Решения и комментарии
14.13. Всхожесть семян некоторого растения равна 90%. Найдите вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) 0; б) 1; в) 2; г) 4; д) 5.
Решение. В данном примере р = 0,9, q = 1 – p = 0,1, тогда, применяя формулу (1) (с. 355 учебника), имеем:
а) n=5, k=0 . Тогда P 5 ( 0 )= C 5 0 ⋅ ( 0,9 ) 0 ⋅ ( 0,1 ) 5 ≈0,00001 ;
б) n=5, k=1 . Тогда P 5 ( 1 )= C 5 1 ⋅ ( 0,9 ) 1 ⋅ ( 0,1 ) 4 ≈0,00045 ;
в) n=5, k=2 . Тогда P 5 ( 2 )= C 5 2 ⋅ ( 0,9 ) 2 ⋅ ( 0,1 ) 3 ≈0,00081 ;
г) n=5, k=4 . Тогда P 5 ( 4 )= C 5 4 ⋅ ( 0,9 ) 4 ⋅ ( 0,1 ) 1 ≈0,32805 ;
д) n=5, k=5 . Тогда P 5 ( 5 )= C 5 5 ⋅ ( 0,9 ) 5 ⋅ ( 0,1 ) 0 ≈0,59049 .
14.14. Монета подбрасывается 10 раз. Вычислите вероятность выпадания герба:
а) не более чем 2 раза;
б) не более чем 3 раза.
Решение. а) Вероятность того, что при рассматриваемом нами 10-кратном повторении опыта событие А (выпадание герба) произойдет 0, 1 или 2 раза, равна P 10 ( 0 )+ P 10 ( 1 )+ P 10 ( 2 ) . Числа P 10 ( 0 ) , P 10 ( 1 ) , P 10 ( 2 ) вычислим по формуле (1) (с. 355 учебника):
P 10 ( 0 )= C 10 0 ⋅ ( 0,5 ) 0 ⋅ ( 0,5 ) 10 = 1 1024 ; P 10 ( 1 )= C 10 1 ⋅ ( 0,5 ) 1 ⋅ ( 0,5 ) 9 = 10 1024 ; P 10 ( 2 )= C 10 2 ⋅ ( 0,5 ) 2 ⋅ ( 0,5 ) 8 = 45 1024 .
Итак, P 10 ( 0 )+ P 10 ( 1 )+ P 10 ( 2 )= 56 1024 ≈0,0547 .
б) Вероятность того, что при рассматриваемом нами 10-кратном повторении опыта событие А (выпадание герба) произойдет 0, 1, 2 или 3 раза, равна P 10 ( 0 )+ P 10 ( 1 )+ P 10 ( 2 )+ P 10 ( 3 ) . Числа P 10 ( 0 ) , P 10 ( 1 ) и P 10 ( 2 ) мы нашли при выполнении задания «а», число P 10 ( 3 ) вычислим по формуле (1) (с. 355 учебника):
P 10 ( 3 )= C 10 3 ⋅ ( 0,5 ) 3 ⋅ ( 0,5 ) 7 = 120 1024 .
Итак, P 10 ( 0 )+ P 10 ( 1 )+ P 10 ( 2 )+ P 10 ( 3 )= 176 1024 ≈0,1719 .
14.16. Имеется тест из четырех заданий. К каждому из заданий даны 5 ответов для выбора. Контролирующее устройство проверяет работу ученика по номерам выбранных ответов и выставляет оценку:
5 — за выбор верных ответов во всех четырех заданиях;
4 — за выбор верных ответов в любых трех заданиях;
3 — за выбор верных ответов в любых двух заданиях;
2 — за выбор верного ответа лишь в одном задании;
1 — за выбор неверных ответов во всех четырех заданиях.
Ученик, не выполняя заданий, решил случайным образом указать номера верных ответов в каждом из них. Какова вероятность таким способом получить оценку:
а) 5; б) 4; в) 3; г) 2; д) 1?
Решение. Пусть события А, В, С и D заключаются в угадывании ответа в заданиях 1, 2, 3 и 4 соответственно. При случайном выборе ответа P( A )=P( B )=P( C )=P( D )=0,2 , тогда P( A ¯ )=P( B ¯ )=P( C ¯ )=P( D ¯ )=0,8 .
а) P( ABCD )=P( A )⋅P( B )⋅P( C )⋅P( D )= ( 0,2 ) 4 =0,0016 .
б) События A ¯ BCD, A B ¯ CD, AB C ¯ D, ABC D ¯ независимы, вероятность каждого из них равна 0,8⋅ ( 0,2 ) 3 , а вероятность суммы этих четырех событий равна 4⋅0,8⋅ ( 0,2 ) 3 =0,0256 .
в) События A ¯ B ¯ CD, A ¯ B C ¯ D, A ¯ BC D ¯ , A B ¯ C ¯ D, A B ¯ C D ¯ , AB C ¯ D ¯ независимы, вероятность каждого из них равна ( 0,2 ) 2 ⋅ ( 0,8 ) 2 , а вероятность суммы этих шести событий равна 6⋅ ( 0,2 ) 2 ⋅ ( 0,8 ) 2 =0,1536 .
г) События A ¯ B ¯ C ¯ D, A ¯ B ¯ C D ¯ , A ¯ B C ¯ D ¯ , A B ¯ C ¯ D ¯ независимы, вероятность каждого из них равна 0,2 · (0,8)3, а вероятность суммы этих четырех событий равна 4 · 0,2 · (0,8)3 = 0,4096.
д) P( A ¯ B ¯ C ¯ D ¯ )= ( 0,8 ) 4 =0,4096 .
Промежуточный контроль.
Итоговый тест для самоконтроля (с. 149—153) из дидактических материалов. |
