Начиная с этого параграфа будут изучаться неравносильные преобразования уравнений.
8.1. Понятие уравнения-следствия
В данном пункте учебника вводятся понятия уравнения-следствия, перехода к уравнению-следствию, корней, посторонних для исходного уравнения. Отмечается, что если в процессе решения уравнения был совершен переход к уравнению-следствию, то проверка полученных корней является обязательным элементом решения исходного уравнения. Выделены четыре основных преобразования, приводящие к уравнению-следствию. Отмечается, что при применении некоторых формул (тригонометрических, логарифмических и др.) также могут получиться уравнения-следствия.
После изучения данного параграфа можно рекомендовать учащимся такой «рецепт»: если при решении уравнения было выполнено либо возведение в квадрат, либо потенцирование логарифмического уравнения, либо освобождение уравнения от знаменателя, либо приведение подобных членов, то обязательным элементом решения является проверка того, какие из найденных чисел являются корнями исходного уравнения.
Решения и комментарии
8.2. Объясните, в результате какого преобразования переход от первого уравнения ко второму приводит к появлению посторонних корней. Подберите корень второго уравнения, посторонний для первого уравнения:
а) x = 2, x2 = 4;
б) log3 x2 = log3 x, x2 = x;
в) (x−4)−(2x−3) x 2 −1 =0, x − 4 − (2x − 3) = 0;
г) x 2 +3x+ x = x +4, x 2 +3x−4=0.
Решение. а) Второе уравнение получено возведением первого уравнения в квадрат. Корень −2 второго уравнения является посторонним для первого уравнения.
б) Второе уравнение получено потенцированием первого логарифмического уравнения. Корень 0 второго уравнения является посторонним для первого уравнения.
в) Второе уравнение получено освобождением первого уравнения от знаменателя. Корень −1 второго уравнения является посторонним для первого уравнения.
г) Второе уравнение получено из первого переносом слагаемых в левую часть с противоположным знаком (это равносильное преобразование) и приведением подобных членов. Корень −4 второго уравнения является посторонним для первого уравнения.
Дополнение. Рассмотрим еще одно преобразование уравнения, приводящее к уравнению-следствию.
Уравнения вида
f(x) 3 + g(x) 3 + φ(x) 3 (1)
обычно решают следующим образом. Возведя в куб уравнение (1), получим равносильное ему уравнение
f(x)=3 f(x) 3 g(x) 3 ( f(x) 3 + g(x) 3 )+g(x)=φ(x) . (2)
Пользуясь уравнением (1), заменим в уравнении (2) f(x) 3 + g(x) 3 на φ(x) 3 , тогда получим уравнение
3 f(x) 3 g(x) 3 φ(x) 3 =φ(x)−f(x)−g(x), (3)
которое является следствием уравнения (2), а значит, и уравнения (1). Возведя в куб уравнение (3), получим уравнение, которое равносильно уравнению (3), а значит, является следствием уравнения (1). Решив полученное уравнение, надо проверить, какие из найденных корней удовлетворяют уравнению (1).
Пример. Решим уравнение
x 3 + 2x+6 3 = 3x+24 3 . (4)
Возведя уравнение (4) в куб, получим равносильное ему уравнение
x+3 x 3 2x+6 3 ( x 3 + 2x+6 3 )+2x+6=3x+24.
Заменив в этом уравнении x 3 + 2x+6 3 на 3x+24 3 , получим уравнение
x 3 2x+6 3 3x+24 3 =6, (5)
являющееся следствием уравнения (4). Возведя в куб уравнение (5), получим равносильное ему уравнение x (2x + 6) (3x + 24) = 63, которое можно переписать в виде
x3 + 11x2 + 24x − 36 = 0. (6)
Уравнение (6) имеет два корня: x1 = 1 и x2 = −6. Проверка показывает: x1 является корнем уравнения (4), x2 нет.
Ответ. 1.
Покажем, что уравнение (3) действительно есть следствие уравнения (1). Обозначив для краткости f(x) 3 = f 3 , g(x) 3 = g 3 , φ(x) 3 = φ 3 , перепишем уравнение (3) в виде
3 f 3 g 3 ( φ 3 −( f 3 + g 3 ) )= ( φ 3 ) 3 − ( f 3 + g 3 ) 3 . (7)
Применив формулу разности кубов, перепишем уравнение (7) в виде
( f 3 + g 3 + φ 3 )( ( φ 3 + f 3 + g 3 2 ) 2 +3 ( f 3 − g 3 2 ) 2 )=0 . (8)
Уравнение (8) равносильно совокупности двух уравнений
f 3 + g 3 − φ 3 =0 и
( φ 3 + f 3 + g 3 2 ) 2 +3 ( f 3 − g 3 2 ) 2 =0. (9)
Уравнение (9) равносильно системе уравнений
f 3 = g 3 =− φ 3 . (10)
Таким образом, множество всех решений уравнения (3) состоит из множества всех решений уравнения (1) и множества всех решений системы уравнений (10), т. е. уравнение (3) действительно является следствием уравнения (1).
Дополнение. Решите уравнение:
а) x−3 3 + 2x 3 = 3x+15 3 ;
б) x−4 3 + 2x−2 3 = 3x+12 3 ;
в) x−1 3 + 2x+4 3 = 3x+21 3 ;
г) x−2 3 + 2x+2 3 = 3x+18 3 .
Ответ. а) 4; б) 5; в) 2; г) 3.
8.2. Возведение уравнения в четную степень
В этом пункте учебника приведено утверждение:
Пусть 2m (m ∈ N) — фиксированное четное натуральное число. Тогда следствием уравнения
f (x) = g (x) (1)
является уравнение
(f (x))2m = (g (x))2m. (2)
Доказательство. Пусть число x0 — некоторый корень уравнения (1), т. е. пусть существуют числа f (x0) и g (x0), для которых справедливо числовое равенство f (x0) = g (x0). Но если равны числа, то равны и любые их степени, т. е. справедливо числовое равенство (f (x0))2m = (g (x0))2m. Следовательно, число x0 есть корень уравнения (2). Такое рассуждение можно провести для любого корня уравнения (1).
Таким образом, любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), т. е. уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Если же уравнение (1) не имеет корней, то тогда, как указано в начале п. 8.1, любое уравнение, а значит, и уравнение (2) есть следствия уравнения (1). Утверждение доказано полностью.
Это утверждение чаще всего применяется при решении иррациональных уравнений. В п. 8.2 учебника и в п. 31 дидактических материалов приведены примеры его применения.
Обратим внимание на то, что это утверждение применяется и при решении уравнений с модулями (пример 3 учебника). Приведем еще один пример из ЕГЭ.
С1 (2005). Решите уравнение | sin x | = sin x cos x.
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, перейдем к уравнению-следствию sin2 x = sin2 x cos2 x.
Очевидно, что sin2 x (1 − cos2 x) = 0 ⇔ sin4 x = 0 ⇔ sin x = 0.
Последнее уравнение имеет серию решений xk = πk, k ∈ Z. Проверка показывает, что все числа xk являются решениями исходного уравнения.
Ответ. πk, k ∈ Z.
Решения и комментарии
Решите уравнение (8.10—8.11):
8.10. а) log 2 2 x+3 = log 2 x−1;
в) 4 x+1 − 2 x+1 −3 = 2 x +1.
Решение. а) Сделав замену неизвестного t = log2 x, перепишем исходное уравнение в виде
t 2 +3 =t−1. (1)
Возведя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение
t 2 +3= t 2 −2t+1, (2)
являющееся следствием уравнения (1).
Уравнение (2) имеет единственный корень t0 = −1. Проверка показывает, что число t0 не является корнем уравнения (1), поэтому уравнение (1) не имеет корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет корней.
в) Сделав замену неизвестного t = 2x, перепишем исходное уравнение в виде
4 t 2 −2t−4 =t+1. (3)
Возведя уравнение (3) в квадрат, получим уравнение
4 t 2 −2t−3= t 2 +2t+1, (4)
являющееся следствием уравнения (3).
Уравнение (4) имеет два корня: t1 = 2 и t 2 =− 2 3 . Проверка показывает, что числа t1 и t2 являются корнями уравнения (3). Следовательно, все корни исходного уравнения являются корнями двух уравнений 2x = 2 и 2 x =− 2 3 . Первое из этих уравнений имеет единственный корень x0 = 1, а второе уравнение корней не имеет. Поэтому исходное уравнение имеет единственный корень 1.
8.11. в) | 2 lg x − 3 | = 3 lg x − 2.
Решение. Сделав замену неизвестного t = lg x, перепишем исходное уравнение в виде
| 2t − 3 | = 3t − 2. (5)
Возведя уравнение (5) в квадрат, получим уравнение
4t2 − 12t + 9 = 9t2 − 12t + 4, (6)
являющееся следствием уравнения (5).
Уравнение (6) имеет два корня: t1 = 1 и t2 = −1. Проверка показывает, что лишь число t1 является корнем уравнения (5). Поэтому все корни (и только они) уравнения lg x = 1 являются корнями исходного уравнения.
Уравнение lg x = 1 имеет единственный корень x0 = 10, следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень 10.
8.12. При каких значениях параметра a уравнение x 2 +6x−2a =x+2 имеет единственный корень?
Решение. Возведя исходное уравнение в квадрат, получим уравнение
x2 + 6x − 2a = x2 + 4x + 4, (7)
являющееся следствием исходного уравнения при каждом значении параметра a.
Для каждого a уравнение (7) имеет единственный корень x0 = a + 2.
Проверим, является ли число x0 корнем исходного уравнения при каждом a. Так как (a+2) 2 +6(a+2)−2a =
= a 2 +8a+16 = (a+4) 2 =| a+4 |, x + 2 = a + 4,
а равенство | a + 4 | = a + 4 справедливо лишь при a ≥ −4, то исходное уравнение имеет единственный корень лишь при a ≥ −4.
Дополнение. В качестве дополнительных заданий по изучаемой теме учащимся можно предложить задания из ЕГЭ прошлых лет.
В2 (2006). Решите уравнение 2x+37 =x+1.
Ответ. 6.
В2 (2005). Решите уравнение x− 2 x 2 −9x+5 =3.
Ответ. 4.
В3 (2005). Решите уравнение 2 x 2 −x−6 =−x .
Ответ. −2.
8.3. Потенцирование логарифмических уравнений
В данном пункте учебника доказано утверждение:
Пусть a > 0, a ≠ 1. Тогда следствием уравнения loga f (x) = loga g (x) является уравнение f (x) = g (x).
Приведены примеры применения этого утверждения при решении уравнений.
Решения и комментарии
Решите уравнение (8.18—8.19):
8.18. а) log2 (4x − 2x + 1 + 2) = x.
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
log2 (4x − 2x + 1 + 2) = log2 2x. (1)
Уравнение 4x − 2x + 1 + 2 = 2x является следствием уравнения (1). Решив его, получим, что оно имеет два корня: x1 = 0 и x2 = 1. Проверка показывает, что числа x1 и x2 являются корнями уравнения (1), следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 0 и 1.
8.19. а) log2 cos 2x = log2 cos x.
Решение. Уравнение cos2 x = cos x является следствием исходного уравнения. Решив его, получим, что оно имеет две серии решений: xm = 2πm, m ∈ Z и x n =± 2π 3 +2πn, n ∈ Z. Проверка показывает, что лишь числа xm являются решениями исходного уравнения. Поэтому исходное уравнение имеет единственную серию решений xm = 2πm, m ∈ Z.
8.20. При каких значениях параметра a уравнение lg (x2 + 3x + a) = lg (x + 1)2 не имеет корней?
Решение. Уравнение
x2 + 3x + a = (x + 1)2 (2)
является следствием исходного уравнения при каждом значении параметра a. Для каждого a уравнение (2) имеет единственный корень x0 = 1 − a. Проверим, является ли число x0 корнем исходного уравнения при каждом a.
Так как x 0 2 +3 x 0 +a= (a−2) 2 и (x0 + 1)2 = (a − 2)2 и при a = 2 не имеет смысла выражение lg (a − 2)2, то при a = 2 исходное уравнение не имеет корней. При любом a ≠ 2 справедливо равенство lg( x 0 2 +3 x 0 +a )=lg ( x 0 +1) 2 , т. е. исходное уравнение имеет корень x0. Следовательно, лишь при a = 2 исходное уравнение не имеет корней.
8.4. Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию
В данном пункте учебника рассмотрены преобразования, приводящие к уравнению-следствию: 1) приведение подобных членов; 2) освобождение уравнения от знаменателя; 3) применение некоторых формул. Приведены примеры решения уравнений с применением этих неравносильных преобразований уравнений.
Обратим внимание на ошибку, которую иногда допускают учащиеся. Например, при освобождении уравнения
x 2 +x−6 x−1 =0 (1)
от знаменателя учащиеся переходят к уравнению x2 + x − 6 = 0 — следствию уравнения (1) — и находят два его корня: x1 = 2 и x2 = −3. Дальше некоторые учащиеся делают «проверку» следующим образом: «Так как x−1 =0 только при x = 1, а среди чисел x1 и x2 нет числа 1, то ни одно из чисел x1 и x2 не обращает в нуль знаменатель в правой части уравнения (1), поэтому оба эти числа — корни уравнения (1)». При этом они не обращают внимания на то, что при x = −3 не имеет смысла этот знаменатель.
На самом деле прежде всего надо проверить, имеют ли смысл выражения x 1 −1 и x 2 −1 , а потом для того числа xi, для которого имеет смысл выражение x i −1 , проверить, равно ли это выражение нулю или нет. В нашем примере выражение x 2 −1 не имеет смысла, а выражение x 1 −1 имеет смысл и x 1 −1 ≠0, поэтому уравнение (1) имеет единственный корень x1 = 2.
Обратим еще внимание на преобразование «применение формул». Этот материал следует рассматривать лишь в классах с углубленным изучением математики.
Решения и комментарии
Решите уравнение (8.27—8.30):
8.27. а) tg 3x = tg 5x.
Решение. Перенеся все члены исходного уравнения в правую часть и учитывая, что tg kx= sinkx coskx , перепишем исходное уравнение в виде sin5x cos3x+sin3x cos5x cos3x cos5x =0.
Применив формулу синуса разности двух углов, перепишем это уравнение в виде
sin2x cos3x cos5x =0. (2)
Освобождаясь от знаменателя в этом уравнении, получаем уравнение
sin 2x = 0, (3)
являющееся следствием уравнения (2). Все решения уравнения (3) задаются серией решений x k = πk 2 , k ∈ Z.
Проверим, все ли эти числа являются решениями уравнения (2). Так как cos3 x k =cos 3πk 2 и cos5 x k =cos 5πk 2 , то при k = 2m + 1, m ∈ Z имеем cos 3xk = 0 и cos 5xk = 0, т. е. числа xk при k = 2m + 1, m ∈ Z не являются решениями уравнения (2). Так как при k = 2m, m ∈ Z имеем cos 3xk ≠ 0 и cos 5xk ≠ 0, то числа xk при k = 2m, m ∈ Z являются решениями уравнения (2).
Следовательно, решениями уравнения (2), а значит, и равносильного ему исходного уравнения являются числа xk = πm, m ∈ Z.
8.28. а) 10 lg( x 2 +5x−1) =3x+2.
Решение. Применив формулу
10 lg( x 2 +5x−1) = x 2 +5x−1, (4)
получим уравнение
x2 + 5x − 1 = 3x + 2, (5)
которое является следствием исходного уравнения, так как правая часть формулы (4) определена для каждого x ∈ R, а левая часть — не для каждого x ∈ R.
Решив уравнение (5), получим, что оно имеет два корня: x1 = 1 и x2 = −3. Проверка показывает, что число 1 является корнем исходного уравнения, а число −3 нет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 1.
8.29. а) 2 ( log x 5) 2 − log 5 x=0.
Решение. Применив формулу
1 ( log x 5) 2 = ( log 5 x) 2 , (6)
получим уравнение
2 ( log 5 x) 2 − log 5 x=0, (7)
которое является следствием исходного уравнения, так как правая часть формулы (6) определена для каждого x > 0, а левая часть — для каждого x > 0, но x ≠ 1. Решив уравнение (7), получим, что оно имеет два корня: x 1 = 5 и x2 = 1. Проверка показывает, что число 5 является корнем исходного уравнения, а число 1 нет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 5 .
8.30. а) 1−t g 2 x 1+t g 2 x =cosx− sin 2 x .
Решение. Применив формулу
1−t g 2 x 1+t g 2 x =cos2x, (8)
получим уравнение
cos 2x = cos x − sin2 x, (9)
которое является следствием исходного уравнения, так как правая часть формулы (8) определена для каждого x ∈ R, а левая часть — не для каждого x ∈ R.
Решив уравнение (9), получим, что оно имеет две серии решений: xm = 2πm, m ∈ Z и x n = π 2 +πn, n ∈ Z. Проверка показывает, что лишь числа xm являются решениями исходного уравнения. Следовательно, оно имеет решения xm = 2πm, m ∈ Z.
8.31. При каких значениях параметра a уравнение:
а) x−a+ x−a =2x+1+ x−a ; б) a−2 ax−3 =1
имеет единственный корень?
Решение. а) Перенеся все слагаемые в одну часть уравнения (с противоположным знаком) и приведя подобные слагаемые, получим уравнение
x + a + 1 = 0, (10)
которое является следствием исходного уравнения для каждого a. Решив уравнение (10) для каждого a, получим, что оно имеет единственный корень x0 = −a − 1. Проверим, является ли число x0 корнем исходного уравнения при каждом а. Так как выражение x−a имеет смысл лишь при условии x0 − a ≥ 0, т. е. при условии a≤− 1 2 , то исходное уравнение имеет единственный корень лишь для a≤− 1 2 .
б) Перенеся число 1 в левую часть уравнения (с противоположным знаком) и приведя дроби к общему знаменателю, перепишем исходное уравнение в виде
a+1−ax ax−3 =0. (11)
Освобождаясь от знаменателя в этом уравнении, получаем уравнение
a + 1 − ax = 0, (12)
являющееся следствием уравнения (11). Уравнение (12) имеет единственный корень x 0 = a+1 a только для каждого a ≠ 0. Проверим, является ли число x0 корнем исходного уравнения при каждом a ≠ 0. Число x0 является корнем уравнения (11), если ax0 − 3 ≠ 0 (a ≠ 0), т. е. если a ≠ 0 и a ≠ 2.
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень для каждого a, такого, что a ≠ 0 и a ≠ 2.
Дополнение. В качестве дополнительного задания по изучаемой теме учащимся можно предложить задание из ЕГЭ.
С1 (2006). Решите уравнение
4 cos x ctg x + 4 ctg x + sin x = 0.
Решение. Применив формулу ctg x= cosx sinx , перепишем уравнение в виде
4 cos 2 x+4cosx+ sin 2 x sinx =0. (13)
Освобождаясь от знаменателя в уравнении (13), получаем уравнение
4 cos2 x + 4 cos x + sin2 x = 0, (14)
которое является следствием исходного уравнения. Решив уравнение (14), получим, что оно имеет две серии решений: x m =±arccos( − 1 3 )+2πm, m ∈ Z и xn = π + 2πn, n ∈ Z. Так как sin xm ≠ 0, то все числа xm являются решениями уравнения (13), а значит, и равносильного ему исходного уравнения. Так как sin xn = 0, то ни одно из чисел xn не является решением уравнения (13), а значит, и исходного уравнения. Следовательно, исходное уравнение имеет решения x m =±arccos( − 1 3 )+2πm, m ∈ Z.
Ответ. ±arccos( − 1 3 )+2πm, m ∈ Z.
Промежуточный контроль. C—31.
8.5. Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию
В данном пункте учебника рассмотрены примеры решения уравнений с применением нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию. Рассмотрим подобные примеры.
Пример 1. Решим уравнение
3x+49 + 10x+14 = 3x+28 + 10x+35 .
Решение. Возведя исходное уравнение в квадрат, получим уравнение
3x+49+2 3x+49 10x+14 +10x+14=
=3x+28+2 3x+28 10x+35 +10x+35, (1)
являющееся следствием исходного уравнения.
Уравнение (1) можно переписать в виде
3x+49 10x+14 = 3x+28 10x+35. (2)
Возведя уравнение (2) в квадрат, получим уравнение
(3x + 49) (10x + 14) = (3x + 28) (10x + 35) (3)
— следствие уравнения (2).
Уравнение (3) имеет единственный корень x1 = 2. Проверка показывает, что число x1 является корнем исходного уравнения. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 2.
Ответ. 2.
Пример 2. Решим уравнение
log 3 1 tg x = log 3 ( 1+cos2x sin x ) . (4)
Потенцируя уравнение (4), получаем уравнение
1 tg x = 1+cos2x sin x , (5)
являющееся следствием уравнения (4). Применяя формулы 1 tg x = cosx sin x , 1 + cos 2x = 2 cos2 x и перенося все члены уравнения в левую часть, получаем уравнение
cosx−2 cos 2 x sin x =0, (6)
являющееся следствием уравнения (5).
Освобождаясь в уравнении (6) от знаменателя, получаем уравнение
cos x − 2 cos2 x = 0, (7)
являющееся следствием уравнения (6), а значит, и уравнения (4). Множество решений уравнения (7) состоит из объединения всех решений уравнений cos x = 0 и cos x= 1 2 , т. е. задается тремя сериями решений:
x n = π 2 +πn, n ∈ Z; x k = π 3 +2πk, k ∈ Z и x m =− π 3 +2πm, m ∈ Z.
Проверка показывает, что все числа серии xk являются решениями уравнения (4), а все числа серий xn и xm нет. Следовательно, все решения уравнения (4) задаются серией решений π 3 +2πk, k ∈ Z.
Решения и комментарии
Решите уравнение (8.37—8.41):
8.37. а) x−5 x−6 = x−2 .
Решение. Возведя уравнение в квадрат, получим уравнение-следствие исходного уравнения
(x − 5) (x − 6) = x − 2,
имеющее два корня: x1 = 8 и x2 = 4. Проверка показывает, что число 8 является корнем исходного уравнения, а число 4 нет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 8.
8.39. а) log 3 x + log 3 x+8 =1.
Решение. Применив формулу log 3 x + log 3 x+8 = log 3 x x+8 и заменив число 1 на log3 3, получим уравнение
log 3 x x+8 = log 3 3 , (8)
являющееся следствием исходного уравнения.
Потенцируя уравнение (8), получим уравнение
x x+8 =3, (9)
являющееся следствием уравнения (8), а значит, и следствием исходного уравнения.
Возведя уравнение (9) в квадрат, получим уравнение
x (x + 8) = 3,
являющееся следствием уравнения (9), а значит, и следствием исходного уравнения. Это уравнение имеет два корня: x1 = 1 и x2 = −9. Проверка показывает, что число 1 является корнем исходного уравнения, а число −9 нет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 1.
8.40. а) log2 (x + 1) = log4 (5x + 1).
Решение. Применив формулу log2 (x + 1) = log4 (x + 1)2, получим уравнение
log4 (x + 1)2 = log4 (5x + 1), (10)
являющееся следствием исходного уравнения.
Потенцируя уравнение (10), получим уравнение
(x + 1)2 = 5x + 1,
являющееся следствием уравнения (10), а значит, и следствием исходного уравнения. Это уравнение имеет два корня: x1 = 0 и x2 = 3. Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями исходного уравнения. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 0 и 3.
8.41. а) log 2 (x+2)+ log 2 (x+1) = log 2 (x−2)+ log 2 (2x−1) .
Решение. Возведя исходное уравнение в квадрат, получим уравнение
log2 (x + 2) + log2 (x + 1) = log2 (x − 2) + log2 (2x − 1), (11)
являющееся следствием исходного уравнения. Применив формулы log2 (x + 2) + log2 (x + 1) = log2 (x + 2) (x + 1)
и log2 (x − 2) + log2 (2x − 1) = log2 (x − 2) (2x − 1), получим уравнение
log2 (x + 2) (x + 1) = log2 (x − 2) (2x − 1), (12)
являющееся следствием уравнения (11).
Потенцируя уравнение (12), получим уравнение
(x + 2) (x + 1) = (x − 2) (2x − 1),
являющееся следствием уравнения (12), а значит, и следствием исходного уравнения. Это уравнение имеет два корня: x1 = 8 и x2 = 0. Проверка показывает, что число 8 является корнем исходного уравнения, а число 0 нет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень 8.
8.42. Докажите, что при любом значении а уравнение lg x + lg (x − 2a) = lg 4 имеет единственный корень.
Доказательство. Применив формулу lg x + lg (x − 2a) = lg x (x − 2a), получим уравнение
lg x (x − 2a) = lg 4, (13)
являющееся следствием исходного уравнения при каждом значении a.
Потенцируя уравнение (13), получим уравнение
x (x − 2a) = 4,
являющееся следствием уравнения (13), а значит, и следствием исходного уравнения при каждом значении а.
Это уравнение имеет два корня: x 1 =a+ a 2 +4 и x 2 =a− a 2 +4 . Проверим, является ли число x1 корнем исходного уравнения при каждом значении a. Так как для каждого a верны неравенства a 2 +4 +a>0 и a 2 +4 −a>0, то lg x 1 ( x 1 −2a)=lg( a+ a 2 +4 )+lg( a+ a 2 +4 −2a )=
=lg( a 2 +4 +a )+lg( a 2 +4 −a )=lg ( a 2 +4 +a )( a 2 +4 −a )=
=lg( a 2 +4− a 2 )=lg4.
Итак, число x1 является корнем исходного уравнения для каждого a. Так как x2 < 0 для каждого a, то выражение lg x2 не имеет смысла и число x2 не является корнем исходного уравнения. Это означает, что при любом значении а исходное уравнение имеет единственный корень, что и требовалось доказать.
|
