Введение понятия арккосинуса можно мотивировать так же, как и введение понятия арксинуса. Для этого можно использовать задание 7.84. Только надо подчеркнуть принципиальное отличие: arccos a( | a |≤1 ) — это угол из промежутка [ 0; π ] . Из определения арккосинуса получается формула cos ( arccos a )=a , справедливая для каждого числа а, такого, что −1≤a≤1 . Далее рассмотрена задача 1: для данного числа а, такого, что | a |<1 , найти все углы α , для каждого из которых cos α = a. Здесь впервые получены формулы
α=arccos a+2πn, n∈ Z и α=−arccos a+2πk, k∈ Z.
Эти формулы в дальнейшем будут использованы для решения простейших тригонометрических уравнений. И здесь не стоит форсировать объединение получаемых формул в одну. Затем рассмотрены задачи, аналогичные задаче 1, но для | a |=1 и | a |>1 .
Решения и комментарии
7.89. Сравните с числом 0,5π: a) arccos 1 4 ; б) arccos ( − 1 4 ) . Решение. Для любых углов α 1 и α 2 , таких, что 0≤ α 1 < α 2 ≤π , справедливо неравенство cos α 1 >cos α 2 (п. 7.3 учебника). Для сравнения углов методом от противного можно доказать обратное утверждение: для любых углов α 1 и α 2 из промежутка [ 0; π ] , таких, что cos α 1 >cos α 2 справедливо неравенство α 1 < α 2 . Таким образом, можно доказать, что для любых углов α 1 и α 2 из промежутка [ 0; π ] равносильны неравенства: cos α 1 <cos α 2 и α 1 > α 2 . Применим это утверждение. а) Обозначим α 1 =arccos 1 4 . Так как углы 0,5π и α1 принадлежат промежутку [ 0; π ] и cos α 1 = 1 4 >0=cos 0,5π , то arccos 1 4 <0,5π (рис. 31).
б) Так как углы 0,5π и α 2 =arccos ( − 1 4 ) принадлежат промежутку [ 0; π ] и cos α 2 =− 1 4 <0=cos 0,5π , то arccos ( − 1 4 )>0,5π (см. рис. 31). 7.90. а) С помощью арккосинуса выразите углы из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] , соответствующие отмеченным точкам единичной окружности (рис. 32). Ответ. а) α 1 =arccos 1 2 , α 2 =−arccos 1 2 . 7.93. Задайте формулами все углы α , для каждого из которых: е) cos α= 3 2 ; з) cos α=− 2 2 ; м) cos α= 1 6 . Ответ. е) α k = π 6 +2πk, k∈ Z; α n =− π 6 +2πn, n∈ Z; з) α k = 3π 4 +2πk, k∈ Z; α n =− 3π 4 +2πn, n∈ Z; м) α k =arccos 1 6 +2πk, k∈ Z; α n =−arccos 1 6 +2πn, n∈ Z. Дополнительные задания. 1. Сравните с нулем arccos 8 15 . Решение. Так как 0≤arccos a≤π для любого a∈[ −1; 1 ] и arccos 8 15 ≠0 , то arccos 8 15 >0 . 2. Существует ли число x, такое, что: a) arccos x= π 3 ; б) arccos x=− π 3 ? Если существует, то найдите его. Решение. а) x= 1 2 ; б) так как 0≤arccos x≤π , а − π 3 <0 , то такого числа х не существует.
