В данном пункте дается определение арифметического корня степени n из неотрицательного числа (это неотрицательный корень из неотрицательного числа), доказываются первые свойства арифметических корней:
( a n ) n =a , a n n =a , ab n = a n ⋅ b n , a b n = a n b n . (1)
Подчеркнем, что здесь а и b неотрицательны, а в последнем равенстве b > 0.
Следует обратить внимание учащихся на замечание в конце пункта. Оно говорит о том, что если n = 2m + 1 ( m∈ N) — нечетное число, то свойства (1) справедливы и для любых чисел а и b (в последнем равенстве b ≠ 0).
Для корней нечетной степени часто применяют свойство
−a 2m+1 =− a 2m+1 , a∈ R.
Традиционно сложными для учащихся являются преобразования выражений, содержащих корни степени п, — освобождение от иррациональности в знаменателе дроби, вынесение множителя за знак корня и внесение множителя под знак корня, особенно если выражение содержит буквы. Эти преобразования разобраны в п. 16 дидактических материалов.
Решения и комментарии
3.63. Упростите выражение:
в) 30⋅ 1 12 3 + 7 2 ⋅ 2 3 3 +5⋅ 144 3 ; ж) 81⋅ ( 4− 17 ) 4 4 .
Решение. в) 30⋅ 1 12 3 + 7 2 ⋅ 2 3 3 +5⋅ 144 3 =30⋅ 1 12 3 + 7 2 ⋅ 8 12 3 + +5⋅ 12 3 ⋅ 1 12 3 =30⋅ 1 12 3 +7⋅ 1 12 3 +60⋅ 1 12 3 =97⋅ 1 12 3 .
Здесь важно было заметить, что второй и третий корни можно выразить через 1 12 3 . Ответ можно преобразовать, избавившись от иррациональности в знаменателе:
97⋅ 1 12 3 =97⋅ 18 6 3 3 = 97 6 ⋅ 18 3 =16 1 6 ⋅ 18 3 .
ж) 81⋅ ( 4− 17 ) 4 4 = 81 4 ⋅ ( 4− 17 ) 4 4 =3⋅ ( 17 −4 ) 4 4 = =3( 17 −4 ) .
Здесь важно подчеркнуть, что свойство a 2n 2n =a , n∈ N, справедливо лишь для неотрицательных чисел, поэтому потребовалось преобразование под знаком корня:
( 4− 17 ) 4 | 