В данном пункте напоминается формула п-го члена геометрической прогрессии, формула суммы первых п ее членов. Обратим внимание на особенность терминологии: не всякая бесконечно убывающая прогрессия является убывающей прогрессией. Если −1<q<0 , то прогрессия не является убывающей, например, геометрическая прогрессия 1, − 1 2 , 1 4 , − 1 8 , ... не убывающая, но она является бесконечно убывающей прогрессией, так как q=− 1 2 и | q |<1 .
С бесконечно убывающей прогрессией связана известная психологическая трудность, которую учащимся трудно преодолеть: буквой S обозначили сумму бесконечного числа слагаемых a+aq+a q 2 +… , бесконечный процесс сложения завершить невозможно, однако сумма существует и вычисляется по формуле a 1−q .
Приведем два примера, которые позволят примирить учащихся с мыслью, что бесконечный процесс сложения может иметь конечный результат.
1) Если длину отрезка 1 3 м выразить десятичной дробью, то получится 0,3333... м, или 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... м.
2) Если площадь квадрата равна 1 и закрашивают сначала половину квадрата, потом половину незакрашенной части, потом половину оставшейся незакрашенной части квадрата и т. д., то процесс закрашивания бесконечен, но очевидно, что «в пределе» площадь закрашенной части квадрата равна площади квадрата, т. е. равна 1. Это подтверждает и применение формулы суммы бесконечно убывающей прогрессии: 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 +…= 1 2 1− 1 2 =1 (см. задание 4.38а).
Решения и комментарии
4.40. а) Докажите, что число 0,(3) есть сумма ряда 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... .
Решение. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... равна дроби 0,3 1−0,1 = 1 3 , а дробь 1 3 равна бесконечной периодической десятичной дроби 0,(3). Таким образом, сумма ряда 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 0,(3).
Задачи 4.43 и 4.44 являются задачами для самостоятельных расчетов. Практика показывает, что находится мало десятиклассников, способных самостоятельно наметить план решения таких задач. Чаще всего этот план приходится намечать учителю или решать с учащимися первую задачу в расчете на то, что кто-то из них сможет решить вторую.
4.43. Стороны квадрата (рис. 21, а) разделили на 3 равные части. На каждой средней части во внешнюю область построили новый квадрат и эту среднюю часть удалили. Получилась фигура, изображенная на рисунке 21, б. Затем каждую сторону полученной фигуры разделили на 3 равные части. На каждой средней части построили новый квадрат во внешнюю область и эту среднюю часть удалили. Получилась фигура, изображенная на рисунке 21, в. Тем же способом получили третью фигуру (рис. 21, г) и т. д.
а) Определите площадь S n фигуры, полученной после п-го преобразования, если а — сторона исходного квадрата.
б) Определите предел, к которому стремится площадь S n фигуры при n→+∞ .
Дополнительные задания. в) Определите периметр P n фигуры, полученной после п-го преобразования, если а — сторона исходного квадрата.
г) Определите предел, к которому стремится периметр P n фигуры при n→+∞ .
Решение. Обозначим данную фигуру F 0 , a F n — фигуру, полученную после n-го (n ∈ N) преобразования. На рисунке 21, а — г изображены фигуры F 0 , F 1 , F 2 , F 3 .
При каждом преобразовании число сn сторон замкнутой ломаной, ограничивающей фигуру, увеличивается в 5 раз, так как вместо каждого отрезка появляется 5 отрезков. Поэтому c n =4⋅ 5 n . При этом длина a n отрезков, составляющих границу фигуры, при каждом преобразовании уменьшается в 3 раза, поэтому a n = a 3 n . Тогда периметр фигуры F n есть P n = a n ⋅ c n = a 3 n ⋅4⋅ 5 n =4a⋅ ( 5 3 ) n . Очевидно, что P n →+∞ при n→+∞ , так как 5 3 >1 и поэтому ( 5 3 ) n неограниченно возрастает при n→+∞ .
Число k n новых квадратов, образующихся после n-го преобразования, равно числу сторон фигуры F n−1 , т. е. k n = c n−1 =4⋅ 5 n−1 , тогда сумма sn площадей новых квадратов, полученных после n-го преобразования, равна
sn= k n ⋅ ( a n ) 2 =4⋅ 5 n−1 ⋅ ( a 3 n ) 2 = 4 9 a 2 ⋅ ( 5 9 ) n−1 .
Сумма площадей всех новых квадратов, полученных в преобразованиях с 1-го по n-е, есть сумма первых n членов геометрической прогрессии, она равна
s 1 + s 2 + s 3 +…+ s n = 4 9 a 2 + 4 9 a 2 ⋅ 5 9 + 4 9 a 2 ⋅ ( 5 9 ) 2 +… …+ 4 9 a 2 ⋅ ( 5 9 ) n−1 = 4 9 a 2 ( 1+ 5 9 + ( 5 9 ) 2 +…+ ( 5 9 ) n−1 )= = 4 9 a 2 ⋅ 1− ( 5 9 ) n 1− 5 9 = a 2 ⋅( 1− ( 5 9 ) n )= a 2 − a 2 ⋅ ( 5 9 ) n .
Тогда площадь S n фигуры F n есть S n = a 2 + a 2 − a 2 ⋅ ( 5 9 ) n , она стремится к a 2 + a 2 =2 a 2 при n→+∞ .
Ответ. a) S n =2 a 2 − a 2 ⋅ ( 5 9 ) n ; б) 2 a 2 ; в) P n =4a⋅ ( 5 3 ) n ; г) P n →+∞ при n→+∞ . |
