В данном пункте учебника дано определение функции y=ctg x , сформулированы и обоснованы ее свойства, строится ее график. При построении графика используется график функции y=tg x. В конце пункта разобраны две задачи, в которых доказывается, что у функций y=tg x и y=ctg x не существует положительного периода, меньшего, чем T=π . Тем самым доказано, что T=π является главным периодом функций y=tg x и y=ctg x .
Решения и комментарии
10.32. Сравните: а) ctg π 7 и ctg 6π 7 ; г) ctg 11π 10 и ctg 13π 10 . Решение. а) Числа π 7 и 6π 7 принадлежат промежутку ( 0; π ) , на котором функция y=ctg x убывает, π 7 < 6π 7 , следовательно, ctg π 7 >ctg 6π 7 . г) Числа 11π 10 и 13π 10 принадлежат промежутку ( π; 2π ) , на котором функция y=ctg x убывает, 11π 10 < 13π 10 , следовательно, ctg 11π 10 >ctg 13π 10 . 10.33. Постройте график функции: a) y=| ctg x | ; б) y=ctg | x | ; в) y=ctg x sin x ; г) y=ctg ( π−x ) ; д) y=ctg x+1 ; e) y=| ctg x+1 | . Решение. а) Чтобы построить график функции y=| ctg x | , нужно сохранить точки графика функции y=ctg x , расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки графика функции y=ctg x , расположенные ниже оси Ох (рис. 55).
б) Чтобы построить график функции y=ctg | x | , нужно сохранить точки графика функции y=ctg x , расположенные правее оси Оу, и, симметрично отразив эту часть графика функции y=ctg x относительно оси Оу, получить вторую часть искомого графика функции (рис. 56).
в) Так как функция y=ctg x определена для всех х, кроме x=πn, n∈ Z, и для таких x верно равенство ctg x sin x=cos x , то график функции y=ctg x sin x есть график функции y=cos x без точек, соответствующих числам x=πn, n∈ Z (рис. 57).
г) Так как ctg ( π−x )=ctg ( −x )=−ctg x , то график функции y=ctg ( π−x ) получится из графика функции y=ctg x с помощью симметрии относительно оси Ох. д) График функции y=ctg x+1 получится из графика функции y=ctg x с помощью переноса на 1 единицу вверх (рис. 58).
е) Чтобы построить график функции y=| ctg x+1 | , нужно перенести график функции y=ctg x на 1 единицу вверх, затем сохранить точки полученного графика, расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки графика, расположенные ниже оси Ох (рис. 59).
Промежуточный контроль. С—38. Контрольная работа № 6.
