В данном пункте учебника дано определение арксинуса числа a( | a |≤1 ) , из которого получается формула sin ( arcsin a )=a , справедливая для каждого числа а, такого, что −1≤a≤1 . Отметим, что перед введением понятия арксинуса и для мотивации его введения полезно давать задания типа 7.75: «Найдите угол из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] , синус которого равен: а) 1; б) –1; в) 0; г) 1 2 ; д) − 2 2 ; е) 3 2 ». После нескольких таких заданий надо сказать, что для упрощения этих формулировок оборот «угол из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] , синус которого равен числу а», заменяют на более короткий: « arcsin a ». Теперь те же задания можно формулировать короче: «Найдите: arcsin 1 ; arcsin ( −1 ) и т. д.». Далее рассмотрена задача 1: для данного числа а, такого, что | a |<1 , найти все углы α , для каждого из которых sin α = a. Ясно, что это другая формулировка задачи: для данного числа а, такого, что | a |<1 , решить уравнение sin α = a, где неизвестное — угол α . (Отметим, что углы измеряются обычно в радианах, хотя их можно измерять и в градусах.) Здесь впервые получены формулы для таких углов:
α=arcsin a+2πn, n∈ Z и α=π−arcsin a+2πk, k∈ Z.
Эти формулы в дальнейшем будут использованы для решения простейших тригонометрических уравнений. Здесь не стоит форсировать объединение получаемых формул в одну. Сначала учащиеся должны научиться решать уравнения, только потом (и даже не всегда) оказывается полезным объединять получаемые формулы в одну. Затем в пункте рассмотрены задачи, аналогичные задаче 1, но для | a |=1 и | a |>1 .
Решения и комментарии
7.77. а) Имеет ли смысл запись arcsin π 2 ? Решение. Здесь учащиеся нередко не видят подвоха. Они так часто вычисляли sin π 2 и еще не привыкли к тому, что arcsin a существует лишь для таких а, что −1≤a≤1 , поэтому иногда они считают, что это выражение существует. Между тем π 2 >1 , поэтому arcsin π 2 не существует и, следовательно, запись arcsin π 2 не имеет смысла. 7.80. Сравните с нулем: a) arcsin 1 3 ; б) arcsin ( − 1 3 ) . Решение. Если учащиеся обозначат α 1 =arcsin 1 3 и, взглянув на рисунок 27, ответят: arcsin 1 3 >0 , то получат верный ответ, которого достаточно, если они отвечают на вопросы теста. Если же от них требуется обоснованное решение, то оно будет опираться на следующие рассуждения.
Для любых углов α 1 и α 2 , таких, что − π 2 ≤ α 1 < α 2 ≤ π 2 , справедливо неравенство sin α 1 <sin α 2 (п. 7.3 учебника). Для сравнения углов докажем обратное утверждение: Для любых углов α 1 и α 2 из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] , таких, что sin α 1 <sin α 2 , справедливо неравенство α 1 < α 2 . Доказательство проведем методом «от противного»: если α 1 = α 2 , то sin α 1 =sin α 2 , что противоречит условию
sin α 1 <sin α 2 ;
если α 1 > α 2 , то sin α 1 >sin α 2 , что противоречит условию sin α 1 <sin α 2 ; следовательно, α 1 < α 2 , что и требовалось доказать. Таким образом, доказано, что для любых углов α 1 и α 2 из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] равносильны неравенства:
sin α 1 <sin α 2 и α 1 < α 2 . Применим это утверждение. а) Обозначим α 1 =arcsin 1 3 . Так как углы 0 и α 1 из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] и sin ( arcsin 1 3 )= 1 3 >0=sin 0 , то arcsin 1 3 >0 (см. рис. 27). б) Обозначим α 2 =arcsin ( − 1 3 ) . Так как углы 0 и α 2 из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] и sin ( arcsin ( − 1 3 ) )=− 1 3 <0=sin 0 , то arcsin ( − 1 3 )<0 (см. рис. 27). 7.83. Задайте формулами все углы α , для каждого из которых: д) sin α= 2 2 ; з) sin α=− 2 2 ; л) sin α=− 2 3 . Ответ. д) α k = π 4 +2πk, k∈ Z; α n = 3π 4 +2πn, n∈ Z (рис. 28);
з) α k =− π 4 +2πk, k∈ Z; α n =− 3π 4 +2πn, n∈ Z (рис. 29); л) α k =arcsin ( − 2 3 )+2πk, k∈ Z; α n =π−arcsin ( − 2 3 )+2πn, n∈ Z (рис. 30).
Дополнительные задания. 1. Сравните arcsin 1 3 с углом π 4 . Решение. Так как arcsin 1 3 и π 4 — углы из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] и так как sin ( arcsin 1 3 )= 1 3 < 2 2 =sin π 4 , то arcsin 1 3 < π 4 (по доказанному выше утверждению). 2. Существует ли число x, такое, что: a) arcsin x= π 6 ; б) arcsin x= 5π 6 ? Если существует, то найдите его. Решение. а) x= 1 2 ; б) так как − π 2 ≤arcsin x≤ π 2 , а 5π 6 > π 2 , то такого числа x не существует.
