В этом параграфе рассматриваются системы уравнений с несколькими неизвестными. Отличие от ранее изученного материала заключается в том, что к системам рациональных уравнений добавляются системы, содержащие корни, степени, логарифмы, тригонометрические функции.
14.1. Равносильность систем
В этом пункте напоминаются основные понятия, связанные с системами уравнений с несколькими неизвестными, сформулированы 6 утверждений о равносильности систем. Подробно разобраны метод подстановки и метод линейного преобразования систем уравнений. Решения и комментарии Решите систему уравнений (14.9—14.17): 14.9. а) { x 2 −4x−2y−1=0 y 2 −2x+6y+14=0. Решение. Заменив второе уравнение системы суммой двух ее уравнений, получим систему уравнений { x 2 −4x−2y−1=0 x 2 −6x+ y 2 +4y+13=0, (1)
(2)
равносильную исходной системе. Уравнение (2) можно переписать в виде (x − 3)2 + (y + 2)2 = 0, оно имеет единственное решение: x1 = 3, y1 = −2. Проверка показывает, что эта пара чисел является также решением уравнения (1). Следовательно, система уравнений (1) и (2), а значит, и исходная система имеют единственное решение (3; −2). 14.10. а) { 3 y +x=10 y− log 3 x=2. Решение. Выразив y из второго уравнения системы через х и подставив 2 + log3 х вместо y в первое уравнение, получим систему уравнений { 3 log 3 x+2 +x=10 y= log 3 x+2, (3) (4)
равносильную исходной системе. Уравнение (3) имеет единственный корень x1 = 1. Подставляя число 1 вместо x в уравнение (4), находим соответствующее ему значение y1 = 2. Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1; 2). 14.15. а) { 3 x 2 +2xy−9x−4y=−6 5 x 2 +2xy−12x−4y=−4. Решение. Заменив второе уравнение системы разностью ее второго и первого уравнений, получим систему уравнений { 3 x 2 + 2 x y − 9 x − 4 y = − 6 2 x 2 − 3 x = 2, (5) (6)
равносильную исходной системе. Уравнение (6) имеет два корня: x 1 =− 1 2 и x2 = 2. Подставив число − 1 2 вместо х в уравнение (5), найдем соответствующее ему значение y 1 = 9 4 . Пара чисел ( 1 2 ; 9 4 ) является решением исходной системы. Подставив число 2 вместо х в уравнение (5), получим уравнение
12 + 4y − 18 − 4y = −6,
имеющее бесконечное множество корней, — любое число t ∈ R является его корнем. Следовательно, любая пара чисел (2; t), t ∈ R, также является решением исходной системы. Итак, исходная система имеет решения: ( 1 2 ; 9 4 ); (2; t), t ∈ R. 14.16. а) { x−y= 5π 3 sinx=2siny. Решение. Исходная система равносильна системе уравнений { x=y+ 5π 3 sin( y+ 5π 3 )=2siny. (7)
(8)
Применив формулу синуса суммы двух углов, перенеся все слагаемые в левую часть уравнения (8) и разделив обе части полученного уравнения на − 3 , получим, что уравнение (8) равносильно уравнению 3 2 siny+ 1 2 cosy=0, которое перепишем в виде sin( y+ π 6 )=0. (9)
Уравнение (9) имеет единственную серию решений y k =− π 6 +πk, k ∈ Z. Каждому числу yk найдем соответствующее число хk из уравнения (7): x k = 3π 2 +πk, k ∈ Z. Следовательно, исходная система имеет решения: ( 3π 2 +πk;− π 6 +πk ), k ∈ Z. 14.17. { x+ log 2 y=y log 2 3+ log 2 x x log 2 72+ log 2 x=2y+ log 2 y. Решение. Заменив второе уравнение системы суммой двух ее уравнений, получим систему, равносильную исходной системе: { x+ log 2 y=y log 2 3+ log 2 x x+x log 2 72=2y+y log 2 3. (10)
Так как второе уравнение системы (10) можно переписать в виде
(2 + log2 3) (2x − y) = 0
и так как 2 + log2 3 ≠ 0, то система (10) равносильна системе { x+ log 2 y=y log 2 3+ log 2 x y=2x. (11)
Подставив 2х вместо y в первое уравнение системы (11), получим систему уравнений { x+ log 2 2x=2x log 2 3+ log 2 x y=2x, (12)
равносильную системе (11). Первое уравнение системы (12) имеет единственный корень x1 = log4,5 2. Соответствующее ему значение y1 найдем из второго уравнения системы (12): y1 = log4,5 4. Следовательно, исходная система имеет единственное решение (log4,5 2; log4,5 4). Дополнения 1. Решите систему { x 2 + y 2 =2yz y 2 + z 2 =2zx z 2 + x 2 =2xy. (13)
Решение. Заменив третье уравнение системы (13) суммой трех уравнений этой системы, получим равносильную ей систему { x 2 + y 2 =2yz y 2 + z 2 =2zx x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 =2xy+2yz+2zx. (14)
Перенеся все члены третьего уравнения системы (14) в левую часть и применив формулу квадрата разности, получим систему, равносильную системе (13) { x 2 + y 2 =2yz y 2 + z 2 =2zx (x−y) 2 + (y−z) 2 + (z−x) 2 =0. (15)
Третье уравнение системы (15) означает, что x = y = z, поэтому его решениями являются лишь тройки чисел (t, t, t), где t — любое число. Так как каждая такая тройка чисел является и решением других уравнений системы (15), то все такие тройки являются решениями системы (15), а значит, и равносильной ей системы (13). Итак, исходная система имеет решения: (t, t, t), t ∈ R. 2. В4 (ЕГЭ, 2007). Найдите значение выражения 2x − y, если (x; y) является решением системы уравнений { 7⋅ 2 x +6y=2 2 x+1 −3y=43. (16)
Решение. Заменив второе уравнение системы (16) суммой первого уравнения и второго уравнения, умноженного на 2, получим систему { 7⋅ 2 x +6y=2 2⋅ 2 x+1 +7⋅ 2 x =88, (17)
равносильную системе (16). Второе уравнение системы (17) можно переписать в виде 2x = 8, откуда x = 3. Подставляя вместо 2x число 8 в первое уравнение системы (17), получаем, что y = − 9. Следовательно, система (17), а значит, и равносильная ей система (16) имеют единственное решение (x; y), где x = 3, y = −9. Теперь находим, что значение выражения 2x − y равно 23 − (−9) = 17. Ответ. 17. 3. С5 (ЕГЭ, 2007). Найдите количество всех решений системы уравнений { y (1−x) 2 + x 3 =0 2x− 10 x log y 2 =5 log 32 (0,125 y 2 )−7. (18)
Решение. Так как ни при каком y0 ∈ R пара чисел (1; y0) не удовлетворяет первому уравнению системы (18), то из первого уравнения системы (18) выражаем y через x: y= − x 3 (1−x) 2 . Подставляя − x 3 (1−x) 2 вместо y во второе уравнение системы (18), получаем, что система (18) равносильна системе { y= − x 3 (1−x) 2 2x− 10 x log − x 3 (1−x) 2 2 =5 log 32 ( 0,125⋅ ( − x 3 (1−x) 2 ) 2 )−7. (19)
Второе уравнение системы (19) есть уравнение с одним неизвестным x. Количество решений этого уравнения и будет количеством решений системы (19), так как для каждого решения x второго уравнения системы (19) соответствующее число y однозначно определяется из первого уравнения системы (19). Все решения второго уравнения системы (19) принадлежат множеству M всех x, одновременно удовлетворяющих условиям x ≠ 0, − x 3 (1−x) 2 >0, − x 3 (1−x) 2 ≠1. На множестве M второе уравнение системы (19) равносильно уравнениям 2x− 10 x ⋅log 2 − x 3 (1−x) 2 =2log 2 − x 3 (1−x) 2 −10, 2(x+5)−2log 2 − x 3 (1−x) 2 ⋅ x+5 x =0, 2(x+5) x ( x−log 2 − x 3 (1−x) 2 )=0. (20)
Уравнение (20) на множестве М равносильно совокупности уравнений x+5=0 и x− log 2 − x 3 (1−x) 2 =0. (21)
Итак, второе уравнение системы (19) равносильно на множестве M совокупности двух уравнений (21). Первое из уравнений совокупности (21) имеет решение x0 = −5, принадлежащее множеству M, а второе равносильно на множестве M уравнению 2 x = − x 3 (1−x) 2 . (22)
Выясним количество решений уравнения (22). При каждом x ≥ 0 левая часть уравнения (22) положительна, а правая неположительна, следовательно, на множестве x ≥ 0 уравнение (22) не имеет корней. На множестве x < 0 функция f (x) = 2x возрастает, а функция g(x)= − x 3 (1−x) 2 убывает, так как она имеет производную g ′ (x)=− x 2 (3−x) (1−x) 3 , отрицательную на этом множестве. Следовательно, на множестве x < 0 уравнение (22) имеет не более одного решения. Так как f(−1)= 1 2 > 1 4 =g(−1) и f(−3)= 1 8 < 27 16 =g(−3) и обе функции непрерывны на промежутке (−3; − 1), то на этом промежутке есть единственная точка x1, такая, что f (x1) = g (x1) (рис. 92).
Рис. 92
Следовательно, уравнение (22) имеет единственное решение — число x1 ∈ (−3; −1), причем число x1 не совпадает с числом x0 = −5. Проверим, принадлежит ли число x1 множеству M. Очевидно, что x1 ≠ 0 и − x 1 3 (1− x 1 ) 2 >0. Так как − x 1 3 (1− x 1 ) 2 = 2 x 1 < 2 −1 <1, то − x 1 3 (1− x 1 ) 2 ≠1. Поэтому x1 ∈ M. Итак, второе уравнение совокупности (21) имеет единственное решение, принадлежащее множеству M. Следовательно, совокупность (21) имеет два различных решения, принадлежащих множеству M. Поэтому и система (18) имеет два различных решения. Ответ. 2 решения.
14.2. Система-следствие
В этом пункте вводится новое понятие «система-следствие» и перечисляются основные способы получения систем-следствий. Для каждого из них разобраны примеры решения систем с использованием этого способа. Решения и комментарии Решите систему уравнений (14.22—14.24): 14.22. а) { y+7x + y+2x =5 y+2x −y+x=1. Решение. Заменив первое уравнение исходной системы разностью первого и второго ее уравнений, получим систему { y+7x +y−x=4 y+2x −y+x=1, равносильную исходной системе. Перенеся слагаемые, не содержащие корней, в правые части уравнений и возведя каждое уравнение в квадрат, получим систему { y+7x= x 2 + y 2 +16−2xy−8y+8x y+2x= x 2 + y 2 +1−2xy+2y−2x, (1)
являющуюся следствием исходной системы. Заменив первое уравнение системы (1) разностью первого и второго ее уравнений, получим систему { 5x=15−10y+10x y+2x= x 2 + y 2 +1−2xy+2y−2x, (2)
равносильную системе (1). Выразив из первого уравнения системы (2) x через y и подставив во второе уравнение 2y − 3 вместо x, получим систему { x=2y−3 y 2 −13y+22=0, (3)
равносильную системе (2) и являющуюся следствием исходной системы. Второе уравнение системы (3) имеет два корня: y1 = 2 и y2 = 11. Соответствующие им значения x найдем из первого уравнения системы (3): x1 = 1 и x2 = 19. Таким образом, система (3) имеет два решения: (1; 2) и (19; 11). Проверка показывает, что лишь пара чисел (1; 2) является решением исходной системы. Следовательно, она имеет единственное решение (1; 2). 14.24. а) { 3 log 3 (x−y) =1 log 3 (2x−y)+ log 3 y=1. Решение. Применив формулу 3 log 3 (x−y) =x−y в первом уравнении исходной системы и формулу log3 (2x − y) + log3 y = log3 (2xy − y2) во втором уравнении, получим систему { x−y=1 log 3 (2xy− y 2 )=1, (4)
являющуюся следствием исходной системы. Потенцируя второе уравнение системы, получаем систему { x−y=1 2xy− y 2 =3, (5)
являющуюся следствием системы (4), а значит, и исходной системы. Выразив из первого уравнения системы (5) x через y и подставив во второе уравнение y + 1 вместо x, получим систему { x=y+1 2y(y+1)− y 2 =3, (6)
равносильную системе (5) и являющуюся следствием исходной системы. Второе уравнение системы (6) имеет два корня: y1 = 1 и y2 = −3. Соответствующие им значения x найдем из первого уравнения системы (6): x1 = 2 и x2 = −2. Таким образом, система (6) имеет два решения: (2; 1) и (−2; −3). Проверка показывает, что лишь пара чисел (2; 1) является решением исходной системы. Следовательно, она имеет единственное решение (2; 1).
14.3. Метод замены неизвестных
В этом пункте сформулировано утверждение о способе решения систем при помощи замены неизвестных. Отметим, что этот прием решения систем использовался ранее при решении систем, составленных из рациональных уравнений. Теперь этот прием применяется для более широкого класса уравнений. Решения и комментарии Решите систему уравнений (14.30—14.37): 14.30. а) { 2x−1 + y+3 =3 2xy−y+6x−3=4. Решение. Разложив на множители левую часть второго уравнения исходной системы, получим систему { 2x−1 + y+3 +3 (2x−1)(y+3)=4, равносильную исходной системе. Сделав замену неизвестных u= 2x−1 и υ= y+3 , перепишем систему в виде { u+υ=3 u 2 υ 2 =4. (1)
Решив систему (1) методом подстановки, получим, что она имеет четыре решения: u1 = 2, υ 1 = 1; u2 = 1, υ 2 = 2; u 3 = 3− 17 2 , υ 3 = 3+ 17 2 ; u 4 = 3+ 17 2 , υ 4 = 3− 17 2 . Поэтому исходная система равносильна совокупности четырех систем: { 2x−1 =2 y+3 =1, { 2x−1 =1 y+3 =2, { 2x−1 = 3− 17 2 y+3 = 3+ 17 2 , { 2x−1 = 3+ 17 2 y+3 = 3− 17 2 . Первая система совокупности имеет единственное решение (2,5; −2), вторая — единственное решение (1; 1), а третья и четвертая системы не имеют решений. Следовательно, исходная система, равносильная совокупности четырех систем, имеет два решения: (2,5; −2) и (1; 1). 14.34. а) { xy x+2y + x−2y xy = 14 15 xy x−2y + x+2y xy = 14 3 . Решение. Сделав замену неизвестных u= xy x+2y и υ= x−2y xy , перепишем исходную систему в виде { u + υ = 14 15 1 u + 1 υ = 14 3 . (2)
Выразив из первого уравнения системы (2) u через υ и подставив во второе уравнение этой системы 14 15 −υ вместо u, получим систему { u= 14 15 −υ 1 14 15 −υ + 1 υ = 14 3 , (3)
равносильную системе (2). Так как система (3) имеет два решения: u 1 = 1 3 , υ 1 = 3 5 ; u 2 = 3 5 , υ 2 = 1 3 — и она равносильна системе (2), то исходная система равносильна совокупности двух систем: { xy x+2y = 1 3 xy x−2y = 5 3 и { xy x+2y = 3 5 xy x−2y =3. (4)
Первая из систем (4) имеет единственное решение x 1 = 5 3 , y 1 = 5 9 , а вторая из систем (4) имеет единственное решение x2 = 3, y2 = 1. Поэтому исходная система, равносильная совокупности двух систем (4), имеет два решения: ( 5 3 ; 5 9 ) и (3; 1). 14.35. а) { x+y 4 − x−y 4 =2 x+y − x−y =8. Решение. Сделав замену неизвестных u= x+y 4 и υ= x−y 4 , перепишем исходную систему в виде { u−υ=2 u 2 − υ 2 =8. (5)
Так как система (5) имеет единственное решение u1 = 3, υ 1 = 1, то исходная система равносильна системе { x+y 4 =3 x−y 4 =1. (6)
Система (6) имеет единственное решение x1 = 41, y1 = 40. Следовательно, равносильная ей исходная система имеет единственное решение (41; 40). 14.37. { x+y + x−y 4 =8 x 3 + x 2 y−x y 2 − y 3 4 =12. Решение. Так как x3 + x2y − xy2 − y3 = (x − y) (x + y)2, то, сделав замену неизвестных u= x+y и υ= x−y 4 , перепишем исходную систему в виде { u+υ=8 u 4 υ 4 4 =12. (7)
Так как система (7) имеет два решения: u1 = 6, υ 1 = 2; u2 = 2, υ 2 = 6, то исходная система равносильна совокупности двух систем: { x+y =6 x−y 4 =2 и { x+y =2 x−y 4 =6. (8)
Первая из систем (8) имеет единственное решение x1 = 26, y1 = 10, а вторая из систем (8) имеет единственное решение x2 = 650, y2 = −646. Так как исходная система равносильна совокупности двух систем (8), то она имеет только эти два решения: (26; 10) и (650; −646). Дополнение С3 (ЕГЭ, 2005). Решите систему уравнений { −y+10x+11 −2y−5x =−5y−15x+22 25 −2y−5x +25=26⋅ 5 −2y ⋅ 5 −5x . (9)
Решение. Сделав замену неизвестных t = 5− 2y − 5x, перепишем второе уравнение системы (9) в виде t2 − 26t + 25 = 0. (10)
Уравнение (10) имеет два корня: t1 = 25, t2 = 1. Поэтому система (9) равносильна совокупности двух систем { −y+10x+11 −2y−5x =−5y−15x+22 5 −2y−5x =25 (11)
и { −y+10x+11 −2y−5x =−5y−15x+22 5 −2y−5x =1. (12)
Решим каждую из этих систем. Второе уравнение системы (11) равносильно уравнению x=− 2 5 (1+y) . Подставляя − 2 5 (1+y) вместо x в первое уравнение системы (11), получаем систему { −y+10x+11 −2y−5x =−5y−15x+22 x=− 2 5 (1+y), (13)
равносильную системе (11). Система (13) имеет единственное решение (2,4; −7). Следовательно, и равносильная ей система (11) имеет то же единственное решение. Второе уравнение системы (12) равносильно уравнению −2y − 5x = 0. Поэтому система (12) равносильна системе { −y+10x+11 −2y−5x =−5y−15x+22 2y−5x=0, которая не имеет решений. Следовательно, система (9) имеет единственное решение (2,4; − 7). Ответ. (2,4; − 7). Промежуточный контроль. С—48.
14.4*. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений
В этом пункте приведены примеры решения систем уравнений при помощи метода, называемого «рассуждения с числовыми значениями». Используется этот метод тогда, когда перечисленные в пп. 14.1—14.3 методы решения оказываются неприменимыми. Суть его заключается в том, что сначала предполагается, что система, например, с двумя неизвестными x и y имеет решение (x0; y0), затем, подставляя x0 и y0 вместо x и y в уравнения системы, получают верные числовые равенства, из которых находят ограничения на x0 и y0 или выражают одно из этих чисел через другое. Тем самым получают более простую систему, решением которой является эта пара. Таким образом, если пара чисел (x0; y0) — решение исходной системы, то эта пара является решением новой, более простой системы. Обратим внимание на важный шаг: такое рассуждение должно заканчиваться проверкой всех найденных решений подстановкой в исходную систему, так как исходной системе могут удовлетворять не все найденные пары. Пары, удовлетворяющие исходной системе, дают все ее решения. Решения и комментарии Решите систему уравнений (14.38—14.45): 14.38. а) { 2 x 2 +1=y−| sinx | tg 2 x+ y 2 =1. Решение. Пусть пара чисел (x0; y0) является решением исходной системы, тогда справедливы числовые равенства
2 x 0 2 +1= y 0 −| sin x 0 |, tg 2 x 0 + y 0 2 =1. Из первого равенства следует, что y0 = | sin x0 | + 2 x 0 2 +1, т. е. y0 ≥ 1. Из второго равенства следует, что y 0 2 =1− tg 2 x 0 , т. е. y 0 2 ≤1 . Это означает, что y0 = 1. Подставив в оба равенства вместо y0 число 1, получим, что справедливы числовые равенства
2 x 0 2 = − | sin x0| и tg2 x0 = 0,
откуда следует, что x0 = 0. Итак, если исходная система имеет решение (x0; y0), то это может быть только пара (0; 1). Проверка показывает, что пара (0; 1) действительно является решением исходной системы. Следовательно, исходная система имеет единственное решение (0; 1). 14.40. а) { ( x 2 +xy+ y 2 ) x 2 + y 2 =185 ( x 2 −xy+ y 2 ) x 2 + y 2 =65. Решение. Пусть пара чисел (x0; y0) является решением исходной системы, тогда справедливы числовые равенства ( x 0 2 + x 0 y 0 + y 0 2 ) x 0 2 + y 0 2 =185, (1)
( x 0 2 + x 0 y 0 + y 0 2 ) x 0 2 + y 0 2 =65. (2)
Обе части каждого из равенств (1) и (2) имеют смысл и положительны, поэтому справедливо числовое равенство ( x 0 2 + x 0 y 0 + y 0 2 ) x 0 2 + y 0 2 ( x 0 2 − x 0 y 0 + y 0 2 ) x 0 2 + y 0 2 = 185 65 , которое перепишем в виде 12 x 0 2 −25 x 0 y 0 +12 y 0 2 =0. (3)
Так как x0 ≠ 0 (в противном случае из равенства (3) следует, что и y0 = 0, но тогда оба равенства (1) и (2) неверны), то равенство (3) можно переписать в виде 12 x 0 2 y 0 2 −25 x 0 y 0 +12=0, откуда следует, что или x 0 = 3 4 y 0 или x 0 = 4 3 y 0 . Это означает, что пара чисел (x0; y0) является решением совокупности двух систем: { ( x 2 −xy+ y 2 ) x 2 + y 2 =65 x= 3 4 y и { ( x 2 −xy+ y 2 ) x 2 + y 2 =65 x= 4 3 y . (4)
Первая система совокупности (4) имеет два решения: (3; 4) и (−3; −4). Вторая система совокупности (4) имеет два решения: (4; 3) и (−4; −3). Итак, показано, что если исходная система имеет решения, то они содержатся среди четырех пар чисел: (3; 4), (−3; −4), (4; 3) и (−4; −3). Проверка показывает, что все эти пары действительно являются решениями исходной системы. Следовательно, исходная система имеет четыре решения: (3; 4), (−3; −4), (4; 3) и (−4; −3). 14.41. { x−y+ x 2 −4 y 2 =2 x 5 x 2 −4 y 2 =0. Решение. Пусть пара чисел (x0; y0) является решением исходной системы, тогда справедливы числовые равенства x 0 − y 0 + x 0 2 −4 y 0 2 =2, (5)
x 0 5 x 0 2 −4 y 0 2 =0. (6)
Обе части каждого из равенств имеют смысл, поэтому справедливо числовое неравенство x 0 2 −4 y 0 2 ≥0. Заметим, что если x0 = 0, то и y0 = 0, но тогда равенство (5) неверно, следовательно, x0 ≠ 0. Тогда из равенства (6) следует, что x 0 2 −4 y 0 2 =0, т. е. или x0 = 2y0, или x0 = − 2y0. А это означает, что пара чисел (x0; y0) является решением совокупности двух систем: { x−y+ x 2 −4 y 2 =2 x=2y и { x−y+ x 2 −4 y 2 =2 x=−2y . (7)
Первая система совокупности (7) имеет единственное решение (4; 2). Вторая система совокупности (7) имеет единственное решение ( 4 3 ;− 2 3 ). Итак, показано, что если исходная система имеет решения, то они содержатся среди двух пар чисел: (4; 2) и ( 4 3 ;− 2 3 ) . Проверка показывает, что обе эти пары являются решениями исходной системы. Следовательно, исходная система имеет два решения: (4; 2) и ( 4 3 ;− 2 3 ) . 14.42. а) { 2 log 1−x (−xy−2x+y+2)+ log 2+y ( x 2 −2x+1)=6 log 1−x (y+5)− log 2+y (x+4)=1. Решение. Пусть пара чисел (x0; y0) является решением исходной системы, тогда справедливы числовые равенства 2 log 1− x 0 (− x 0 y 0 −2 x 0 + y 0 +2)+ log 2+ y 0 ( x 0 2 −2 x 0 +1)=6, (8)
log 1− x 0 ( y 0 +5)− log 2+ y 0 ( x 0 +4)=1. (9)
Обе части каждого из равенств имеют смысл, поэтому справедливы числовые неравенства 1 − x0 > 0, 1 − x0 ≠ 0, 2 + y0 > 0, 2 + y0 ≠ 1, y0 + 5 > 0, y0 + 4 > 0. (10)
Учитывая эти неравенства, левую часть равенства (8) можно переписать так:
2 log 1− x 0 (1− x 0 )(2+ y 0 )+ log 2+ y 0 (1− x 0 ) 2 = =2 log 1− x 0 (1− x 0 )(2+ y 0 )+2 log 2+ y 0 (1− x 0 ) = =2( log 1− x 0 (1− x 0 )+ log 1− x 0 (2+ y 0 )+ log 2+ y 0 (1− x 0 ) )= =2( 1+ log 1− x 0 (2+ y 0 )+ 1 log 1− x 0 (2+ y 0 ) ).
Тогда равенство (8) перепишется в виде
log 1− x 0 (2+ y 0 )+ 1 log 1− x 0 (2+ y 0 ) =2. (11)
Из справедливости равенства (11) следует, что число log 1− x 0 (2+ y 0 ) положительное (в противном случае равенство (11) или не имеет смысла, или неверно). Так как для каждого числа a > 0 справедливо неравенство a+ 1 a ≥2, причем a+ 1 a =2 лишь при a = 1, то равенство (11) справедливо лишь при условии log 1− x 0 (2+ y 0 )=1, т. е. если y0 = −x0 − 1. Подставив в равенство (9) −x0 − 1 вместо y0, получим, что справедливо равенство
Теперь очевидно, что число x0 является корнем уравнения
log1 − x (4 − x) − log1 − x (x + 4) = log1 − x (1 − x).
Так как это уравнение имеет единственный корень x0 = −2, то решением исходной системы может быть лишь пара чисел x0 = −2, y0 = 2 − 1 = 1. Проверка показывает, что пара (−2; 1) действительно является решением исходной системы. Следовательно, исходная система имеет единственное решение (−2; 1). 14.43. а) { y 1− 2 5 log x y = x 2 5 1+ log x ( 1− 3y x )= log x 4. Решение. Пусть пара чисел (x0; y0) является решением исходной системы, тогда справедливы числовые равенства y 0 1− 2 5 log x 0 y 0 = x 0 2 5 , (12)
1+ log x 0 ( 1− 3 y 0 x 0 )= log x 0 4. (13)
Обе части каждого из равенств имеют смысл, поэтому справедливы числовые неравенства x0 > 0, x0 ≠ 1, y0 > 0, 1− 3 y 0 x 0 >0. (14)
Учитывая эти неравенства, преобразуем левую часть равенства (13):
1+ log x 0 ( 1− 3 y 0 x 0 )= log x 0 x 0 + log x 0 ( 1− 3 y 0 x 0 )= log x 0 ( x 0 −3 y 0 ) . Поэтому равенство (13) можно записать в виде log x 0 ( x 0 −3 y 0 )= log x 0 4, откуда, учитывая неравенства (14), получаем, что x0 − 3y0 = 4 и обе части равенства (12) положительны. Поэтому, прологарифмировав равенство (12) по основанию x0 (x0 > 0 и x0 ≠ 1) и умножив обе части полученного равенства на 5, получим, что справедливо числовое равенство (5−2 log x 0 y 0 ) log x 0 y 0 =2. Так как уравнение (5 − 2t) t = 2 имеет два корня: t1 = 2, t 2 = 1 2 , то получим, что справедливо или равенство log x 0 y 0 =2, или равенство log x 0 y 0 = 1 2 , т. е. получим, что или y 0 = x 0 2 , или y 0 = x 0 . Это означает, что пара чисел (x0; y0) является решением совокупности двух систем: { y= x 2 x−3y=4 и { y= x x−3y=4. (15)
Первая система совокупности (15) не имеет решений. Вторая система совокупности (15) имеет единственное решение (16; 4). Итак, показано, что решением исходной системы может быть лишь пара чисел (16; 4). Проверка показывает, что пара чисел (16; 4) является решением исходной системы. Следовательно, исходная система имеет единственное решение (16; 4). 14.44. а) { tg 2 x + ctg 2 x=2 sin 2 y sin 2 y + cos 2 z =1. Решение. Пусть тройка чисел (x0; y0; z0) является решением исходной системы, тогда справедливы числовые равенства: tg2 x0 + ctg2 x0 = 2 sin2 y0, (16)
sin2 y0 + cos2 z0 = 1. (17)
Числа x0, y0и z0 таковы, что обе части равенств (16) и (17) определены, но тогда tg2 x0 > 0. Так как для каждого числа a > 0 справедливо неравенство a+ 1 a ≥2, то tg2 x0 + ctg2 x0 ≥ 2. Для любого числа y0 имеем 2 sin2 y0 ≤ 2, следовательно, из справедливости равенства (16) следует, что справедливы равенства tg2 x0 + ctg2 x0 = 2 (18)
и
sin2 y0 = 1. (19)
Из равенства (18) получим, что tg2 x0 = 1, т. е. x 0 = π 4 + πk 2 , k ∈ Z, из равенства (19) получим, что y 0 = π 2 +πl, l ∈ Z. Но тогда из равенства (17) получим, что cos2 z0 = 0, т. е. z 0 = π 2 +πm, m ∈ Z. Итак, показано, что если исходная система имеет решение, то оно содержится среди троек чисел ( π 4 + πk 2 ; π 2 +πl; π 2 +πm ), k ∈ Z, l ∈ Z, m ∈ Z. Проверка показывает, что все эти тройки чисел являются решениями исходной системы. Следовательно, исходная система имеет решения ( π 4 + πk 2 ; π 2 +πl; π 2 +πm ), k ∈ Z, l ∈ Z, m ∈ Z. 14.45. { 3+2cos(x−y) 2 = 3+2x− x 2 cos 2 x−y 2 + sin 2 x−y 2 z 2 +2 x 2 −2z−1=4(x−1). Решение. Пусть тройка чисел (x0; y0; z0) является решением исходной системы, тогда справедливы числовые равенства: 3+2cos( x 0 − y 0 ) 2 = 3+2 x 0 − x 0 2 cos 2 x 0 − y 0 2 + sin 2 x 0 − y 0 2 , (20)
z 0 2 +2 x 0 2 −2 z 0 −1=4( x 0 −1) . (21)
Равенство (21) можно переписать в виде (z0 − 1)2 + 2 (x0 − 1)2 = 0, поэтому x0 = 1, z0 = 1. Подставив в равенство (20) вместо x0 число 1, получим верное числовое равенство 3+2cos(1− y 0 ) 2 =2 cos 2 1− y 0 2 + sin 2 1− y 0 2 . (22)
Применив формулы для синуса и косинуса половинного угла, перепишем равенство (22) в виде
3+2cos(1− y 0 ) 2 =1+cos (1− y 0 )+ 1−cos(1− y 0 ) 2 , откуда получим, что cos (1 − y0) = 0 или cos (y0 − 1) = 0. Последнее равенство справедливо, если y 0 =1+ π 2 +πm, m ∈ Z. Проверка показывает, что для каждого m ∈ Z тройка чисел ( 1; 1+ π 2 +πm; 1 ) является решением исходной системы. Следовательно, исходная система имеет серию решений ( 1; 1+ π 2 +πm; 1 ) m ∈ Z. Дополнения 1. Отметим, что существуют системы уравнений, в которых число уравнений меньше числа неизвестных. В таких случаях обычно в уравнениях скрыты какие-либо дополнительные ограничения на неизвестные, которые и позволяют решить систему. Рассуждения с числовыми значениями позволяют решать некоторые системы двух уравнений с тремя неизвестными (задания 14.44 и 14.45) и даже одно уравнение с двумя или тремя неизвестными. Приведем примеры. Пример 1. Решим уравнение (x2 − 4x + 7) (y2 + 6y + 14) = 15. (23)
Решение. Пусть пара чисел (x0; y0) есть решение уравнения (23), т. е. пусть справедливо числовое равенство
( x 0 2 −4 x 0 +7) ( y 0 2 +6 y 0 +14)=15,
которое перепишем в виде ((x0 − 2)2 + 3) ((y0 + 3)2 + 5) = 15. (24)
Равенству (24) удовлетворяет единственная пара чисел x0 = 2, y0 = −3. Поэтому если уравнение (23) имеет решение, то это может быть только пара чисел (2; −3). Проверка показывает, что эта пара чисел удовлетворяет уравнению (23). Следовательно, уравнение (23) имеет единственное решение (2; −3). Пример 2. Решим уравнение arcsin( x 2 −x+ ( 1 2 ) 2−x +arccos 4y π +| tg (x+ z−π −1) 2 | )+ + 2 x 2 −x−1 = x− x 2 +arctg (2−x) . (25)
Решение. Предположим, что тройка чисел (x0; y0; z0) есть решение уравнения (25), т. е. предположим, что справедливо числовое равенство arcsin( x 0 2 − x 0 + ( 1 2 ) 2− x 0 +arccos 4 y 0 π +| tg ( x 0 + z 0 −π −1) 2 | )+ + 2 x 0 2 − x 0 −1 = x 0 − x 0 2 +arctg (2− x 0 ) . (26)
Из справедливости равенства (26) следует, в частности, что выражения 2 x 0 2 − x 0 −1 и x 0 − x 0 2 определены, а это означает, что число x0 удовлетворяет одновременно двум неравенствам: 2 x 0 2 − x 0 −1≥0 и x 0 − x 0 2 ≥0. Легко проверить, что существует только одно такое число: x0 = 1. Но если x0 = 1, то равенство (26) можно переписать в виде arcsin( 1 2 + arccos 4 y 0 π +| tg z 0 | )=arctg 1. (27)
Так как arctg 1= π 4 и arcsin a= π 4 только для a= 1 2 , то равенство (27) означает справедливость равенства arccos 4 y 0 π +| tg z 0 |=0. (28)
Так как существуют числа 4 y 0 π и | tg z0 | и оба они неотрицательны, то равенство (28) справедливо лишь тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, т. е. лишь тогда, когда arccos 4 y 0 π =0 и tg z0 = 0. Первое из этих равенств справедливо лишь для y 0 = π 4 , а второе лишь для z0 = πk, k ∈ Z. Итак, если уравнение (25) имеет решения, то все они содержатся среди троек чисел ( 1; π 4 ;πk ), k ∈ Z. Проверка показывает, что такая тройка удовлетворяет уравнению (25) только при k ∈ N. Следовательно, все решения уравнения (25) есть тройки чисел ( 1; π 4 ;πk ), k ∈ N. 2. Разберем решение задания из ЕГЭ. С5 (2008). Докажите, что система уравнений { 8 x 3 +18 x 2 +15x+14=0 (10+4x) y −2=y( 5+ 7 x )+ 7 x+y 16x (x+1) 2 +40 x 2 +89x+49 (29)
имеет хотя бы два различных решения. Доказательство. Пусть пара чисел (x0; y0) есть решение системы уравнений (29), т. е. пусть справедливы числовые равенства 8 x 0 3 +18 x 0 2 +15 x 0 +14=0, (30)
(10+4 x 0 ) y 0 −2= = y 0 ( 5+ 7 x 0 )+ 7 x 0 + y 0 16 x 0 ( x 0 +1) 2 +40 x 0 2 +89 x 0 +49 . (31)
Но если справедливо числовое равенство (31), то, в частности, справедливо числовое неравенство 16 x 0 ( x 0 +1) 2 +40 x 0 2 +89 x 0 +49≥0. (32)
Так как 16x0 (x0+ 1)2 + 40 x 0 2 + 89x0 + 49 = = 16x0 (x0+ 1)2 + 40 ( x 0 2 + 2x0 + 1) + 9 (x0 + 1) = (x0 + 1) (16 x 0 2 + 56x0 + 49) = = (x0 + 1) (4x0 + 7)2, то неравенство (32) можно записать в виде (x0 + 1) (4x0 + 7)2 ≥ 0. (33)
Неравенство (33) справедливо для числа x 0 =− 7 4 и каждого из чисел x0 ≥ −1. Функция f (x) = 8x3 + 18x2 + 15x + 14 возрастает на множестве R, так как имеет производную f ′ (x) = 24x2 + 36x + 15 = 24 ( x+ 3 4 ) 2 + 3 2 >0 для каждого x ∈ R. Так как f (−1) = − 8 + 18 − 15 + 14 > 0, то для каждого числа x0 ≥ −1 имеем f (x0) ≥ f (−1) > 0. Поэтому ни одно из чисел x0 ≥ −1 не удовлетворяет равенству (30). Число x 0 =− 7 4 удовлетворяет равенству (30). Итак, если система (29) имеет решения, то они содержатся среди пар ( − 7 4 ;y ) . Каждая такая пара удовлетворяет первому уравнению системы (29), а второе уравнение этой системы принимает вид 3y − 2 = y. (34)
Очевидно, что уравнение (34) имеет корень y1 = 1. Покажем, что это уравнение имеет еще хотя бы один корень y2 ≠ 1. Рассмотрим функцию g (y) = 3y − 2 − y на отрезке [−2; 0]. Так как g (−2) = 3−2 − 2 + 2 = 1 9 >0, а g (0) = 30 − 2 − 0 = − 1 < 0 и функция g (y) на отрезке [−2; 0] непрерывна, то по теореме о промежуточном значении функции на этом отрезке существует точка y2, такая, что g (y2) = 0, причем y2 ≠ 1, так как 1 ∉ [−2; 0]. Итак, показано, что уравнение (34) имеет хотя бы два различных корня. Это означает, что система (29) имеет хотя бы два различных решения, что и требовалось доказать. Замечание. Если заметить, что первое уравнение системы (29) может иметь лишь отрицательные корни (в противном случае f (x) = 8x3 + 18x2 + 15x + 14 > 0), то по теореме о рациональных корнях многочлена степени n с целыми коэффициентами эти корни содержатся среди чисел −1, −2, −7, − 1 2 , − 7 2 , − 1 4 , − 7 4 , − 1 8 , − 7 8 . (35)
Так как f (−1) = 9 > 0, а f (−2) = −8 < 0, то между числами − 2 и − 1 находится единственное из чисел множества (35) — число x 0 = − 7 4 . Так как f(x)=( x+ 7 4 )(8 x 2 +4x+8) и дискриминант квадратного трехчлена 8x2 + 4x + 8 отрицателен, то первое уравнение системы (29) имеет единственный корень x 0 =− 7 4 . Итак, в приведенном выше доказательстве можно дать другое доказательство того, что все решения системы (29) содержатся среди пар чисел ( − 7 4 ;y ) .
