уравнений, неравенств и т. д.) с неизвестным x, то имеются в виду все те значения x, каждое из которых удовлетворяет хотя бы одному из этих условий.
Решения и комментарии
9.3. а) Запишите систему неравенств, равносильную неравенству | x | < 5.
Решение. По определению модуля числа неравенство | x | < 5 равносильно двойному неравенству −5 < x < 5, которое можно записать в виде системы { x>−5 x<5.
Таким образом, неравенство | x | < 5 равносильно системе { x>−5 x<5.
9.5. а) Запишите совокупность уравнений, равносильную уравнению | x | = 5.
Решение. По определению модуля числа уравнение | x | = 5 справедливо и при x = 5, и при x = −5. Поэтому уравнение | x | = 5 равносильно совокупности уравнений [ x=5 x=−5.
9.6. а) Запишите совокупность неравенств, равносильную неравенству | x | > 5.
Решение. По определению модуля числа неравенство | x | > 5 справедливо и при каждом x > 5, и при каждом x < −5. Поэтому неравенство | x | > 5 равносильно совокупности неравенств [ x>5 x<−5.
9.2. Решение уравнений с помощью систем
9.3. Решение уравнений с помощью систем (продолжение)
В пп. 9.2 и 9.3 учебника сформулированы 6 утверждений о равносильности уравнения системе. А в заданиях 9.24 и 9.25 сформулированы еще 4 таких же утверждения, на применение которых стоит обратить внимание сильных учащихся.
Доказательства всех этих утверждений однотипны, поэтому приведем доказательство только утверждения 1.
Для любого четного числа 2m (m ∈ N) уравнение
f(x) 2m =f(x) (1)
равносильно системе
{ f(x)= (g(x)) 2m g(x)≥0 . (2)
Доказательство. Пусть число х0 — некоторое решение уравнения (1). Это означает, что существуют числа f (x0) и g (x0), для которых справедливо числовое равенство f( x 0 ) 2m =g( x 0 ) . Из справедливости этого равенства в силу определения корня четной степени следует, что g (x0) ≥ 0. Но если числа равны, то равны и любые их степени, т. е., в частности, справедливо числовое равенство f (x0) = (g (x0))2m. Следовательно, число x0 является решением системы (2).
Такое рассуждение можно провести для любого решения уравнения (1), следовательно, любое решение уравнения (1) является решением системы (2).
Докажем теперь, что любое решение системы (2) является решением уравнения (1).
Пусть число х1 — некоторое решение системы (2). Это означает, что существуют числа f (x1) и g (x1), такие, что g (x1) ≥ 0 и f (x1) = (g (x1))2m. Из справедливости числового равенства f (x1) = (g (x1))2m следует, что f (x1) ≥ 0. Но если неотрицательные числа равны, то равны и корни из них любой натуральной степени, т. е., в частности, справедливо числовое равенство f( x 1 ) 2m =g( x 1 ), означающее, что число x1 является решением уравнения (1).
Такое рассуждение можно провести для любого решения системы (2), следовательно, любое решение системы (2) является решением уравнения (1).
Методом от противного можно доказать, что если уравнение (1) не имеет решений, то и система (2) не имеет решений, и что если система (2) не имеет решений, то и уравнение (1) не имеет решений.
Итак, утверждение (1) доказано полностью.
Следует отметить, что в § 10 будут приведены и другие утверждения о равносильности уравнения системе. Учащимся можно порекомендовать запомнить следующие наиболее часто употребляемые равносильные переходы (здесь m ∈ N, a > 0, a ≠ 1):
1. f(x) 2m =g(x)⇔{ f(x)= g 2 (x) g(x)≥0.
2. f(x) 2m = g(x) 2m ⇔{ f(x)=g(x) f(x)≥0 g(x)≥0.
3. loga f (x) = loga g (x) ⇔{ f(x)=g(x) f(x)>0 g(x)>0.
В двух последних утверждениях одно из неравенств (которое окажется сложнее) можно исключить.
В пп. 9.2 и 9.3 учебника и в пп. 33 и 34 дидактических материалов приведено достаточно много примеров, иллюстрирующих сформулированные утверждения.
Надо обратить особое внимание на утверждение 5 из п. 9.3:
f 1 (x)⋅ f 2 (x)=0⇔ [ { f 1 (x)=0 x∈D( f 2 ) { f 2 (x)=0 x∈D( f 1 )
и привести достаточное число примеров на его применение.
Пример 1. Решим уравнение
lg(3−x) 5+4x− x 2 =0. (3)
Решение. Уравнение (3) равносильно совокупности двух систем
{ lg(3−x)=0 5+4x− x 2 ≥0 и { 5+4x− x 2 =0 3−x>0.
Первая система имеет единственное решение х1 = 2, и вторая также имеет единственное решение х2 = −1. Объединив эти решения, получим все решения уравнения (3): 2 и −1.
Обратим внимание и на правильность применения утверждения 6 из п. 9.3:
f(x) g(x) =0⇔{ f(x)=0 g(x)≠0.
Надо подчеркнуть, что условию g (x) ≠ 0 удовлетворяют все такие числа x0, каждое из которых удовлетворяет двум условиям:
1) выражение g (x0) определено;
2) число g (x0) не равно нулю.
Поэтому, найдя корни xi уравнения f (x) = 0, надо выбрать те из них, для которых выражение g (xi) определено, а затем из выбранных корней найти такие, для которых не равны нулю числа g (xi).
Пример 2. Решим уравнение
x 3 −3 x 2 +2x x−1 =0. (4)
Решение. Уравнение (4) равносильно системе
{ x 3 −3 x 2 +2x=0 x−1 ≠0.
Уравнение системы имеет три корня: х1 = 0, х2 = 1 и х3 = 2. Так как выражение x 1 −1 не определено, а выражение x 2 −1 определено, но равно нулю, то числа х1 и х2 не являются корнями уравнения (4). Так как выражение x 3 −1 определено и не равно нулю, то число х3 является корнем уравнения (4). Следовательно, уравнение (4) имеет единственный корень 2.
Решения и комментарии
Решите уравнение (9.26—9.32):
9.26. а) log2 (x − 2) + log2 (x − 3) = log2 (x2 − 5x + 6).
Решение. Применив утверждение из задания 9.24а, получим, что исходное уравнение равносильно системе
{ x−2>0 x−3>0. (5)
Система (5), а значит, и равносильное ей исходное уравнение имеют множество решений (3;+∞) .
9.28. а) | x2 − 4x + 2 | = −x2 + 6x − 6.
Решение. Применив утверждение из задания 9.25а, получим, что исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:
{ x 2 −4x+2=− x 2 +6x−6 − x 2 +6x−6≥0 и { x 2 −4x+2= x 2 −6x+6 − x 2 +6x−6≥0.
Первая система имеет единственное решение х1 = 4, вторая система также имеет единственное решение х2 = 2. Следовательно, исходное уравнение имеет два решения: 2 и 4.
9.30. в) log 5 x−1 + 2 x −2 = log 5 x+ 2 x −3 .
Решение. Применив утверждение из задания 9.25б, получим, что исходное уравнение равносильно совокупности двух систем
{ log 5 x−1=0 2 x −2≥0 и { 2 x −2=0 log 5 x−1≥0.
Первая система имеет единственное решение х1 = 5, а вторая система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение 5.
9.32. а) logx − 1 (x2 + 2x) = logx − 1 (2x2 − 8x + 16).
Решение. Применив утверждение из задания 9.24б, получим, что исходное уравнение равносильно системе
{ x 2 +2x=2 x 2 −8x+16 x 2 +2x>0 2 x 2 −8x+16>0 x−1>0 x−1≠1. (6)
Решив уравнение системы (6), получим, что оно имеет два корня: х1 = 8 и х2 = 2, из которых только число 8 удовлетворяет другим условиям системы (6). Следовательно, система (6), а значит, и равносильное ей исходное уравнение имеют единственное решение 8.
9.33. а) Сколько корней имеет уравнение
sin πx 3 (lg(x+5)+lg(400−x))=0?
Решение. Применив утверждение 5, получим, что исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:
{ sin πx 3 =0 x+5>0 400−x>0 и { lg(x+5)+lg(400−x)=0 x∈R.
Решениями первой системы являются все числа xk = 3k, k ∈ Z, удовлетворяющие двойному неравенству −5 < xk < 400. Таких чисел 135.
Вторая система имеет два решения: x 1 = 395− 164021 2 и x 2 = 395+ 164021 2 . Ни одно из них не содержится среди чисел xk. Следовательно, исходное уравнение имеет 135 + 2 = 137 решений.
9.34. При каких значениях параметра a уравнение x x−a + 1 x+a = 2 x 2 − a 2 имеет единственный корень?
Решение. Перенеся все члены исходного уравнения в левую часть и сложив дроби, перепишем уравнение в виде
x 2 +(a+1)x−(a+2) x 2 − a 2 =0. (7)
Уравнение (7) при каждом значении параметра а равносильно системе
{ x 2 +(a+1)x−(a+2)=0 x 2 − a 2 ≠0. (8)
Уравнение системы (8) имеет два корня: х1 = 1 и х2 = −a − 2. При a = −3 эти корни совпадают, т. е. уравнение системы (8) имеет единственный корень 1, при этом x2 − a2 = −8 ≠ 0. Следовательно, при a = −3 система (8), а значит, и уравнение (7) имеют единственное решение х1 = 1.
При a ≠ −3 корни уравнения системы (8) различны, поэтому это уравнение имеет единственный корень лишь в том случае, если один из этих двух корней удовлетворяет неравенству системы (8), а второй нет. Следовательно, искомые значения a являются решениями совокупности двух систем:
{ 1− a 2 =0 (a+2) 2 − a 2 ≠0 a≠−3 и { 1− a 2 ≠0 (a+2) 2 − a 2 =0 a≠−3
Так как a = 1 — единственное решение первой системы, а вторая система решений не имеет, то при a = 1 система (8), а значит, и уравнение (7) имеют единственное решение.
Итак, уравнение (7), а значит, и исходное уравнение имеют единственный корень при a = 1 и при a = −3.
Дополнение. В качестве дополнительных задач по изучаемой теме учащимся можно предложить задачи из ЕГЭ прошлых лет.
В2 (2004). Найдите сумму корней уравнения
( 3 2 x 2 −29 −27 ) 5x+18 4 =0.
Ответ. 0,4.
В3 (2007). Решите уравнение x 2 x−1 −4 x−1 =0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех его корней.)
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
x−1 ( x 2 −4)=0. (9)
Уравнение (9) равносильно совокупности двух систем:
{ x−1 =0 x∈R и { x 2 −4=0 x−1≥0. (10)
Первая система имеет единственное решение х1 = 1, вторая система также имеет единственное решение х2 = 2. Следовательно, совокупность (10) имеет два решения: 1 и 2, а равносильное ей исходное уравнение имеет два корня: 1 и 2, сумма которых равна 3.
Ответ. 3.
Промежуточный контроль. C—33, C—34.
9.4*. Уравнения вида f (α (x)) = f (β (x))
В данном пункте учебника сформулированы два утверждения, с помощью которых решаются уравнения вида f (α (x)) = f (β (x)).
1. Пусть область существования функции f (u) есть промежуток М и пусть эта функция строго монотонна (т. е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение f (α (x)) = f (β (x)) равносильно системе
{ α(x)=β(x) α(x)∈M β(x)∈M.
В этой системе второе или третье условие можно опустить.
2. Пусть R — область существования функции f (u) и пусть эта функция строго монотонна на R, тогда равносильны уравнения f (α (x)) = f (β (x)) и α (x) = β (x).
Решения и комментарии
Решите уравнение (9.38—9.42):
9.38. а) arcsin (x2 − 80,5) = arcsin (x − 8,5).
Решение. Рассмотрим функцию f (u) = arcsin u. Так как D (f) = [−1; 1] и на промежутке [−1; 1] функция f (u) возрастает, то по утверждению 1 исходное уравнение равносильно системе
{ x 2 −80,5=x−8,5 x−8,5≥−1 x−8,5≤1. (1)
Система (1) имеет единственное решение x1 = 9. Следовательно, равносильное ей исходное уравнение имеет единственный корень 9.
9.39. а) log 0,5 tg x+ ( 1 3 ) tg x − tg x 7 = log 0,5 ctg x+ ( 1 3 ) ctg x − ctg x 7 .
Решение. Рассмотрим функцию f(u)= log 0,5 u+ ( 1 3 ) u − u 7 . Так как D (f) = (0;+∞) и на промежутке (0;+∞) функция f (u) убывает (как сумма трех убывающих на промежутке (0;+∞) функций), то по утверждению 1 исходное уравнение равносильно системе
{ tg x=ctg x tg x>0. (2)
Система (2) имеет единственную серию решений x k = π 4 +πk, k ∈ Z, поэтому равносильное ей исходное уравнение имеет ту же серию решений π 4 +πk, k ∈ Z.
9.42. а) e x 2 −4x+5 + x 2 −4x+5 3 = e 2 x 2 −3x+7 + 2 x 2 −3x+7 3 .
Решение. Рассмотрим функцию f(u)= e u + u 3 . Так как D (f) = R и на промежутке R функция f (u) возрастает (как сумма двух возрастающих на промежутке R функций), то по утверждению 2 исходное уравнение равносильно уравнению
x2 − 4x + 5 = 2x2 − 3x + 7. (3)
Уравнение (3) не имеет корней, поэтому и равносильное ему исходное уравнение не имеет корней.
Дополнение. Отметим, что существуют уравнения, для решения которых недостаточно утверждений 1 и 2. Они могут быть решены с помощью следующего утверждения:
3. Пусть функция f (u) строго монотонна на промежутке М. Тогда равносильны две системы:
{ f(α(x))=f(β(x)) α(x)∈M β(x)∈M и { α(x)=β(x) α(x)∈M β(x)∈M.
Пример 1. Решим уравнение
(x2 + 4x − 3)10 + (x2 + 4x − 3)22 = (x + 1)10 + (x + 1)22. (4)
Решение. Если рассмотреть функцию f1 (u) = u10 + u22, то на всей своей области существования R она не является строго монотонной, поэтому для нее неприменимо ни одно из утверждений 1—3. Однако, если обозначить α (x) = (x2 + 4x − 3)2, β (x) = (x + 1)2, f (u) = u5 + u11, то получим, что α (x) ≥ 0 и β (x) ≥ 0 для любого х ∈ R, поэтому уравнение (4) равносильно системе
{ f(α(x))=f(β(x)) α(x)≥0 β(x)≥0. (5)
Функция f (u) на промежутке М = [0;+∞) возрастает. Поэтому на основании утверждения 3 система (5) равносильна системе
{ α(x)=β(x) α(x)≥0 β(x)≥0. (6)
Так как α (x) ≥ 0 и β (x) ≥ 0 для любого х ∈ R, то система (6) равносильна уравнению α (x) = β (x), т. е. уравнению
(x2 + 4x − 3)2 − (x + 1)2 = 0. (7)
Следовательно, исходное уравнение (4) равносильно уравнению (7). Переписав уравнение (7) в виде
(x2 + 3x − 4) (x2 + 5x − 2) = 0,
найдем его корни х1 = 1, х2 = −4, x 3 = −5− 33 2 и x 4 = −5+ 33 2 . Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня: 1, −4, −5− 33 2 , −5+ 33 2 .
Пример 2 (МГУ, биофак, олимпиада, 2006). Решим уравнение
3 2arcsin(2x+1) + log 3 (2arcsin(2x+1))=
= 3 arccos 3−2x 4 + log 3 ( arccos 3−2x 4 ) . (8)
Решение. Рассмотрим функцию f (u) = 3u + log3 u. Так как D (f) = (0;+∞) и на промежутке (0;+∞) функция f (u) возрастает, то по утверждению 1 уравнение (8) равносильно системе
{ α(x)=β(x) α(x)>0 β(x)>0, (9)
где α (x) = 2 arcsin (2x + 1), β(x)=arccos 3−2x 4 .
По определению арксинуса и арккосинуса систему (9) можно переписать в виде
{ α(x)=β(x) 0<α(x)≤π 0<β(x)≤π. (10)
Функция g (u) = cos u на промежутке (0; π] убывает, поэтому по утверждению 3 система (10) равносильна системе
{ cosα(x)=cosβ(x) 0<α(x)≤π 0<β(x)≤π. (11)
Так как при α (x) ∈ (0; π] и β (x) ∈ (0; π] имеем cosα(x)=1−2 sin 2 α(x) 2 =1−2 (2x+1) 2 , cosβ(x)= 3−2x 4 , то систему (11) можно переписать в виде
{ 1−2 (2x+1) 2 = 3−2x 4 0<α(x)≤π 0<β(x)≤π . (12)
Уравнение системы (12) имеет два корня: x 1 =− 1 2 и x 2 =− 7 16 . Так как α (x1) = 2 arcsin 0, то число x1 не удовлетворяет неравенству системы (12). Так как α( x 2 )=2arcsin 1 8 и β( x 2 )=2arccos 31 32 , то число x2 удовлетворяет обоим неравенствам системы (12). Следовательно, система (12), а значит, и равносильное ей уравнение (8) имеют единственный корень − 7 16 .
Промежуточный контроль. C—35.
9.5. Решение неравенств с помощью систем
9.6. Решение неравенств с помощью систем (продолжение)
В п. 7.2 изучалось решение неравенств при помощи равносильных преобразований. В пп. 9.5 и 9.6 будет изучаться решение неравенств при помощи неравносильных преобразований. Следует отметить, что в учебнике не рассматривается понятие неравенства-следствия. Поэтому в отличие от уравнений для неравенств нет перехода к следствию.
В § 9 рассматривается решение неравенств при помощи перехода от неравенства к системе, равносильной этому неравенству. Другой способ решения неравенств рассматривается в § 11.
В пп. 9.5 и 9.6 сформулированы семь утверждений о равносильности неравенства системе, а в задании 9.52 — еще три утверждения. Следует отметить, что в § 10 и 12 будут приведены еще и другие утверждения о равносильности неравенства системе.
Можно рекомендовать учащимся запомнить наиболее употребляемые равносильные переходы (m ∈ N):
1. f(x) 2m < g(x) 2m ⇔0≤f(x)<g(x) .
2. а) f(x) 2m <g(x)⇔{ f(x)< (g(x)) 2m f(x)≥0 g(x)>0;
б) f(x) 2m >g(x)⇔ [ { f(x)< (g(x)) 2m g(x)≥0 { f(x)≥0 g(x)<0.
3. а) loga f (x) < loga g (x) ⇔ 0 < f (x) < g (x), если а > 1;
б) loga f (x) < loga g (x) ⇔ 0 < g (x) < f (x), если 0 < а < 1.
В пп. 9.5 и 9.6 учебника и в пп. 36 и 37 дидактических материалов приведено достаточно много примеров применения этих утверждений.
Решения и комментарии
Решите неравенство (9.47—9.64):
9.47. а) x 2 + x 8 ≥ 5x−4+ x 8 .
Решение. Исходное неравенство равносильно совокупности уравнения
x 2 + x 8 = 5x−4+ x 8 (1)
и неравенства
x 2 + x 8 > 5x−4+ x 8 . (2)
Уравнение (1) равносильно системе
{ x 2 + x =5x−4+ x x 2 + x ≥0. (3)
Система (3) имеет два решения: x1 = 1 и x2 = 4. Следовательно, и равносильное ей уравнение (1) имеет два корня: x1 = 1 и x2 = 4.
Неравенство (2) равносильно системе
{ x 2 + x >5x−4+ x 5x−4+ x ≥0. (4)
Все решения первого неравенства системы (4) составляют два промежутка: [0; 1) и (4;+∞) . Все решения второго неравенства системы (4) составляют промежуток [ 16 25 ;+∞ ) . Следовательно, множество решений системы (4), а значит, и равносильного ей неравенства (2) есть [ 16 25 ;1 )∪(4;+∞) .
Объединив все найденные решения, получим множество решений исходного неравенства: [ 16 25 ;1 )∪(4;+∞) .
9.50. а) 9 x +1+ctg πx 2 <10⋅ 3 x−1 +ctg πx 2 .
Решение. Перепишем исходное неравенство в виде
9 x −10⋅ 3 x−1 +1+ctg πx 2 −ctg πx 2 <0. (5)
Неравенство (5) по утверждению 5 учебника равносильно системе
{ 9 x −10⋅ 3 x−1 +1<0 πx 2 ≠πk, k∈Z. (6)
Все решения первого неравенства системы составляют промежуток (−1; 1). Из этих чисел лишь число 0 не удовлетворяет второму условию системы (6), поэтому все решения системы (6), а значит, и равносильного ей исходного неравенства составляют два промежутка: (−1; 0) и (0; 1).
9.57. а) log 2 (x−3) log 0,5 (x+2) >0.
Решение. Исходное неравенство по утверждению 6 учебника равносильно совокупности двух систем:
{ log 2 (x−3)>0 log 0,5 (x+2)>0 и { log 2 (x−3)<0 log 0,5 (x+2)<0. (7)
Первая система совокупности (7) не имеет решений. Все решения второй системы совокупности (7) составляют промежуток (3; 4). Следовательно, совокупность систем и равносильное ей исходное неравенство имеют множество решений (3; 4).
9.58. а) | x + 1 | < x2 − 2x + 1.
Решение. По утверждению из задания 9.52а исходное неравенство равносильно двойному неравенству
−x2 + 2x − 1 < x + 1 < x2 − 2x + 1,
которое можно записать в виде системы
{ − x 2 +2x−1<x+1 x+1< x 2 −2x+1.
Эта система имеет множество решений (−∞;0)∪(3;+∞) . Следовательно, исходное неравенство, равносильное этой системе, имеет то же множество решений (−∞;0)∪(3;+∞) .
9.62. а) logx (9x + 1) < logx | 10x − 1 |.
Решение. По утверждению из задания 9.52в исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
{ 0<9x+1<| 10x−1 | x>1 и { 9x+1>| 10x−1 |>0 0<x<1. (8)
Учитывая неравенство x > 1, получим, что первая система совокупности (8) равносильна системе
{ 9x+1<10x−1 x>1,
имеющей множество решений (2;+∞) .
Так как число x = 0,1 не является решением второй системы совокупности (8), то эта система равносильна совокупности двух систем:
{ 9x+1>−10x+1 0<x<0,1 и { 9x+1>10x−1 0,1<x<1. (9)
Первая система совокупности (9) имеет множество решений (0; 0,1). Вторая система совокупности (9) имеет множество решений (0,1; 1). Следовательно, исходное неравенство, равносильное совокупности систем (8), имеет множество решений (0; 0,1) ∪ (0,1; 1) ∪(2;+∞) .
9.64. а) log x 8x−7 8x+13 ≥ log x 14x−9 8x+13 .
Решение. По утверждению из задания 9.52в исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
{ 8x−7 8x+13 ≥ 14x−9 8x+13 >0 x>1 и { 0< 8x−7 6x+11 ≤ 14x−9 8x+13 0<x<1. (10)
Первая система совокупности (10) не имеет решений. Вторая система совокупности (10) имеет множество решений ( 7 8 ;1 ) . Следовательно, исходное неравенство, равносильное совокупности систем (10), имеет множество решений ( 7 8 ;1 ) .
9.65. При каких значениях параметра a все решения неравенства x−2a > 4−x содержатся в интервале (0; 5)?
Решение. По утверждению 3 учебника при каждом значении a это неравенство равносильно двойному неравенству x − 2a > 4 − x ≥ 0, которое можно переписать в виде
a + 2 < x ≤ 4. (11)
Двойное неравенство (11), а значит, и исходное неравенство имеют решения, если a + 2 < 4, т. е. при каждом a < 2. Эти решения содержатся в интервале (0; 5), если выполняется условие a + 2 ≥ 0, т. е. при каждом a∈[−2;2) . Следовательно, все решения исходного неравенства содержатся в интервале (0; 5) при каждом a∈[−2;2) .
Промежуточный контроль. C—36, C—37.
9.7*. Неравенства вида f (α (x)) > f (β (x))
В данном пункте учебника сформулированы утверждения, с помощью которых решаются неравенства вида f (α (x)) > f (β (x)). В п. 9.7 учебника и в п. 38 дидактических материалов содержится достаточное число примеров на применение этих утверждений.
Решения и комментарии
Решите неравенство (9.70—9.71):
9.70. а) arcsin (x2 − 2x) < arcsin (x2 + x − 1).
Решение. Рассмотрим функцию f (u) = arcsin u. Так как D (f) = [−1; 1] и на промежутке [−1; 1] функция f (u) возрастает, то исходное неравенство равносильно системе
{ x 2 −2x< x 2 +x−1 −1≤ x 2 −2x≤1 −1≤ x 2 +x−1≤1. (1)
Система (1) имеет множество решений ( 1 3 ;1 ], следовательно, равносильное ей исходное неравенство имеет то же множество решений ( 1 3 ;1 ].
9.71. а) log 2 (x−3) + 10 log 2 (x−3) < log 2 ( x 2 −3x) + 10 log 2 ( x 2 −3x) .
Решение. Рассмотрим функцию f(u)= u + 10 u . Так как D(f)=[0;+∞) и на промежутке [0;+∞) функция f (u) возрастает (как сумма двух возрастающих на промежутке [0;+∞) функций), то исходное неравенство равносильно системе
{ log 2 (x−3)< log 2 ( x 2 −3x) log 2 (x−3)≥0 log 2 ( x 2 −3x)≥0. (2)
Система (2) имеет множество решений [4;+∞), поэтому равносильное ей исходное неравенство имеет то же множество решений [4;+∞) .
|
