Этот параграф завершает главу II, посвященную методам решения уравнений, неравенств и систем. Следует отметить, что работа с параметрами велась на протяжении нескольких лет, начиная с 7 класса, не только в учебниках, но и в дидактических материалах, где, начиная с 8 класса, имеются отдельные самостоятельные работы и специальные подготовительные работы, посвященные параметрам. Использование четности функции при решении уравнений с параметром рассмотрено в п. 5 дидактических материалов для 11 класса. В данном параграфе учебника лишь систематизируются способы решения задач с параметром, приводятся примеры решения таких задач. Работа с задачами этого параграфа позволяет в конце 11 класса не только повторить некоторые общие приемы решения уравнений, неравенств и систем в процессе решения задач с параметрами, но и подготовиться к решению сложных задач с параметрами, которые встречаются на конкурсных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.
15.1*. Уравнения с параметром
В этом пункте учебника объяснено, что значит решить уравнение с параметром, в чем заключен основной принцип решения уравнения, как должен быть записан ответ в таких задачах. Приведены примеры решения уравнений с параметром, показано применение свойств функций при определении числа корней рационального уравнения с параметром. Решения и комментарии Для каждого значения параметра а решите уравнение (15.2—15.5): 15.2. а) x 2 −1 x−1 =a . Решение. При каждом значении параметра а корни исходного уравнения удовлетворяют условию x − 1 ≠ 0, т. е. принадлежат множеству М = (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Так как x − 1 ≠ 0 на множестве М, то исходное уравнение равносильно на множестве М уравнению x + 1 = а. (1)
Уравнение (1) при каждом значении параметра а имеет единственный корень x1 = а − 1. Этот корень принадлежит множеству М при условии x1 ≠ 1, т. е. при а ≠ 2. Следовательно, при каждом а ≠ 2 исходное уравнение имеет единственный корень а − 1, при а = 2 исходное уравнение не имеет корней. 15.5. а) | x − 1 | − а | x + 1 | = 2. Решение. Для освобождения от знаков модулей рассмотрим три случая. 1) Если x ∈ (−∞; −1), то исходное уравнение можно переписать в виде (а − 1) x = − (а − 1). (2)
При а = 1 корнем уравнения (2), а значит, и исходного уравнения на промежутке (−∞; −1) является любое число x ∈ (−∞; −1). При а ≠ 1 уравнение (2), а значит, и исходное уравнение имеют единственный корень −1, не принадлежащий промежутку (−∞; −1). Следовательно, при а ≠ 1 уравнение (2), а значит, и исходное уравнение не имеют корней на промежутке (−∞; −1). 2) Если x ∈ [−1; 1], то исходное уравнение можно переписать в виде (а + 1) x = − (а + 1). (3)
При а = −1 корнем уравнения (3), а значит, и исходного уравнения на промежутке [−1; 1] является любое число x ∈ [−1; 1]. При а ≠ −1 уравнение (3) имеет единственный корень x = −1, принадлежащий промежутку [−1; 1]. Следовательно, при а ≠ −1 уравнение (3), а значит, и исходное уравнение имеют единственный корень x = −1 на промежутке [−1; 1]. 3) Если x ∈ (1; +∞), то исходное уравнение можно переписать в виде (1 − а) x = а + 3. (4)
При а = 1 уравнение (4), а значит, и исходное уравнение не имеют корней на промежутке (1; +∞). При а ≠ 1 уравнение (4) имеет единственный корень x= a+3 1−a на промежутке (1; +∞), но это число принадлежит промежутку (1; +∞) лишь при условии a+3 1−a >1, т. е. при −1 < a < 1. Следовательно, уравнение (4), а значит, и исходное уравнение на промежутке (1; +∞) имеют единственный корень x= a+3 1−a при −1 < a < 1. Итак, для каждого a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) исходное уравнение имеет единственный корень x0 = −1; для каждого a ∈ (−1; 1) — два корня: x1 = −1 и x 2 = a+3 1−a ; для a = −1 любое число x ∈ [−1; 1] — корень; для a = 1 любое число x ∈ (−∞; −1] — корень.
15.2*. Неравенства с параметром В этом пункте учебника объяснено, что значит решить неравенство с параметром, приведены примеры решения рациональных и логарифмического неравенств с параметром. Решения и комментарии Для каждого значения параметра а решите неравенство (15.10—15.18): 15.10. а) (a − 1) x > a2 − 1. Решение. 1) При a = 1 исходное неравенство имеет вид
0 · x > 0. (1)
Так как неравенство (1) не имеет решений, то и исходное неравенство при a = 1 не имеет решений. 2) При каждом a > 1 исходное неравенство имеет решения: все x > a + 1. 3) При каждом a < 1 исходное неравенство имеет решения: все x < a + 1. Итак, при a = 1 исходное неравенство не имеет решений; при каждом a > 1 любое x > a + 1; при каждом a < 1 любое x < a + 1. 15.16. а) x−1 x−a >0. Решение. 1) При a = 1 исходное неравенство имеет вид x−1 x−1 >0. (2)
Так как неравенство (2) имеет множество решений (−∞; 1) ∪ (1; +∞), то и исходное неравенство при a = 1 имеет то же множество решений. 2) При каждом a > 1 исходное неравенство имеет решения: все x < 1 и все x > a. 3) При каждом a < 1 исходное неравенство имеет решения: все x < a и все x > 1. Итак, исходное неравенство при a = 1 имеет множество решений (−∞; 1) ∪ (1; +∞); при каждом a > 1 любое x ∈ (−∞; 1) ∪ (а; +∞); при каждом a < 1 (−∞; a) ∪ (1; +∞). 15.17. а) x 2 − a 2 x−1 >0. Решение. Каждое решение исходного неравенства удовлетворяет условию x ≠ 1, т. е. принадлежит множеству (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Исходное неравенство можно переписать в виде (x−a)(x−a) x−1 >0. 1) При a = 0 исходное неравенство можно переписать в виде x 2 x−1 >0. (3)
Неравенство (3) имеет решения: все x > 1 (рис. 93, а). 2) При a = 1 и при a = −1 исходное неравенство можно переписать в виде (x−1)(x+1) x−1 >0. (4)
Неравенство (4) имеет решения x > 1 и − 1 < x < 1 (рис. 93, б). 3) При каждом a > 1 исходное неравенство имеет решения x > а и − a < x < 1 (рис. 93, в). 4) При каждом 0 < a < 1 исходное неравенство имеет решения x > 1 и − а < x < a (рис. 93, г). 5) При каждом a ∈ (−1; 0) исходное неравенство имеет решения x > 1 и а < x < −a (рис. 93, д). 6) При каждом a < −1 исходное неравенство имеет решения x > −а и a < x < 1 (рис. 93, е).
Рис. 93
Итак, исходное неравенство имеет решения − 1 < x < 1 и x > 1 при a = ±1; −а < x < 1 и x > а при a > 1; −а < x < a и x > 1 при 0 < a < 1; а < x < −a и x > 1 при −1 < a < 0; x > 1 при a = 0; x > −a и a < x < 1 при a < −1. 15.18. а) (x−a) x−1 ≥0. Решение. Исходное неравенство равносильно совокупности уравнения (x−a) x−1 =0 (5)
и неравенства (x−a) x−1 >0. (6)
При каждом a > 1 уравнение (5) имеет два корня: x = 1 и x = a. При a = 1 уравнение (5) имеет единственный корень x = 1. При каждом a < 1 уравнение (5) имеет единственный корень x = 1. При каждом a > 1 неравенство (6) имеет множество решений: все x > a. При a = 1 неравенство (6) имеет множество решений: все x > 1. При каждом a < 1 неравенство (6) имеет множество решений: все x > 1. Объединив решения уравнения (5) и неравенства (6), получим все решения исходного неравенства: x ≥ а и x = 1 при a > 1; x ≥ 1 при a ≤ 1.
15.3*. Системы уравнений с параметром
В этом пункте учебника напоминается, что решить систему уравнений с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данной системы. Далее приведены примеры решения систем уравнений с параметром. Решения и комментарии Для каждого значения параметра а решите систему уравнений (15.24—15.29): 15.24. а) { (a−1)y=a+1 x+y=a. Решение. При a = 1 первое уравнение исходной системы не имеет решений, поэтому и система не имеет решений. При каждом a ≠ 1 первое уравнение исходной системы имеет единственное решение y= a+1 a−1 . Из второго уравнения системы найдем соответствующее значение x= a 2 −2a−1 a−1 . Следовательно, при каждом a ≠ 1 исходная система имеет единственное решение y= a+1 a−1 , x= a 2 −2a−1 a−1 . Итак, исходная система уравнений не имеет решений при a = 1; x= a 2 −2a−1 a−1 , y= a+1 a−1 при каждом a ≠ 1. 15.25. а) { (a−1)y= a 2 −1 x+y=a . Решение. При a = 1 решением первого уравнения исходной системы является любое число y = t, где t ∈ R. Из второго уравнения системы находим, что x = 1 − t, где t ∈ R. Поэтому при a = 1 система имеет решения x = 1 − t, y = t, где t ∈ R. При каждом a ≠ 1 из первого уравнения исходной системы находим, что y = a + 1. Из второго уравнения системы находим, что x = −1. Итак, исходная система уравнений имеет решения x = 1 − t, y = t, где t ∈ R при a = 1; x = −1, y = a + 1 при a ≠ 1. 15.26. а) { x 2 + y 2 =a x+y=1. Решение. Выразив из второго уравнения исходной системы y через x и подставив 1 − x вместо y в первое уравнение этой системы, получим систему уравнений { 2 x 2 −2x+1−a=0 y=1−x, (1)
равносильную исходной системе. Так как дискриминант первого уравнения системы (1) равен D = 8a − 4, то надо рассмотреть три случая: a < 0,5, a = 0,5 и a > 0,5. 1) При каждом a < 0,5 имеем D < 0, поэтому первое уравнение системы (1) не имеет решений, следовательно, и исходная система не имеет решений. 2) При a = 0,5 первое уравнение системы (1) имеет единственное решение x = 0,5. Из второго уравнения системы находим, что y = 0,5, т. е. при a = 0,5 система уравнений (1), а значит, и исходная система имеют единственное решение (0,5; 0,5). 3) При каждом a > 0,5 первое уравнение системы (1) имеет два решения: x 1 = 1+ 2a−1 2 и x 2 = 1− 2a−1 2 . Из второго уравнения системы находим, что y 1 = 1− 2a−1 2 и y 2 = 1+ 2a−1 2 , т. е. при a > 0,5 система уравнений (1), а значит, и исходная система имеют два решения: ( 1+ 2a−1 2 ; 1− 2a−1 2 ) и ( 1− 2a−1 2 ; 1+ 2a−1 2 ). Итак, исходная система не имеет решений при a < 0,5; имеет два решения: ( 1+ 2a−1 2 ; 1− 2a−1 2 ) и ( 1− 2a−1 2 ; 1+ 2a−1 2 ) при a > 0,5; имеет единственное решение (0,5; 0,5) при a = 0,5. 15.29. а) { ( a 2 −a)sin x 2 +2cosy=a+5 3sin x 2 +cosy=4. Решение. Если пара чисел (x0; y0) есть решение исходной системы, то, в частности, справедливо числовое равенство 3 sin x 0 2 +cos y 0 =4, откуда следует, что sin x 0 2 =1 и cos y0 = 1 (в противном случае левая часть этого равенства будет меньше 4). Таким образом, второе уравнение системы равносильно системе уравнений { sin x 2 =1 cosy=1, имеющей решения (xn; yk), где xn = π + 4πn, n ∈ Z, yk = 2πk, k ∈ Z. Пары чисел (xn; yk) являются также решениями первого уравнения исходной системы, если выполняется условие a2 − a + 2 = a + 5, т. е. при a = −1 и при a = 3. Значит, исходная система имеет решения (xn; yk), где xn = π + 4πn, n ∈ Z, yk = 2πk, k ∈ Z при a = −1 и a = 3. При каждом a, отличном от −1 и 3, пары чисел (xn; yk) не являются решениями первого уравнения исходной системы, в этом случае система не имеет решений. Итак, система имеет решения (π + 4πn; 2πk), n ∈ Z, k ∈ Z при a = −1 и при a = 3; система не имеет решений при каждом a, отличном от − 1 и 3. Замечание. Обратим внимание, что в задании 5.29 нельзя решения (xn; yk) выражать с помощью одной буквы n, так как каждому значению xn соответствует не одно, а бесконечно много значений yk.
15.4*. Задачи с условиями
В этом пункте учебника рассматриваются задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется некоторое условие, и разобраны соответствующие примеры. Приведем решения еще некоторых таких задач. Пример 1. Найдем все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (3 x 2 −(5a+3)x+2 a 2 +2a) − x 2 −4x−3 =0 (1)
имеет ровно три различных корня. Решение. Для каждого значения параметра a уравнение (1) равносильно совокупности двух систем: { 3 x 2 −(5a+3)x+2 a 2 +2a=0 − x 2 −4x−3=0 (2)
и
{ − x 2 −4x−3 =0 x∈R. (3)
Система (3) имеет два решения: x1 = −3 и x2 = −1, а уравнение системы (2) при каждом значении параметра a имеет два корня: x3 = a + 1 и x 4 = 2 3 a . Решением системы (2) окажется то из чисел x3 и x4, которое удовлетворяет неравенству системы, т. е. то, которое принадлежит множеству М = [−3; −1]. Число x3 принадлежит множеству М, если − 3 ≤ a + 1 ≤ −1, т. е. если − 4 ≤ a ≤ −2. Число x4 принадлежит множеству М, если −3≤ 2 3 a≤−1, т. е. если − 4,5 ≤ a ≤ −1,5. Уравнение (1) имеет ровно три различных корня только в двух случаях: 1) если корни x3 и x4 совпадают и принадлежат множеству (−3; −1); 2) если эти корни различны и один из них принадлежит множеству (−3; −1), а другой нет. Первый случай возможен, лишь если a есть решение системы { x 3 = x 4 −3< x 3 <−1, т. е. при a = −3. Второй случай возможен, лишь если a есть решение совокупности четырех систем: { −3< x 3 <−1 x 4 ≥−1, { −3< x 3 <−1 x 4 ≤−3, { −3< x 4 <−1 x 3 ≥−1, { −3< x 4 <−1 x 3 ≤−3, т. е. при условии, что a ∈ (−4,5; −4] ∪ [−2; −1,5). Следовательно, уравнение (1) имеет ровно три различных корня, если a ∈ (−4,5; −4] ∪ [−2; −1,5) ∪ {−3}. Пример 2. Найдем все значения параметра a, при каждом из которых все x > 3 являются решениями неравенства (a − 2) x2 − 2x − a > 0. (4)
Решение. При a = 2 неравенство имеет вид −2x −2 > 0, множество его решений есть все x < −1. Поэтому a = 2 не удовлетворяет условию задачи. При a ≠ 2 дискриминант квадратного неравенства (4) D = 4 (a − 1)2 ≥ 0. При a = 1 неравенство (4) имеет вид −x2 − 2x − 1 > 0, оно не имеет решений, поэтому a = 1 также не удовлетворяет условию задачи. При a, отличном от 1 и 2, квадратный трехчлен имеет два различных корня: x1 = −1 и x 2 = a a−2 , поэтому неравенство (4) можно переписать в виде (a − 2) (x − x1) (x − x2) > 0. (5)
При каждом a > 2 имеем x1 < x2, поэтому решения неравенства (5) есть все x < −1 и все x> a a−2 . Если a a−2 >3, т. е. если a < 3, то не все x > 3 содержатся среди x> a a−2 . Следовательно, ни одно a из промежутка 2 < a < 3 не удовлетворяет условию задачи. Если a a−2 ≤3, т. е. если a ≥ 3, то все x > 3 содержатся среди x > x2. Следовательно, каждое a ≥ 3 удовлетворяет условию задачи. При a < 2, но a ≠ 1 все решения неравенства (5) составляют промежуток (x1; x2 ) при x1 < x2 или промежуток (x2; x1) при x2 < x1 и поэтому не все x > 3 содержатся в этом промежутке. Следовательно, ни одно из этих значений a не удовлетворяет условию задачи. Итак, условию задачи удовлетворяет лишь каждое a ≥ 3. Решения и комментарии 15.31. а) При каких значениях параметра a уравнение x + 2 = a | x − 1 | имеет единственное решение? Решение. 1-й способ. Для освобождения от знака модуля рассмотрим два случая. 1) Если x ≥ 1, т. е. если x∈(1;+∞), то исходное уравнение можно переписать в виде (a − 1) x = a + 2. (6)
При a = 1 уравнение (6) не имеет корней. При a ≠ 1 уравнение (6) имеет единственный корень x 1 = a+2 a−1 . Так как a+2 a−1 ≥1 лишь при a > 1, то x 1 ∈(1;+∞) лишь при a > 1. 2) Если x < 1, т. е. если x∈(−∞;1), то исходное уравнение можно переписать в виде (a + 1) x = a − 2. (7)
При a = −1 уравнение (7) не имеет корней. При a ≠ −1 уравнение (7) имеет единственный корень x 2 = a−2 a+1 . Так как a−2 a+1 <1 лишь при a > −1, то x 2 ∈(−∞;1) лишь при a > −1. Итак, при каждом a ≤ −1 исходное уравнение не имеет корней, при каждом a ∈ (−1; 1] исходное уравнение имеет единственный корень x 2 = a−2 a+1 , при каждом a > 1 исходное уравнение имеет два корня: x1 и x2. Остается выяснить, нет ли среди чисел a > 1 такого значения, при котором корни x1 и x2 равны. Так как x 2 ∈(−∞;1), а x 1 ∈[1;+∞), то x1 ≠ x2 ни для каких a. Поэтому исходное уравнение имеет единственный корень x= a−2 a+1 лишь при каждом a ∈ (−1; 1]. Заметим, что описанная выше процедура решения уравнения на каждом из двух промежутков значений x с рассмотрением всех случаев для значений параметра a достаточно трудоемкая. Ту же задачу можно решить, используя свойства функций. Рассмотрим такой способ. 2-й способ. Так как для каждого значения параметра a число x = 1 не является корнем исходного уравнения, то для каждого значения параметра a это уравнение равносильно уравнению a= x+2 | x−1 | . Построим графики функций f(x)= x+2 | x−1 | и φ (x) = a (рис. 94).
Рис. 94
Если x > 1, то f(x)= 3 x−1 +1 . На промежутке (1; +∞) функция f (x) убывает, принимая все значения из промежутка (1; +∞). Если x < 1, то f(x)= −3 x−1 −1 . На промежутке (−∞; 1) функция f (x) возрастает, принимая все значения из промежутка (−1; +∞). График функции y = a — прямая, параллельная оси Ox. Эта прямая пересекает график функции f (x) в единственной точке лишь при a∈(−1;1] , поэтому исходное уравнение имеет единственный корень при a∈(−1;1] . 15.32. а) Сколько решений в зависимости от параметра a имеет уравнение | x + 2 | = ax + 1? (8)
Решение. При каждом значении параметра a следствием исходного уравнения является уравнение (x + 2)2 = (ax + 1)2, которое можно переписать в виде (a2 − 1) x2 + 2 (a − 2) x − 3 = 0. (9)
1) При a = 1 уравнение (9) имеет единственный корень − 3 2 , который не удовлетворяет исходному уравнению. 2) При a = −1 уравнение (9) имеет единственный корень − 1 2 , который удовлетворяет исходному уравнению. 3) При a2 ≠ 1 уравнение (9) квадратное, его дискриминант D = 4 (2a − 1)2. При a= 1 2 уравнение (9) имеет единственный корень −2, который удовлетворяет исходному уравнению. 4) При каждом а, таком, что a2 ≠ 1 и a≠ 1 2 , уравнение (9) имеет два корня: x 1 = 1 a−1 и x 2 = −3 a+1 . Проверка показывает, что число x1 удовлетворяет уравнению (8), если 2a−1 a−1 >0, т. е. если или a< 1 2 , но a ≠ −1, или a > 1, а число x2 удовлетворяет уравнению (8), если 2a−1 a+1 <0, т. е. если −1<a≤ 1 2 . Итак, уравнение (8) не имеет корней при каждом a∈( 1 2 ; 1 ]; имеет единственный корень 1 a−1 при каждом a ≤ −1, при a= 1 2 и при каждом a > 1; имеет два корня: 1 a−1 и −3 a+1 — при каждом a∈( −1; 1 2 ) . Задания, аналогичные заданиям 15.33 и 15.35, разобраны соответственно в пп. 5 и 50 дидактических материалов. 15.37. а) При каких значениях параметра b уравнение log2x + 1 (3x2 − bx − 0,25b) = 2 (10)
имеет два различных корня? Решение. Уравнение (10) равносильно системе { 3 x 2 −bx−0,25b= (2x+1) 2 2x+1>0 2x+1≠1. Перепишем эту систему в виде { x 2 +(4+b)x+(1+0,25b)=0 x>−0,5 x≠0. (11)
Если система (11) имеет два различных решения, то и уравнение (10) имеет два различных корня. Уравнение системы (11) имеет два различных корня х1 и х2, если D = (4 + b)2 − 4 − b = (b + 3) (b + 4) > 0, т. е. если b∈(−∞;−4)∪(−3;+∞) . Так как для этих значений b имеем 1 + 0,25b ≠ 0, то х1 ≠ 0 и х2 ≠ 0. При каждом значении параметра b∈(−∞;−4)∪(−3;+∞) имеем x 1 = −4−b+ D 2 > x 2 = −4−b− D 2 . Поэтому остается выяснить, при каких значениях b число х2 > −0,5, т. е. надо решить неравенство −4−b− D 2 >−0,5. Перепишем его в виде −(3+b)> (b+3)(b+4) . (12)
При b > −3 имеем − (3 + b) < 0, т. е. среди этих b нет решений неравенства (12). При b < −4 обе части неравенства (12) положительны, поэтому неравенство (12) равносильно неравенству
(3 + b)2 > (b + 3) (b + 4),
множество решений которого b < −3. Поэтому условию х2 > −0,5 удовлетворяют лишь b < −4. Следовательно, система (11) имеет два различных решения только для b < −4, т. е. условию задачи удовлетворяет лишь каждое b ∈ (−∞; −4). 15.39. а) При каких значениях параметра a неравенство x 2 −10x+26 ≥ 2 a 2 −4a−3 a 2 −2a−8 (13)
выполняется для всех x? Решение. Так как для каждого x верно неравенство x2 − 10x + 26 ≥ 1, то неравенство (13) выполняется для всех x при тех значениях а, для каждого из которых 2 a 2 −4a−3 a 2 −2a−8 ≤1. (14)
Решив неравенство (14), получим, что все его решения образуют промежуток (−2; 4). Следовательно, для каждого a ∈ (−2; 4) неравенство (13) выполняется для всех x. 15.40. а) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство a2 + a − sin2 x − 2a cos x > 1 (15)
выполняется для любого значения x. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество и сделав замену переменной t = cos x, перепишем неравенство (15) в виде t2 − 2at + a2 + a −2 > 0. (16)
Чтобы найти искомые значения параметра, найдем все значения параметра a, для каждого из которых функция f (t) = t2 − 2at + a2 + a − 2 принимает положительные значения для любого t ∈ [−1; 1]. 1) Если D = 4 (a2 − a2 − a + 2) = 4 (2 − a) < 0, т. е. если a > 2, то неравенство (16) справедливо для каждого t ∈ R, а значит, и для каждого t ∈ [−1; 1]. 2) Если D = 4 (2 − a) = 0, т. е. если a = 2, то неравенство (16) справедливо для каждого t ∈ [−1; 1], так как f (t) = t2 − 4t + 4 = (t − 2)2 > 0 для каждого t ≠ 2. 3) Если D = 4 (2 − a) > 0, т. е. если a < 2, то неравенство (16) справедливо для каждого t ∈ [−1; 1] лишь для тех значений a, для которых абсцисса вершины параболы t = a — графика функции y = f (t) — не принадлежит промежутку [−1; 1] и для которых еще справедливо одно из неравенств f (−1) > 0 и f (1) > 0 (рис. 95).
Рис. 95
Итак, искомые значения a являются решениями совокупности двух систем: { a<−1 1+2a+ a 2 +a−2>0 и { 1<a<2 1−2a+ a 2 +a−2>0. Решив каждую из двух систем и объединив все найденные решения, получим решения этой совокупности: a< −3− 13 2 , 1+ 5 2 <a<2. Итак, условиям задачи удовлетворяют каждое a< −3− 13 2 и каждое a> 1+ 5 2 . 15.42. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство x+ 7 a 2 −a−2 x−2 <−7a не имеет решений, больших 1. Решение. Перепишем исходное неравенство в виде x 2 +(7a−2)x+7 a 2 −15a−2 x−2 <0. (17)
Все решения неравенства (17) принадлежат множеству всех x, таких, что x ≠ 2. Если при некотором значении параметра а найдутся решения неравенства (17), удовлетворяющие условию x > 2, то все они удовлетворяют условию x > 1, поэтому такие значения параметра а не удовлетворяют условию задачи. Рассмотрим решение неравенства (17) на множестве М = (−∞; 2). Для каждого x ∈ М справедливо неравенство x − 2 < 0, поэтому для каждого значения параметра a неравенство (17), а значит, и исходное неравенство равносильны на множестве М неравенству x2 + (7а − 2) x + 7а2 − 15а −2 > 0. (18)
Для каждого значения параметра a рассмотрим функцию
f (x) = x2 + (7а − 2) x + 7а2 − 15а − 2.
Так как D = (7а − 2)2 − 4 (7а2 − 15а − 2) = 21 ( a+ 6 7 )( a+ 2 3 ), то при − 6 7 ≤a≤− 2 3 справедливо неравенство D ≤ 0, поэтому для каждого x ∈ М справедливо неравенство f (x) ≥ 0. Следовательно, при этих значениях а найдутся решения неравенства (18), а значит, и исходного неравенства, большие 1. Поэтому все значения a∈[ − 6 7 ;− 2 3 ] не удовлетворяют условию задачи. Если a∈( −∞;− 6 7 )∪( − 2 3 ;+∞ ), то D > 0 и решения неравенства (18) составляют два промежутка: (−∞; x 1 ) и ( x 2 ;+∞) , где x1 и x2 — нули функции f (x). Среди этих решений нет решений, больших 1 и принадлежащих множеству М, только в том случае, когда справедливы неравенства x1 ≤ 1 и 2 ≤ x2 (рис. 96), т. е. когда справедливы неравенства f (1) ≤ 0 и f (2) ≤ 0.
Рис. 96
Решив систему
{ 1+(7a−2)+7 a 2 −15a−2≤0 4+2(7a−2)+7 a 2 −15a−2≤0, найдем все ее решения: a∈[ 4− 37 7 ; 1+ 56 14 ] . Так как все эти числа принадлежат промежутку ( − 2 3 ;+∞ ), то все они удовлетворяют условию задачи. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений, больших 1, лишь при a∈[ 4− 37 7 ; 1+ 56 14 ] . 15.43. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства 2x2 − 3x + а + 12 ≤ 0 не пусто и содержится среди решений неравенства x2 + 10x + а ≤ 0. Решение. Рассмотрим неравенства 2x2 − 3x + а + 12 ≤ 0 (19)
и x2 + 10x + а ≤ 0. (20)
Множество решений неравенства (19) не пусто, если его дискриминант D1 = 9 − 8 (а + 12) = −8а − 87 ≥ 0, т. е. при a≤− 87 8 . Для каждого такого а дискриминант неравенства (20) D2 = 100 − 4а > 0, т. е. для каждого a≤− 87 8 неравенство (20) имеет решения. При a≤− 87 8 решения неравенства (19) составляют промежуток x1 ≤ x ≤ x2, где x 1 = 3− −8a−87 4 , x 2 = 3+ −8a−87 4 ( при a=− 87 8 неравенство (19) имеет единственное решение — число 3 4 ) . При a≤− 87 8 решения неравенства (20) составляют промежуток x3 < x < x4, где x 3 =−5− 25−a , x 4 =−5+ 25−a . Все решения неравенства (19) содержатся среди решений неравенства (20) лишь при выполнении трех условий: x3 ≤ x1, x2 ≤ x4 и a≤− 87 8 , т. е. являются решениями системы неравенств { −5− 25−a ≤ 3− −8a−87 4 3+ −8a−87 4 ≤−5+ 25−a a≤− 87 8 . (21)
Решив систему (21), найдем все ее решения: a∈(−∞;−264]∪[ −11;− 87 8 ]. Итак, условию задачи удовлетворяет лишь каждое a∈(−∞;−264)∪[ −11;− 87 8 ]. 15.44. а) При каких значениях параметра a система уравнений { x+ y−a−2 =0 y 2 − x 2 =a(2x+a) (22)
имеет два различных решения? Решение. Перепишем эту систему в виде { x+ y−a−2 =0 y 2 = (x+a) 2 . (23)
При каждом значении параметра a система (23) равносильна совокупности двух систем: { x+ y−a−2 =0 y 2 =x+a и { x+ y−a−2 =0 y=−x−a. Эти системы равносильны соответственно системам { x+ x−2 =0 y=x+a (24)
и { x+ −x−2a−2 =0 y=−x−a. (25)
Первое уравнение системы (24) не имеет решений, следовательно, эта система не имеет решений. Так как все решения системы (25) являются решениями системы (22), то система (22) имеет два различных решения, если первое уравнение системы (25) имеет два различных корня. Перепишем первое уравнение системы (25) в виде −x−2a−2 =−x . (26)
Ясно, что это уравнение имеет решения лишь на множестве всех x ≤ 0. На этом множестве уравнение (26) равносильно уравнению x2 + x + 2a + 2 = 0. (27)
Так как D = 1 − 8а − 8 = −8а − 7, то уравнение (27) имеет два корня: x 1 = −1− −8a−7 2 и x 2 = −1+ −8a−7 2 , только если −8а − 7 > 0, т. е. если a<− 7 8 . При этом оба эти корня удовлетворяют условию x ≤ 0, только если −1+ −8a−7 2 ≤0, т. е. если a∈[ −1;− 7 8 ]. Итак, условию задачи удовлетворяет лишь каждое a∈[ −1;− 7 8 ] . 15.45. а) При каких значениях параметра a система уравнений { y= 2 x 2 x+| x | (x−2(a+2)) 2 + (y−a) 2 =8 (28)
имеет хотя бы одно решение? Решение. При любом значении a система (28) равносильна системе { y= 2 x 2 x+| x | (x−2(a+2)) 2 + ( 2 x 2 x+| x | −a ) 2 =8.
(29)
(30)
Уравнение (30) есть уравнение с одним неизвестным x. Ясно, что при любом значении a все его решения содержатся в множестве M всех положительных x, так как для всех x∈(−∞;0] имеем x + | x | = 0, а делить на нуль нельзя. На множестве M уравнение (30) равносильно уравнению 2x2 − 2 (3a + 4) x + 5a2 + 16a + 8 = 0. (31)
Квадратное уравнение (31) имеет хотя бы один корень, принадлежащий множеству M, если выполнены два условия:
D = 4 ((3а + 4)2 − 10а2 − 32а − 16) = −4а (а + 8) ≥ 0 —
и больший из корней этого уравнения x 1 = 3a+4+ −4a(a+8) 2 положительный. Решив систему неравенств { −4a(a+8)≥0 3a+4+ −4a(a+8) >0, найдем все ее решения а ∈ (−4; 0]. Следовательно, уравнение (31) имеет хотя бы один корень только при каждом а ∈ (−4; 0]. Поэтому система уравнений (29) и (30), а значит, и система (28) имеют хотя бы одно решение только при каждом а ∈ (−4; 0]. Дополнение. Приведем решение задания из ЕГЭ. С3 (2008). Найдите все значения a, для которых при каждом x из промежутка (−3; −1] значение выражения x4 − 8x2 − 2 не равно значению выражения ax2. Решение. Задачу можно переформулировать так: найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x4 − 8x2 − 2 = ax2 (32)
не имеет корней на промежутке (−3; −1]. Перепишем уравнение (32) в виде x4 − (8 + a) x2 − 2 = 0. (33)
Сначала выясним, при каких значениях a уравнение (33) имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (−3; −1]. Биквадратное уравнение (33) при каждом значении a имеет два корня: x 1 =− 8+a 2 + ( 8+a 2 ) 2 +2 и x 2 = 8+a 2 + ( 8+a 2 ) 2 +2 . Так как x2 > 0 при каждом значении a, то x 2 ∉(−3;−1] . Корень x 1 ∈(−3;−1] только для тех a, для каждого из которых выполнено двойное неравенство −3 < x1 ≤ −1, т. е. для тех a, которые удовлетворяют двойному неравенству 1≤ 8+a 2 + ( 8+a 2 ) 2 +2 <3. (34)
Решениями двойного неравенства (34) являются все a∈[ −9; 7 9 ) . Итак, уравнение (32) имеет корень на промежутке (−3; −1] только при a∈[ −9; 7 9 ) . Следовательно, все значения a, удовлетворяющие условию задачи, есть a∈(−∞;−9)∪[ 7 9 ;+∞ ) . Ответ. (−∞;−9)∪[ 7 9 ;+∞ )> . Промежуточный контроль. С—50.
