Четверг, 28.03.2024, 22:29
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                              Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Арксинус
26.10.2014, 11:53
      В данном пункте учебника дано определение арксинуса числа a( | a |≤1 ) , из которого получается формула sin  ( arcsin  a )=a , справедливая для каждого числа а, такого, что −1≤a≤1 .
      Отметим, что перед введением понятия арксинуса и для мотивации его введения полезно давать задания типа 7.75:
      «Найдите угол из промежутка [ − π 2 ;   π 2 ] , синус которого равен: а) 1;   б) –1;   в) 0;   г)  1 2 ;   д)  − 2 2 ;   е)  3 2 ».
      После нескольких таких заданий надо сказать, что для упрощения этих формулировок оборот «угол из промежутка [ − π 2 ;   π 2 ] , синус которого равен числу а», заменяют на более короткий: « arcsin  a ». Теперь те же задания можно формулировать короче:
      «Найдите: arcsin  1 ; arcsin  ( −1 )  и т. д.».
      Далее рассмотрена задача 1: для данного числа а, такого, что | a |<1 , найти все углы α , для каждого из которых sin α = a.
      Ясно, что это другая формулировка задачи: для данного числа а, такого, что | a |<1 , решить уравнение sin α = a, где неизвестное — угол α . (Отметим, что углы измеряются обычно в радианах, хотя их можно измерять и в градусах.)
      Здесь впервые получены формулы для таких углов:

α=arcsin  a+2πn,  n∈  Z и α=π−arcsin  a+2πk,  k∈  Z.

      Эти формулы в дальнейшем будут использованы для решения простейших тригонометрических уравнений. Здесь не стоит форсировать объединение получаемых формул в одну. Сначала учащиеся должны научиться решать уравнения, только потом (и даже не всегда) оказывается полезным объединять получаемые формулы в одну.
      Затем в пункте рассмотрены задачи, аналогичные задаче 1, но для | a |=1  и | a |>1 .

      Решения и комментарии

      7.77.  а)  Имеет ли смысл запись arcsin   π 2 ?
      Решение. Здесь учащиеся нередко не видят подвоха. Они так часто вычисляли sin π 2  и еще не привыкли к тому, что arcsin  a  существует лишь для таких а, что −1≤a≤1 , поэтому иногда они считают, что это выражение существует. Между тем π 2 >1 , поэтому arcsin   π 2  не существует и, следовательно, запись arcsin   π 2  не имеет смысла.
      7.80. Сравните с нулем:   a)  arcsin   1 3 ;   б)  arcsin  ( − 1 3 ) .
      Решение. Если учащиеся обозначат α 1 =arcsin   1 3  и, взглянув на рисунок 27, ответят: arcsin   1 3 >0 , то получат верный ответ, которого достаточно, если они отвечают на вопросы теста. Если же от них требуется обоснованное решение, то оно будет опираться на следующие рассуждения.


      Для любых углов α 1  и α 2 , таких, что − π 2 ≤ α 1 < α 2 ≤ π 2 , справедливо неравенство sin   α 1 <sin   α 2  (п. 7.3 учебника).
      Для сравнения углов докажем обратное утверждение:
      Для любых углов α 1  и α 2  из промежутка [ − π 2 ;   π 2 ] , таких, что sin   α 1 <sin   α 2 , справедливо неравенство α 1 < α 2 .
      Доказательство проведем методом «от противного»:
      если α 1 = α 2 , то sin   α 1 =sin   α 2 , что противоречит условию

sin   α 1 <sin   α 2 ;

      если α 1 > α 2 , то sin   α 1 >sin   α 2 , что противоречит условию sin   α 1 <sin   α 2 ;
следовательно, α 1 < α 2 , что и требовалось доказать.
      Таким образом, доказано, что для любых углов α 1  и α 2  из промежутка [ − π 2 ;   π 2 ]  равносильны неравенства:

sin   α 1 <sin   α 2   и    α 1 < α 2 .
            Применим это утверждение.
      а) Обозначим α 1 =arcsin   1 3 . Так как углы 0 и α 1  из промежутка [ − π 2 ;   π 2 ]  и sin  ( arcsin  1 3 )= 1 3 >0=sin 0 , то arcsin   1 3 >0  (см. рис. 27).
      б) Обозначим α 2 =arcsin  ( − 1 3 ) . Так как углы 0 и α 2  из промежутка [ − π 2 ;   π 2 ]  и sin  ( arcsin  ( − 1 3 ) )=− 1 3 <0=sin 0 , то arcsin  ( − 1 3 )<0  (см. рис. 27).
      7.83. Задайте формулами все углы α , для каждого из которых:   д)  sin α= 2 2 ;   з)  sin α=− 2 2 ;   л)  sin α=− 2 3 .
      Ответ.  д)   α k = π 4 +2πk,  k∈  Z;  α n = 3π 4 +2πn,  n∈  Z (рис. 28);


      з)  α k =− π 4 +2πk,  k∈  Z; α n =− 3π 4 +2πn,  n∈  Z (рис. 29);
      л)  α k =arcsin  ( − 2 3 )+2πk,  k∈  Z;
α n =π−arcsin  ( − 2 3 )+2πn,  n∈  Z (рис. 30).


      Дополнительные задания.
      1. Сравните arcsin   1 3  с углом π 4 .
      Решение. Так как arcsin   1 3  и π 4  — углы из промежутка [ − π 2 ;   π 2 ]   и так как sin  ( arcsin   1 3 )= 1 3 < 2 2 =sin   π 4 , то arcsin  1 3 < π 4 (по доказанному выше утверждению).
      2. Существует ли число x, такое, что:
      a)  arcsin  x= π 6 ;    б)  arcsin  x= 5π 6 ?
      Если существует, то найдите его.
      Решение. а)  x= 1 2 ;   б) так как − π 2 ≤arcsin  x≤ π 2 , а 5π 6 > π 2 , то такого числа x не существует.
Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 1615 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"

ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты
  • Статистика

    Онлайн всего: 3
    Гостей: 3
    Пользователей: 0
    Форма входа


    Copyright MyCorp © 2024
    Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru