В данном пункте рассматриваются функции вида у = хn для n∈ N, n≥2 , затем формулируются и обосновываются свойства функции у = хn сначала для неотрицательных, затем для любых значений аргумента. Лишь после этого с опорой на изученные свойства строятся графики функций изучаемого вида. Главное назначение изучаемого материала заключается в подготовке к введению понятия корня степени п, а для этого нужно обратить особое внимание на непрерывность графика функции, которая будет использоваться при доказательстве существования корня степени п, указать на различия графиков для n = 2k и n = 2k + 1, k∈ N.
Решения и комментарии
3.17. а) Выясните, какой из графиков двух функций: у = х или у = х2 — расположен выше другого на интервале (0; 1).
Решение. Для любых x∈( 0;1 ) из справедливости неравенства 1 > х следует справедливость неравенства х > х2, поэтому для любых x∈( 0;1 ) график функции у = х расположен выше графика функции у = х2.
3.19. а) Выясните, какой из графиков трех функций: у = х, у = x3, у = x5 — расположен выше, а какой ниже других на интервале (−1; 0).
Решение. Умножим двойное неравенство −1 < х < 0 сначала на положительное число −х, а потом на положительное число х2, получим два верных двойных неравенства x < −х2 < 0 и −x2 < x3 < 0, из справедливости которых следует, что если −1 < х < 0, то х < x3. Аналогично показывается, что x3 < x5. Это означает, что на промежутке (−1; 0) выше других расположен график функции у = x5, a ниже других — график функции у = х.
3.3. Понятие корня степени n
Обратим внимание, что в пункте 3.3 дано лишь словесное описание тех чисел, которые называют корнями степени п из неотрицательного числа. Здесь пока нет обозначений для этих корней, пояснения даются на примерах.
3.4. Корни четной и нечетной степеней
В пункте доказывается, что существует, и притом единственный, корень нечетной степени из любого действительного числа; что существуют два и только два корня четной степени из любого положительного числа; что существует, и притом единственный, корень четной степени из нуля, равный нулю; что не существует корня четной степени из отрицательного числа. Для доказательства существования корней используется графический метод и непрерывность функций у = хп. Здесь вводятся обозначения a 2n , n∈ N, для a≥0 и a 2n+1 , n∈ N, для a∈ R.
| 