В данном пункте без доказательства приведены теоремы 1 и 2 о пределе ограниченной переменной. В примере 3 рассматривается переменная u n = ( 1+ 1 n ) n , n ∈ N. Утверждается, что эта переменная имеет предел — некоторое число. Это число принято обозначать буквой е. Число е иррациональное, оно записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби 2,718281828459045... . Обычно используют приближение числа е, равное 2,7. Для запоминания большего числа знаков обратим внимание на то, что со второго десятичного знака в записи числа е два раза повторяется год рождения Л. Н. Толстого (1828).
Отметим, что Даниилу Бернулли (1700—1782) принадлежит доказательство равенства ( 1+ 1 n ) n =1+ 1 1! + 1 2! + 1 3! +… , дающего закон для вычисления десятичных знаков числа е с любой точностью.
Для мотивировки рассмотрения переменной u n можно рассмотреть ситуацию, описанную в задании 4.48. Здесь можно показать, что для числа n−1 перевложений сумма на вкладе в конце года увеличится в ( 1+ 1 n ) n раз.
Решения и комментарии
4.48. Представим себе, что некоторый банк платит по вкладам 100% годовых независимо от срока хранения вклада, т. е. за 1 год 100%, за 1 2 года 50%, за 1 3 года 100% 3 , за 1 4 года 25% и т. д. Составьте формулу, по которой можно найти число, показывающее, во сколько раз увеличилась вложенная сумма к концу года, если проводилось n−1 перевложений суммы на 1 n часть года. К чему стремится это число при n→+∞ ?
Решение. Пусть на счет положили а р. из расчета 100% годовых. Тогда через 1 год на счете окажется a+a⋅ 100 100 =2a р. Сумма увеличится за год в u 1 =2 раза.
Если положить ту же сумму на 1 2 года из расчета 100% годовых, то за 1 2 года сумма увеличится на 100 2 % и составит a+a 100 2 100 =a ⋅ ( 1+ 1 2 ) р. Если деньги и доход не снимать со счета, то согласно условиям задачи к концу года сумма увеличится еще раз на 100 2 % от суммы a⋅( 1+ 1 2 ) р. Тогда через 1 год на счете окажется a⋅ ( 1+ 1 2 ) 2 р. Сумма увеличится за год в u 2 = ( 1+ 1 2 ) 2 =2,25 раза.
Если теперь положить ту же сумму на 1 3 года из расчета 100% годовых и не снимать деньги со счета, то к концу года на счете окажется a⋅ ( 1+ 1 3 ) 3 р. Сумма увеличится за год в u 3 = ( 1+ 1 3 ) 3 =2 10 27 ≈2,37 раза.
Если же положить ту же сумму на 1 n часть года из расчета 100% годовых и не снимать деньги со счета, то к концу года на счете окажется a⋅ ( 1+ 1 n ) n р. Сумма увеличится за год в u n = ( 1+ 1 n ) n раз.
Может сложиться впечатление, что с увеличением частоты перевложений суммы в течение года первоначальная сумма может неограниченно увеличиваться. Это не так. Переменная u n является возрастающей, но ограничена сверху числом 3, т. е. сумма не может увеличиться более чем в 3 раза. При n→+∞ переменная u n стремится к числу e. | 