Суббота, 16.01.2021, 08:55
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 5
Гостей: 5
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Формулы для тангенсов
26.10.2014, 11:39
      В этом пункте доказаны формулы:

tg( α+β )= tg α+tg β 1−tg α tg β ( α≠ π 2 +πk,  k∈Z,  β≠ π 2 +πn,  n∈Z,  α+β≠ π 2 +πm,  m∈Z ), tg( α−β )= tg α−tg β 1+tg α tg β ( α≠ π 2 +πk,  k∈Z,  β≠ π 2 +πn,  n∈Z,  α−β≠ π 2 +πm,  m∈Z ), tg( π 2 −α )=ctg  α  ( α≠πk,  k∈Z ), tg 2α= 2tg α 1− tg 2 α ( α≠ π 4 + πk 2 k,  k∈Z,  α≠ π 2 +πn,  n∈Z ), tg α 2 = sin α 1+cos α ( α≠π+2πn,  n∈Z ), tg α 2 = 1−cos α sin α ( α≠π+πn,  n∈Z ),

а также формулы

sin α= 2tg α 2 1+ tg 2 α 2  ( α≠π+2πn,  n∈Z ), cos α= 1− tg 2 α 2 1+ tg 2 α 2  ( α≠π+2πn,  n∈Z ).

      Заметим, что каждая из этих формул справедлива не для всех значений α и β, а лишь для тех, которые записаны в скобках после каждой формулы.
      Здесь же приведены примеры применения этих формул.

      Решения и комментарии

      9.78. а) Докажите справедливость равенства

tg π 16 +tg 3π 16 +tg π 16 tg 3π 16 =1 .

      Доказательство. Пользуясь формулой
tg α+tg β=tg( α+β )( 1−tg α tg​ β ) ,     (1)

которая следует из формулы для tg( α+β ) , преобразуем левую часть доказываемого равенства:

tg π 16 +tg 3π 16 +tg π 16 tg 3π 16 = =tg( π 16 + 3π 16 )( 1−tg π 16 tg 3π 16 )+tg π 16 tg 3π 16 = =tg π 4 ( 1−tg π 16 tg 3π 16 )+tg π 16 tg 3π 16 = =1⋅( 1−tg π 16 tg 3π 16 )+tg π 16 tg 3π 16 =1,

что и требовалось доказать.
      Докажите, что если α,  β,  γ  — углы треугольника, то выполняется равенство (9.84—9.85):
      9.84. а)  tg α+tg β+tg γ=tg α tg β tg γ .
      Доказательство. Преобразуем левую часть равенства, используя формулу (1) и учитывая, что γ=180°−( α+β ) :

tg α+tg β+tg γ=tg α+tg β+tg( 180°−( α+β ) )= =tg α+tg β−tg( α+β )= =tg( α+β )( 1−tg α tg β )−tg( α+β )= =tg( α+β )( 1−tg α tg β−1 )= =tg( 180°−γ )( −tg α tg β )= =−tg γ( −tg α tg β )=tg α tg β tg γ,

что и требовалось доказать.
      Здесь α,  β  и  γ  — углы треугольника, и подразумевается, что имеют смысл tg α,  tg β  и  tg γ . Следовательно, рассматриваются лишь треугольники, в которых нет прямых углов, и для углов таких треугольников проведенные выкладки справедливы.
      9.85. а)  ctg  α ctg  β+ctg  α ctg  γ+ctg  β ctg  γ=1 .
      Доказательство. Здесь α,  β  и  γ  — углы треугольника, и подразумевается, что имеют смысл ctg  α,  ctg  β  и  ctg  γ . Рассмотрим два случая: 1) среди этих углов нет прямого угла; 2) один из этих углов прямой.
      В первом случае имеют смысл tg α,  tg β  и  tg γ , и так как α,  β  и  γ  — углы треугольника, то tg α≠0,  tg β≠0  и  tg γ≠0 . Поэтому для таких углов, учитывая, что γ=180°−( α+β ) , справедливы следующие равенства:

ctg  α ctg  β+ctg  α ctg  γ+ctg  β ctg  γ= =ctg  α ctg  β+( ctg  α +ctg  β )ctg  γ= =ctg  α ctg  β+( ctg  α +ctg  β )ctg ( 180°−( α+β ) )= =ctg  α ctg  β−( ctg  α +ctg  β )ctg ( α+β )= = 1 tg α ⋅ 1 tg β −( 1 tg α + 1 tg β )⋅ 1 tg( α+β ) = = 1 tg α tg β − tg α+tg β tg α tg β ⋅ 1−tg α tg β tg α+tg β = = 1 tg α tg β − 1−tg α tg β tg α tg β = 1−1+tg α tg β tg α tg β =1,

что и требовалось доказать.
      Следовательно, в первом случае равенство доказано.
      Во втором случае есть один прямой угол, например, угол α  — прямой. Тогда углы β  и γ= π 2 −β  — острые. Так как ctg  α=0 , то доказываемое равенство перепишется в виде ctg  β ctg ( π 2 −β )=1 .
      Так как ctg ( π 2 −β )=tg β  и ctg  β tg  β=1 , то и во втором случае требуемое равенство доказано. Следовательно, равенство ctg  α ctg  β+ctg  α ctg  γ+ctg  β ctg  γ=1  справедливо для любого треугольника.
      9.86. Для углов α , таких, что α≠ π 6 + πn 3 ,  n∈  Z, докажите справедливость равенства
tg 3α= tg α ( 3− tg 2 α ) 1−3 tg 2 α .     (2)

      Доказательство. Для любых α  справедливы равенства

sin 3α=sin 2α cos α+sin α cos 2α= =2sin α cos 2   α+sin α( cos 2   α− sin 2   α )= =3sin α cos 2   α− sin 3   α, cos 3α=cos 2α cos α−sin α sin 2α= =( cos 2   α− sin 2   α )cos α−2 sin 2   α cos α= = cos 3   α−3 sin 2   α cos α,

т. е. справедливы равенства
sin 3α=3sin α cos 2   α− sin 3   α, cos 3α= cos 3   α−3 sin 2   α cos α.     (3)

      Так как для α≠ π 6 + πn 3 ,  n∈  Z, имеет смысл tg 3α , что, в частности, означает, что cos 3α≠0  для этих углов, то, используя равенства (3), получаем, что справедливы равенства
tg 3α= sin 3α cos 3α = 3sin α cos  2 α− sin  3 α cos  3 α−3 sin  2 α cos α .     (4)

      Так как α≠0  для α≠ π 6 + πn 3 ,  n∈  Z, то, разделив числитель и знаменатель дроби в правой части равенства (4) на cos3 α, получим, что справедливо равенство

tg 3α= 3 tg α− tg 3 α 1−3 tg 2 α = tg α( 3− tg 2 α ) 1−3 tg 2 α .

      Тем самым требуемое равенство (2) доказано для всех α≠ π 6 + πn 3 ,  n∈  Z, что и требовалось доказать.

      Промежуточный контроль. С—37.
Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 900 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru