В данном параграфе будет продолжено рассмотрение неравносильных преобразований уравнений, будет рассмотрен еще один способ решения уравнений — переход к уравнению, равносильному исходному уравнению на некотором множестве М. Этот способ рекомендуется основательно изучать лишь в классах с углубленным изучением математики, так как его применение требует не выполнения заученного алгоритма, а больших логических усилий, так как каждый раз учащимся предстоит осмысленный выбор того множества, на котором будет проводиться преобразование уравнения.
Переход от исходного уравнения к уравнению, равносильному ему на некотором множестве, применяется еще при решении уравнений с модулями в § 12.
10.1. Основные понятия
В данном пункте учебника вводятся понятия уравнений, равносильных на множестве M, равносильного перехода на множестве M от одного уравнения к другому и равносильного преобразования уравнения на множестве M. Далее указаны пять основных преобразований, приводящих уравнение к равносильному ему на некотором множестве уравнению. В следующих пунктах этого параграфа эти преобразования рассмотрены подробно.
Решения и комментарии
10.2. Определите множество, на котором равносильны уравнения:
а) x 2 +x−2 x+2 =0 и x2 + x − 2 = 0; б) x =1 и x2 = 1;
в) x3 + 2x2 − 1 = 0 и x (x3 + 2x2 − 1) = 0;
г) x 2 +5x+ x = x −4 и x2 + 5x + 4 = 0;
д) lg (x2 − 1) = lg x и x2 − 1 = x.
Решение. а) Эти уравнения равносильны при условии x + 2 ≠ 0, т. е. на множестве M=(−∞;−2)∪(−2;+∞) .
б) Эти уравнения равносильны при условии x ≥ 0, т. е. на множестве M=[0;+∞) .
в) Эти уравнения равносильны при условии x > 0, т. е. на множестве M=(0;+∞) .
г) Эти уравнения равносильны при условии x ≥ 0, т. е. на множестве M=[0;+∞) .
д) Эти уравнения равносильны при условиях x2 − 1 > 0 и x > 0, т. е. на множестве M=(1;+∞) .
Дополнение. При решении уравнений полезно еще одно определение, не сформулированное в учебнике.
Пусть дано уравнение
f (x) = g (x), (1)
совокупность уравнений
[ f 1 (x)= g 1 (x) ... f n (x)= g n (x) (2)
и множество M значений неизвестного x. Если любой корень уравнения (1), принадлежащий множеству M, является корнем хотя бы одного из уравнений совокупности (2), а любой корень каждого из уравнений совокупности (2), принадлежащий множеству M, является корнем уравнения (1), то говорят, что уравнение (1) и совокупность (2) равносильны на множестве М.
Например, уравнение x+1 ⋅lg(2−x)⋅tg x=0 равносильно на множестве M=[ −1; π 2 )∪( π 2 ;2 ) совокупности трех уравнений
[ x+1 =0 lg(2−x)=0 tg x=0.
Этим определением можно воспользоваться при решении ряда уравнений из пп. 10.4 и 10.5.
10.2. Возведение уравнения в четную степень
В этом пункте учебника сформулировано утверждение: уравнения f (x) = g (x) и (f (x))2m = (g (x))2m, где m ∈ N, равносильны на том множестве, где f (x) ≥ 0 и g (x) ≥ 0. Это утверждение применяется прежде всего для решения иррациональных уравнений. В п. 10.2 учебника и в п. 39 дидактических материалов приведены примеры использования этого утверждения. Приведем еще один пример.
Пример 1. Решим уравнение
2−x 8 = x−1 4 . (1)
Решение. Все корни уравнения (1) содержатся среди x, удовлетворяющих неравенствам 2 − x ≥ 0 и x − 1 ≥ 0, т. е. содержатся в множестве M = [1; 2]. Поэтому надо решить уравнение (1) на этом множестве. На множестве M обе функции f(x)= 2−x 8 и g(x)= x−1 4 определены и неотрицательны, поэтому на этом множестве уравнение (1) равносильно уравнению
2 − x = (x − 1)2. (2)
Уравнение (2) имеет два корня: x 1 = 1+ 5 2 и x 2 = 1− 5 2 , из них множеству M принадлежит только число x1. Поэтому уравнение (2) на множестве M имеет единственный корень x1. Следовательно, и равносильное ему на множестве M уравнение (1) имеет тот же единственный корень 1+ 5 2 .
Обратим внимание на то, что это утверждение применяется и при решении уравнений с модулями (см. пример 2 из учебника). Приведем еще один пример.
Пример 2. Решим уравнение
| 2x2 − 4x − 1 | = | x2 − 3x + 1 |. (3)
Решение. Обе функции f (x) = | 2x2 − 4x − 1 | и g (x) = | x2 − 3x + 1 | неотрицательны для каждого x ∈ R. Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению
(2x2 − 4x − 1)2 = (x2 − 3x + 1)2,
которое можно переписать в виде
(2x2 − 4x − 1)2 − (x2 − 3x + 1)2 = 0
или в виде
(3x2 − 7x) (x2 − 2x − 2) = 0. (4)
Уравнение (4) имеет четыре корня: х1 = −1, х2 = 0, х3 = 2 и x 4 = 7 3 . Следовательно, и уравнение (3), равносильное уравнению (4), имеет те же четыре корня: х1 = − 1, х2 = 0, х3 = 2 и x 4 = 7 3 .
Решения и комментарии
Решите уравнение (10.8—10.9):
10.8. а) −2x =x+1.
Решение. Все корни исходного уравнения содержатся в множестве M, состоящем из чисел, удовлетворяющих неравенствам −2x ≥ 0 и x + 1 ≥ 0, т. е. содержатся в множестве M = [−1; 0]. Поэтому надо решить исходное уравнение на этом множестве. На множестве M обе функции f(x)= −2x и g (x) = x + 1 определены и неотрицательны, следовательно, на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению
−2x = (x + 1)2. (5)
Уравнение (5) имеет два корня: x 1 =−2+ 3 и x 2 =−2− 3 , из них множеству M принадлежит только число x1. Поэтому уравнение (5) на множестве M имеет единственный корень x1. Следовательно, и равносильное ему на множестве M исходное уравнение имеет тот же единственный корень −2+ 3 .
10.9. а) 2−2sin x 2 =1 .
Решение. Так как для любого x ∈ R число 2−2sin x 2 ≥0, то обе части исходного уравнения неотрицательны для любого x ∈ R, поэтому это уравнение равносильно уравнению 2−2sin x 2 =1, которое имеет две серии решений: π 3 +4πk, и 5π 3 +4πk, k ∈ Z. Следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет те же две серии решений: π 3 +4πk, 5π 3 +4πk, k ∈ Z.
10.3*. Умножение уравнения на функцию
В этом пункте учебника сформулировано и доказано утверждение об умножении уравнения на функцию и приведены примеры применения этого утверждения.
Умножение уравнения на функцию весьма «коварное» преобразование. При его применении возможны и потеря корней исходного уравнения, и приобретение посторонних корней, не являющихся корнями исходного уравнения.
Например, уравнение
x2 − 2x − 3 = 0 (1)
имеет два корня: x1 = − 1 и x2 = 3, а уравнение
x−2 ( x 2 −2x−3)=0, (2)
полученное из уравнения (1) умножением его на функцию φ(x)= x−2 , также имеет два корня: x3 = 2 и x4 = 3.
Итак, при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) был потерян корень x1 = −1 и приобретен посторонний для исходного уравнения корень x3 = 2. Следовательно, необдуманное умножение уравнения на функцию может стать причиной ошибки.
В то же время есть уравнения, которые решаются именно с помощью преобразования — умножения уравнения на функцию. Например, освобождение уравнения от знаменателя, уже рассмотренное выше, есть преобразование умножения уравнения на функцию (на знаменатель). Однако есть уравнения, для решения которых применяют умножение на функцию, хотя сам вид уравнения этого не предусматривает.
Например, для решения уравнения
16 cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1
его надо умножить на функцию φ (x) = sin x (пример 3, с. 272 учебника).
Чтобы избежать ошибок, надо обязательно выяснить, не обращается ли в нуль на рассматриваемом множестве функция, на которую умножается уравнение.
Пример 1. Решим уравнение
4x + 6 · 9x = 5 · 6x. (3)
Решение. Обе части уравнения (3) имеют смысл на множестве всех x ∈ R. Кроме того, функция φ (x) = 9x не равна нулю для каждого x ∈ R. Поэтому, разделив уравнение (3) на функцию φ (x) (т. е. умножив ее на функцию 1 φ(x) ), получим уравнение ( 2 3 ) 2x − 5 ( 2 3 ) x + 6 = 0, равносильное уравнению (3).
Так как уравнение у2 − 5у + 6 = 0 имеет два корня: у1 = 2 и у2 = 3, то только все решения двух уравнений ( 2 3 ) x = 2 и ( 2 3 ) x = 3 являются решениями уравнения (3). Решив эти уравнения, получим, что уравнение (3) имеет два корня: x 1 = log 2 3 2 и x 2 = log 2 3 3.
Решения и комментарии
Решите уравнение (10.14—10.19):
10.14. а) 3 (2x+6)(x−1) + 5 (3x+5)(x−1) = 1 (x−1) .
Решение. Все корни исходного уравнения содержатся в множестве M, состоящем из чисел x, удовлетворяющих условиям x ≠ 1, x ≠ −3 и x≠− 5 3 . На этом множестве функция f(x)=6(x+3)( x+ 5 3 )(x−1) определена и отлична от нуля, следовательно, умножив на функцию f (x) исходное уравнение, получим, что на множестве M исходное уравнение равносильно уравнению
9( x+ 5 3 )+10(x+3)=6(x+3)( x+ 5 3 ) . (4)
Уравнение (4) имеет два корня: x1 = −2,5 и x2 = 1, из которых только число −2,5 принадлежит множеству M. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (4), имеет тот же единственный корень −2,5.
10.16. а) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1) (x8 + 1) = x 16 + x 2 −5x+3 x−1 .
Решение. Все корни исходного уравнения содержатся в множестве M, состоящем из чисел, удовлетворяющих условию x ≠ 1. На этом множестве функция f (x) = x − 1 определена и отлична от нуля. Следовательно, исходное уравнение равносильно на множестве M уравнению
(x − 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1) (x8 + 1) = x16 + x2 − 5x + 3.
Применив четыре раза формулу разности квадратов и перенеся все члены уравнения в одну часть, перепишем это уравнение в виде
x2 − 5x + 4 = 0. (5)
Уравнение (5) имеет два корня: x1 = 4 и x2 = 1, из которых только число 4 принадлежит множеству M. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (5), имеет единственный корень 4.
10.17. а) (x − 1) (x2 + 1) (x4 + 1) = x7.
Решение. Число x = −1 не является корнем исходного уравнения. Поэтому все корни исходного уравнения содержатся в множестве M всех x, кроме x = −1. На этом множестве функция φ (x) = x + 1 определена и отлична от нуля. Поэтому исходное уравнение равносильно на множестве M уравнению
(x + 1) (x − 1) (x2 + 1) (x4 + 1) = x7 (x + 1). (6)
Применив три раза формулу разности квадратов, раскрыв скобки в правой части уравнения и перенеся все члены уравнения в одну часть, перепишем уравнение (6) в виде
x7 + 1 = 0. (7)
Уравнение (7) имеет единственный корень x1 = −1, который не принадлежит множеству M. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (7), не имеет корней.
10.19. а) 2sinx − x 2 +4x−3 = 1 − x 2 +4x−3 .
Решение. Все корни исходного уравнения содержатся в множестве M, состоящем из чисел, удовлетворяющих условию −x2 + 4x − 3 > 0, т. е. в множестве M = (1; 3). В каждой точке этого множества функция f(x)= − x 2 +4x−3 определена и отлична от нуля, следовательно, исходное уравнение равносильно на множестве M уравнению
2 sin x = 1. (8)
Уравнение (8) имеет две серии решений: π 6 +2πn, n ∈ Z и 5π 6 +2πk, k ∈ Z. Из этих чисел множеству М принадлежит лишь число 5π 6 . Следовательно, исходное уравнение, равносильное уравнению (8) на множестве М, имеет тот же единственный корень 5π 6 .
10.4*. Другие преобразования уравнений
В данном пункте учебника сформулированы утверждения о потенцировании и логарифмировании уравнений, о приведении подобных членов и о применении формул. Приведены примеры применения этих утверждений при решении уравнений.
Обратим внимание на утверждение 1 из учебника.
Пусть число a таково, что a > 0 и a ≠ 1, и пусть в каждой точке множества М обе функции f (x) и φ (x) определены и положительны. Тогда на множестве М равносильны уравнения
loga f (x) = loga φ (x) (1)
и
f (x) = φ (x). (2)
Переход от уравнения (1) к уравнению (2) называют потенцированием логарифмического уравнения (1), а переход от уравнения (2) к уравнению (1) называют логарифмированием уравнения (2). Потенцирование уравнения совершают часто, и его можно применять, используя либо переход к уравнению-следствию (п. 8.3), либо переход к системе, равносильной исходному уравнению (п. 9.2), либо переход к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве (этот способ и предусматривался в этом пункте). Соответствующие примеры разобраны в п. 10.4 учебника и в п. 40 дидактических материалов.
Логарифмирование уравнения — новый способ решения уравнений. На его усвоение надо затратить достаточно много усилий. В данном пункте учебника разобран пример применения логарифмирования уравнения. Приведем еще один пример.
Пример 1. Решим уравнение
(2+sinx) 6+x− x 2 =1. (3)
Решение. Все корни уравнения (3) содержатся в множестве М, состоящем из чисел, удовлетворяющих условию 6 + x − x2 ≥ 0, т. е. в множестве М = [−2; 3].
В каждой точке множества М обе функции f (x) = 1 и φ(x)= (2+sinx) 6+x− x 2 определены и положительны. Поэтому, логарифмируя уравнение (3), получим, что оно равносильно на множестве М уравнению
6+x− x 2 lg (2+sinx)=0. (4)
Уравнение (4) имеет на множестве М три корня: x1 = −2, x2 = 3 и x 3 =− π 2 . Следовательно, и равносильное уравнению (4) уравнение (3) имеет те же три корня: −2, − π 2 и 3.
Обратим также внимание и на утверждение 3 из учебника.
Пусть в каждой точке множества М определены обе части некоторой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.). Тогда, применив эту формулу при решении уравнения, получим уравнение, равносильное на множестве М исходному уравнению.
На применение этого утверждения приведено достаточно много примеров в п. 10.4 учебника и в п. 39 дидактических материалов. Отметим, что утверждение 3 более понятно, чем аналогичное утверждение в п. 8.4 — при переходе к уравнению-следствию. Оно лучше усваивается учащимися. Приведем еще один пример.
Пример 2 (ЕГЭ, 2008, тренировочный вариант). Решим уравнение
x(2x+1)+2x 2x+1 x +1=0. (5)
Решение. Все корни уравнения (5) содержатся среди x, удовлетворяющих неравенству 2x+1 x ≥ 0, т. е. содержатся в множестве M=( −∞;− 1 2 ]∪(0;+∞) . Поэтому надо решить уравнение (5) на каждом из множеств M 1 =( −∞;− 1 2 ] и M 2 =(0;+∞) .
На множестве M1 определены обе части формулы −x 2x+1 x = x(2x+1) (положительный множитель −x внесен под знак корня). Поэтому уравнение (5) равносильно на множестве M1 уравнению x(2x+1)−2 x(2x+1) +1=0, которое можно записать в виде
( x(2x+1) −1 ) 2 =0. (6)
Уравнение (6) равносильно на множестве M1 уравнению x (2x + 1) = 1, которое имеет два корня: x1 = −1 и x 2 = 1 2 . Из этих чисел лишь число −1 принадлежит множеству M1. Следовательно, на этом множестве уравнение (5) имеет единственный корень −1.
На множестве M2 определены обе части формулы x 2x+1 x = x(2x+1) (положительный множитель x внесен под знак корня). Поэтому уравнение (5) равносильно на множестве M2 уравнению x(2x+1)+2 x(2x+1) +1=0, которое можно записать в виде
( x(2x+1) −1 ) 2 =0. (7)
Так как для каждого x ∈ M2 справедливо неравенство x(2x+1) +1>0, то уравнение (7) не имеет корней, принадлежащих множеству M2. Следовательно, и равносильное ему на множестве M2 уравнение (5) не имеет корней на этом множестве.
Итак, уравнение (5) имеет единственный корень −1.
Решения и комментарии
Решите уравнение (10.28—10.30):
10.28. а) 4 log 4 (2x+1) = x 2 +3x−5.
Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству М всех чисел x, удовлетворяющих неравенству 2x + 1 > 0, т. е. множеству М = (−0,5; +∞). Применяя формулу 4 log 4 (2x+1) =2x+1, обе части которой определены на множестве М, получим, что исходное уравнение равносильно на множестве М уравнению
2x + 1 = x2 + 3x − 5, (8)
имеющему два корня: x1 = −3 и x2 = 2, из которых только число 2 принадлежит множеству M. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (8), имеет единственный корень 2.
10.29. а) log3 x = 4 − 3 logx 3.
Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству М всех чисел x, удовлетворяющих условиям x > 0, x ≠ 1, т. е. множеству М = (0; 1) ∪ (1; +∞). Применяя формулу log x 3= 3 log 3 x , обе части которой определены на множестве М, получим, что исходное уравнение равносильно на множестве М уравнению
log 3 x=4− 3 log 3 x .
Введя новое неизвестное t = log3 x, перепишем это уравнение в виде
t=4− 3 t . (9)
Так как уравнение (9) имеет два корня: t1 = 1 и t2 = 3, то все решения двух уравнений
log3 x = 1 и log3 x = 3,
принадлежащие множеству M, дадут все решения исходного уравнения. Решив эти уравнения на множестве М, получим, что исходное уравнение имеет два корня: x1 = 3 и x2 = 27.
10.30. а) 1 − t g 2 x 1 + t g 2 x =sinx .
Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству М всех чисел x, удовлетворяющих условию x≠ π 2 +πn, n ∈ Z. Применяя формулу cos2x= 1−t g 2 x 1+t g 2 x , обе части которой определены на множестве М, получим, что исходное уравнение равносильно на множестве М уравнению
cos 2x = sin x. (10)
Применив формулу косинуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество, перепишем уравнение (10) в виде 1 − 2 sin2 x = sin x, которое имеет три серии решений: x k = π 6 +2πk, k ∈ Z; x m = 5π 6 +2πm, m ∈ Z; x p =− π 2 +2πp, p ∈ Z. Все числа xk и xm принадлежат множеству M, а все числа xp не принадлежат множеству M. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (10), имеет две серии решений: π 6 +2πk, k ∈ Z; 5π 6 +2πm, m ∈ Z.
Дополнение. В учебнике (п. 9.3) написано, что уравнение
f1 (x) · f2 (x) = 0 (11)
равносильно совокупности двух систем:
{ f 1 (x)=0 x∈D( f 2 ) и { f 2 (x)=0 x∈D( f 1 ),
где D (f1) — область существования функции f1 (x); D (f2) — область существования функции f2 (x).
Можно дать еще один способ решения уравнения (11).
Все корни уравнения (11) содержатся в множестве M = D (f1) ∩ D (f2). На множестве M уравнение (11) равносильно совокупности уравнений f1 (x) = 0 и f2 (x) = 0. Найдя корни этих уравнений, отберем из них те, которые принадлежат множеству М. Они дадут все корни уравнения (11). Конечно же, здесь использовано не определенное в учебнике, но интуитивно ясное понятие равносильности на множестве уравнения и совокупности двух уравнений, которое сформулировано выше, в дополнении к п. 10.1.
Пример 1. Решим уравнение
−x ⋅lgx=0. (12)
Решение. Рассмотрим функции f 1 (x)= −x и f2 (x) = lg x. Так как D( f 1 )=(−∞;0], D( f 2 )=(0;+∞) и D (f1) ∩ D (f2) = Ø, то уравнение (12) не имеет корней.
Пример 2. Решим уравнение
log 2 (3+2x− x 2 )⋅sin x =0. (13)
Решение. Рассмотрим функции f1 (x) = log2 (3 + 2x − x2) и f 2 (x)=sin x . Так как D (f1) = (−1; 3), D( f 2 )=[0;+∞) , M = D (f1) ∩ D (f2) = [0; 3), то уравнение (13) равносильно на множестве M совокупности уравнений
log 2 (3+2x− x 2 )=0 и sin x =0.
Первое уравнение совокупности имеет два решения: x 1 =1+ 3 и x 2 =1− 3 . Второе уравнение совокупности имеет серию решений xk = (πk)2, k = 0, 1, 2, ... . Из этих чисел в множество М входят лишь числа x 1 =1+ 3 и x0 = 0. Следовательно, уравнение (14) имеет два корня: 0 и 1+ 3 .
Промежуточный контроль. C—39.
10.5*. Применение нескольких преобразований
В этом пункте учебника приведены примеры уравнений, в процессе решения которых приходится выполнять несколько преобразований. Здесь важно обратить внимание учащихся на то, что если найдено множество M, на котором исходное уравнение равносильно новому уравнению, то перед применением нового преобразования необходимо учитывать ограничения, которые могут сузить множество M, и то, что новое преобразование дает уравнение, равносильное исходному уже на множестве M1 ⊂ M, а не на всем множестве М.
Так, в примере 2 этого пункта учебника решается уравнение 4 x =5+ 45−4x , равносильное на множестве M = [0; 11,25] уравнению
2x−7= 45−4x . (1)
Если теперь возвести в квадрат уравнение (1) без учета условия 2x − 7 ≥ 0, то получится уравнение
4x2 − 28x + 49 = 45 − x, (2)
имеющее два корня: x 1 =3+2 2 и x 2 =3−2 2 , принадлежащие множеству M, но число x1 является корнем уравнения (1), а число x2 нет. Чтобы избежать ошибки при включении числа x2 в ответ, перед вторым возведением уравнения в квадрат необходимо учесть ограничение 2x − 7 ≥ 0 и то, что уравнение (2) равносильно уравнению (1) лишь на множестве M1 = [3,5; 11,25], M1 ⊂ M.
Отметим, что в следующем примере попытки перейти к следствию после возведения в квадрат или к равносильной системе приводят к трудным вычислениям. Гораздо проще это уравнение решается с использованием равносильности на множестве.
Пример. Решим уравнение
1+x 1+(x+1) 1+(x+2)(x+4) = x+2 2 . (3)
Решение. Все корни уравнения (3) содержатся в множестве M, на котором правая часть уравнения неотрицательна, т. е. в множестве M = [−2; +∞). Используя формулу a 2 =| a |, определение модуля числа и учитывая, что x ∈ M, преобразуем левую часть уравнения (3):
1+x 1+(x+1) 1+(x+2)(x+4) = 1+x 1+(x+1) (x+3) 2 =
= 1+x 1+(x+1)| x+3 | = 1+x 1+(x+1)(x+3) =
= 1+x (x+2) 2 = 1+x| x+2 | = 1+x(x+2) =
= (x+1) 2 =| x+1 | .
Итак, на множестве М уравнение (3) равносильно уравнению
| x+1 |= x+2 2 . (4)
Обе части уравнения (4) на множестве М неотрицательны, поэтому уравнение (4) равносильно на множестве М уравнению
4 (x + 1)2 = (x + 2)2, (5)
имеющему два корня: x1 = 0 и x 2 =− 4 3 . Оба эти числа принадлежат множеству М. Поэтому и уравнение (3), равносильное на множестве М уравнению (5), имеет те же два корня: 0 и − 4 3 .
Решения и комментарии
Решите уравнение (10.43—10.46):
10.43. а) ( x 2 +1) 8x− x 2 −15 = (2x+9) 8x− x 2 −15 .
Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству М всех чисел, удовлетворяющих условию 8x − x2 − 15 ≥ 0, т. е. множеству М = [3; 5].
Для каждого x ∈ M обе части исходного уравнения положительны, поэтому, прологарифмировав его, получим, что на множестве М оно равносильно уравнению
lg ( x 2 +1) 8x− x 2 −15 = lg (2x+9) 8x− x 2 −15 ,
которое можно переписать в виде
8x− x 2 −15 (lg ( x 2 +1)−lg (2x+9))=0. (6)
Уравнение (6) равносильно на множестве М совокупности двух уравнений:
1) 8x− x 2 −15 =0 и 2) lg (x2 + 1) − lg (2x + 9) = 0.
Уравнение 1 имеет два корня: x1 = 3 и x2 = 5, принадлежащие множеству M. Уравнение 2 имеет два корня: x3 = 4 и x4 = −2, из которых множеству M принадлежит лишь число 4. Поэтому уравнение (6), равносильное на множестве М совокупности уравнений 1 и 2, имеет три корня: x1 = 3, x2 = 5 и x3 = 4. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (6), также имеет три корня: 3, 4 и 5.
10.44. а) 1 x−1 = (x−1) log 1 25 (8x+2x− x 2 ) .
Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству М всех чисел, удовлетворяющих условиям x − 1 > 0 и 8 + 2x − x2 > 0, т. е. множеству М = (1; 4).
Для каждого x ∈ M обе части исходного уравнения положительны, поэтому, прологарифмировав его, получим, что оно равносильно на множестве М уравнению
lg (x−1) − 1 2 =lg (x−1) log 1 25 (8+2x− x 2 ) ,
которое можно переписать в виде
lg(x−1)( log 1 25 (8+2x− x 2 )+ 1 2 )=0. (7)
Уравнение (7) равносильно на множестве М совокупности двух уравнений: 1) lg (x − 1) = 0 и 2) log 1 25 (8+2x− x 2 )+ 1 2 =0.
Уравнение 1 имеет единственный корень x1 = 2, принадлежащий множеству M. Уравнение 2 имеет два корня: x2 = 3 и x3 = −1, из которых множеству M принадлежит лишь число 3. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (7), имеет два корня: 2 и 3.
10.46. а) log| x | (1 + x) = log| x | (x2 − 5).
Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству М всех чисел, удовлетворяющих условиям 1 + x > 0, x2 − 5 > 0, x ≠ 0, x ≠ 1 и x ≠ −1, т. е. множеству M=( 5 ;+∞ ) . Применив формулу перехода к другому основанию, получим, что исходное уравнение равносильно на множестве М уравнению
lg(1+x) lg| x | = lg( x 2 −5) lg| x | . (8)
В каждой точке множества М функция φ (x) = lg | x | определена и отлична от нуля, поэтому уравнение (8) равносильно на множестве М уравнению
lg (1 + x) = lg (x2 − 5). (9)
В каждой точке множества М обе функции f (x) = 1 + x и g (x) = x2 − 5 положительны, поэтому уравнение (9) равносильно на множестве М уравнению
1 + x = x2 −5, (10)
имеющему два корня: x1 = 3 и x2 = −2, из которых лишь число 3 принадлежит множеству M. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (10), имеет единственный корень 3.
10.47. При каких значениях параметра а уравнение x 2 − a 2 x−4 =0 имеет единственный корень?
Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству М всех чисел x, удовлетворяющих условию x ≠ 4, т. е. множеству М = (−∞; 4) ∪ (4; +∞). Для каждого значения параметра a исходное уравнение равносильно на множестве М уравнению
(x − a) (x − ( −a)) = 0. (11)
Если a = 0, то уравнение (11) имеет единственный корень x1 = 0, принадлежащий множеству M.
Если a ≠ 0, то уравнение (11) имеет два корня: x1 = a и x2 = −a, поэтому уравнение (11) имеет единственный корень на множестве М, если один из этих корней есть число 4. Это будет выполняться в двух случаях: при a = 4 или при −a = 4. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (11), имеет единственный корень при a = 0, a = −4, a = 4.
Промежуточный контроль. C—40.
10.6*. Уравнения с дополнительными условиями
В данном пункте учебника приведены примеры решения уравнений при дополнительных условиях, означающих, что уравнение требуется решить на данном множестве. Важно отметить, что эти условия иногда облегчают решение уравнения. Приведем такой пример.
Пример 1. Найдем все корни уравнения
sin2x+sinx+cosx=− 1 2 , (1)
принадлежащие интервалу ( − π 2 ; π 2 ) .
Решение. Перенося все члены уравнения (1) в левую часть, применяя формулу синуса двойного угла и умножая обе части уравнения на 2, перепишем уравнение (1) в виде
4 sin x cos x + 2 sin x + 2 cos x + 1 = 0
или в виде
4( sinx+ 1 2 )( cosx+ 1 2 )=0. (2)
Так как cosx+ 1 2 ≠0 для каждого x, принадлежащего множеству M=( − π 2 ; π 2 ), то на этом множестве уравнение (2) равносильно уравнению
sinx+ 1 2 =0, (3)
имеющему на множестве М единственный корень − π 6 . Следовательно, и уравнение (1), равносильное уравнению (3) на множестве М, имеет единственный корень − π 6 .
Часто дополнительное условие не облегчает решение уравнения. В таких случаях обычно сначала решают уравнение, а потом решают дополнительную задачу — отбирают из найденных корней те, которые удовлетворяют условию.
Решения и комментарии
Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку (10.50—10.53):
10.50. а) | x2 − 3x + 2 | = 2x − 2, [3; 5].
Решение. Для каждого x ∈ [3; 5] справедливо неравенство x2 − 3x + 2 > 0, поэтому на множестве М = [3; 5] исходное уравнение равносильно уравнению
x2 − 3x + 2 = 2x − 2. (4)
Уравнение (4) имеет два корня: x1 = 1 и x2 = 4, из которых лишь число 4 принадлежит множеству M. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (4), имеет единственный корень 3, принадлежащий отрезку [3; 5].
10.51. а) x4 + x3 + x2 − 3x = 0, [−2; 0].
Решение. Исходное уравнение имеет очевидные корни x1 = 0 и x2 = 1, поэтому его можно переписать в виде
x (x − 1) (x2 + 2x + 3) = 0. (5)
Так как для каждого x ∈ [−2; 0] справедливы неравенства x2 + 2x + 3 > 0 и x − 1 < 0, то уравнение (5) равносильно на множестве [−2; 0] уравнению
x = 0, (6)
имеющему единственный корень x1 = 0, принадлежащий множеству М = [−2; 0]. Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М уравнению (5), имеет единственный корень 0, принадлежащий отрезку [−2; 0].
10.53. а) 3 tg 2 ( πx− π 8 )=1, ( 3 2 ;3 ) .
Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:
{ tg( πx− π 8 )= 3 3 3 2 <x<3 и { tg( πx− π 8 )=− 3 3 3 2 <x<3. (7)
Уравнение первой системы имеет единственную серию решений x k = 7 24 +k, k ∈ Z. Из этих чисел двойному неравенству этой системы удовлетворяет лишь число x 1 =2 7 24 , т. е. первая система имеет лишь одно решение, принадлежащее множеству M=( 3 2 ;3 ): число x 1 =2 7 24 .
Уравнение второй системы имеет единственную серию решений x n =− 1 24 +n, n ∈ Z. Из этих чисел двойному неравенству этой системы удовлетворяют лишь числа x 2 =1 23 24 и x 3 =2 23 24 , т. е. вторая система имеет лишь два решения, принадлежащие множеству M=( 3 2 ;3 ): числа x 2 =1 23 24 и x 3 =2 23 24 .
Следовательно, исходное уравнение, равносильное на множестве М совокупности (7), имеет на этом множестве лишь три корня: 1 23 24 , 2 7 24 , 2 23 24 .
Дополнение. В этом параграфе рассматривался метод решения уравнений — замена уравнения на преобразованное уравнение, равносильное исходному на некотором множестве М. При этом множество М каждый раз выписывалось в явном виде.
Однако иногда удобно не выписывать это множество в явном виде, а лишь записывать это множество М в виде условий (обычно задающихся неравенствами) и рассматривать преобразованное уравнение вместе с этими условиями в виде системы, равносильной исходному уравнению. Приведем пример.
Пример 2. Решим уравнение
sinx = cosx+ 1 4 4 . (8)
Решение. Все корни уравнения (8) содержатся в множестве М всех тех x, для каждого из которых
sin x ≥ 0 (9)
и
cosx+ 1 4 ≥0. (10)
Можно решить неравенства (9) и (10), выписать в явном виде множество М, а затем решить на нем уравнение (8).
Но можно рассуждать иначе. На множестве М при выполнении условий (9) и (10) уравнение (8) равносильно уравнению
sin 2 x=cosx+ 1 4 . (11)
Итак, множество корней уравнения (8) совпадает с множеством тех корней уравнения (11), которые удовлетворяют условиям (9) и (10), т. е. уравнение (8) равносильно системе
{ sin 2 x=cosx+ 1 4 sinx≥0 cosx+ 1 4 ≥0. (12)
Таким образом, рассуждая о равносильности на множестве уравнений (8) и (11), мы пришли к выводу: уравнение (8) равносильно системе (12).
Итак,
(8)⇔(12)⇔{ sin 2 x=cosx+ 1 4 sinx≥0 ⇔
⇔{ ( cosx− 1 2 ) ( cosx+ 3 2 )=0 sinx≥0 ⇔{ cosx= 1 2 sinx≥0.
Решив последнюю систему, получим, что множество ее решений, а значит, и решений уравнения (8) есть серия x k = π 3 +2πk, k ∈ Z.
Отметим, что в данном примере нахождение множества М в явном виде довольно трудоемкая работа, содержащая, в частности, ненужные вычисления, связанные с решением неравенства (10). Поэтому рассмотренный пример лучше решать переходом к системе, равносильной исходному уравнению.
Во многих примерах, рассмотренных в § 10, также можно не выписывать в явном виде множество М, а, рассуждая, как в приведенном выше примере, показать, что исходное уравнение равносильно некоторой системе, и затем решить эту систему.
Таким образом, метод решения уравнений, рассмотренный в § 10, позволяет заменить исходное уравнение равносильной ему системой не только в случаях, отмеченных в § 9, но и во многих других. При этом такие преобразования, как в § 9, можно просто запомнить, а преобразования, рассмотренные в § 10, приводят исходное уравнение к равносильной ему системе лишь после некоторых рассуждений.
Конечно, при оформлении учащимися перехода от уравнения (8) к системе (12) обычно не пишут длинные рассуждения, а просто пишут, что уравнение (8) равносильно системе (12). Однако если от учащегося потребуется обоснование этого факта, то ему придется повторить все эти рассуждения. |
