Воскресенье, 17.01.2021, 13:07
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 6
Гостей: 6
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Делимость целых чисел
26.10.2014, 12:47
      Материал о делимости целых чисел — новый в программе старших классов, поэтому он подробно описан в учебнике. Сначала рассматривается вопрос о делимости (без остатка) натуральных чисел, затем о делимости целых чисел (с остатком).
      В учебнике принято обозначение (m, n) — наибольший общий делитель чисел m и n; сформулированы основная теорема арифметики, свойство делимости суммы и разности (теорема 1), теорема о единственности деления с остатком для целых чисел (теорема 2).

Решения и комментарии

      1.84*. а) Определите целые числа m, n, k и р, для которых справедливо равенство:
2m + n · 3k + 1 · 57 · 712 = 27 − n · 37 · 5m + p · 7m + n + k.     (1)

      Решение. По основной теореме арифметики каждое натуральное число, большее 1, можно представить единственным образом в виде произведения степеней простых чисел. Поэтому из равенства (1) следует, что показатели степеней простых множителей в правой и левой частях этого равенства равны, т. е.

      m + n = 7 − n,  k + 1 = 7,  m + p = 7,  m + n + k = 12.

      Решив систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, получим: m = 5, п = 1, k = 6, р = 2.
      Замечание. Идея решения задачи 1.84 используется при решении задачи 276 из раздела «Задания для повторения».
      276. (МГУ, экон. ф-т.) За время хранения вклада в банке в конце каждого месяца начисляли на счет проценты от суммы вклада, которая находилась на счету в начале месяца, сначала в размере 5% в месяц, затем 11 1 9 %, потом 7 1 7 % и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада.
      Решение. Пусть в банк положили а р. (а ≠ 0). Ежемесячно на счет начислялось сначала 5% m месяцев, затем 11 1 9 % n месяцев, потом 7 1 7 % k месяцев и, наконец, 12% p месяцев от суммы вклада, которая находилась на счету в начале месяца.
После m + n + k + p месяцев на счету оказалось

a ( 1+ 5 100 ) m ( 1+ 100 900 ) n ( 1+ 50 700 ) k ( 1+ 12 100 ) p = =a ( 21 20 ) m ( 10 9 ) n ( 15 14 ) k ( 28 25 ) p  p .
или по условию задачи a( 1+ 180 100 )=a⋅ 14 5  p .
      Следовательно, справедливо равенство:

a ( 21 20 ) m ( 10 9 ) n ( 15 14 ) k ( 28 25 ) p =a⋅ 14 5 .
      Разделив полученное равенство на а (а ≠ 0) и умножив его на 20m · 9n · 14k · 25p · 5, получим равносильное ему равенство

5 · 21m · 10n · 15k · 28p = 20m · 9n · 14k + 1 · 52p.

      Разложив обе части равенства на простые множители, перепишем его в виде:

2n + 2p · 3m + k · 5n + k + 1 · 7m + p = 22m + k + 1 · 32n · 5m + 2p · 7k + 1.

      Из единственности разложения числа на простые множители (основная теорема арифметики) следует, что

{ n+2p=2m+k+1 m+k=2n n+k+1=m+2p m+p=k+1.
      Решив систему из четырех полученных уравнений, получим, что m = 2, п = 3, k = 4, р = 3, т. е. деньги были вложены в банк на 2 + 3 + 4 + 3 = 12 месяцев.
      1.85. а) Докажите, что числа 1997 и 1999 являются взаимно простыми.
      Доказательство. Предположим, что числа 1997 и 1999 не являются взаимно простыми, т. е. оба делятся на натуральное число d ≠ 1. Тогда и их разность 2 делится на d, т. е. d = 2. Но каждое из этих чисел не делится на 2, следовательно, предположение, что числа 1997 и 1999 не являются взаимно простыми, неверно. Значит, они взаимно простые, что и требовалось доказать.
      1.86. а) Докажите, что дробь 1997 1999 несократимая.
      Доказательство. Так как числа 1997 и 1999 взаимно простые (см. задание 1.85), то дробь несократимая.
       1.87. а) Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел делится на 2.
      Доказательство. Пусть n и n + 1 — два последовательных натуральных числа. При делении на 2 натуральное число п может иметь только два остатка: 0 и 1.
      Если n = 2k ( k∈  N), то n (n + 1) = 2 k (2k + 1).
      Если n = 2k + 1( k∈  N), то n(n + 1) = 2(2k + 1)(k + 1).
      Следовательно, произведение двух последовательных натуральных чисел делится на 2, так как содержит множитель 2 в каждом из двух возможных случаев.
      1.88. Найдите все целые числа, которые при делении и на 4, и на 3, и на 2 дают остаток 1.
      Решение. Все целые числа, которые при делении на 12 дают остаток 0, можно записать в виде 4 · 3 · k = 12k, где k∈  Z.
      При делении на 12 любого целого числа т может получиться один из 12 остатков: 0, 1, 2, ..., 11. Следовательно, множество всех целых чисел можно разбить на 12 непересекающихся классов Аr, где Аr — множество всех целых чисел, имеющих вид 12k + r, где r= 0, 1, 2, ..., 11. Нетрудно убедиться, что лишь для чисел из класса A1 выполняется условие: остаток от деления этих чисел и на 4, и на 3, и на 2 равен 1. Следовательно, все искомые числа можно записать в виде 12k + 1, где k∈  Z.
      1.89. Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2 дают остаток 1.
      Решение. Все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 0, при делении на 3 дают остаток 0, при делении на 2 дают остаток 0, можно записать в виде 4 · 3 · k = 12k, где k∈  Z.
      При делении на 12 любого целого числа m может получиться один из 12 остатков: 0, 1, 2, ..., 11. Следовательно, множество всех целых чисел можно разбить на 12 непересекающихся классов Аr, где Аr — множество всех целых чисел, имеющих вид 12k + r, где r = 0, 1, 2, ..., 11.
      Нетрудно убедиться, что лишь для чисел из класса А11 выполняется условие: остаток от деления этих чисел на 4 равен 3, при делении на 3 равен 2, при делении на 2 равен 1.
      Следовательно, все искомые числа можно записать в виде 12k + 11, где k∈  Z.
      Замечание к заданиям 1.88 и 1.89. Условия заданий проверяются лишь на числах r, так как искомые остатки получаются только при делении r на соответствующее число.
      1.90. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
      Доказательство. Пусть М = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3, где n — любое натуральное число. При делении на 3 числа n может получиться один из трех остатков: 0, 1, 2. Следовательно, множество всех натуральных чисел можно разбить на три непересекающихся класса чисел, имеющих вид 3m, где m∈  N, 3m + 1 или 3m + 2, где m = 0, 1, 2, ... .
      Докажем, что если число п относится к любому из этих трех классов, то число М делится на 9.
      1) Пусть п = 3m, где m∈  N. Тогда
М = (3m)3 + (3m + 1)3 + (3m + 2)3 = 27m3 + 27m3 + 27m2 + 9m  + 1 +
+ 27m3 + 54m2 + 36m + 8 = 9k, где k∈  N.
      2) Пусть n = 3m + 1, где m = 0, 1, 2, ... . Тогда
М = (3m + 1)3 + (3m + 2)3 + (3 (m + 1))3 = 9p, где p∈  N.
      3) Пусть n = 3m + 2, где m = 0, 1, 2, ... . Тогда
М = (3m + 2)3 + (3 (m + 1))3 + (3 (m + 1) + 1)3 = 9q, где q∈  N.
      Следовательно, в каждом случае натуральное число М делится на 9, что и требовалось доказать.
Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 5862 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru