В данном пункте дано определение функции y=sin x , сформулированы и обоснованы ее свойства, строится ее график. При построении графика можно рекомендовать учащимся использовать один и тот же единичный отрезок, равный 1 см, по осям Ох и Оу. Тогда точка π на оси Ох будет правее точки 3. При правильном построении графика прямая y=x должна оказаться касательной к графику функции y=sin x в точке О (0; 0) (рис. 40). Этот факт можно сообщить учащимся для самоконтроля. Он будет доказан позже, при вычислении производной функции y=sin x в точке x=0 (в 11 классе). Главным периодом функции y=sin x является число T=2π , что будет доказано в п. 10.2.
Решения и комментарии
10.7. Сравните: а) sin π 7 и sin 3π 7 ; г) sin 3π 5 и sin 4π 5 . Решение. а) Числа π 7 и 3π 7 принадлежат промежутку [ − π 2 ; π 2 ] , на котором функция y=sin x возрастает, π 7 < 3π 7 , следовательно, sin π 7 <sin 3π 7 . г) Числа 3π 5 и 4π 5 принадлежат промежутку [ π 2 ; 3π 2 ] , на котором функция y=sin x убывает, 3π 5 < 4π 5 , следовательно, sin 3π 5 >sin 4π 5 . 10.8. Постройте график функции: а) y=| sin x | ; б) y=| sin ( π−x ) | ; в) y=2sin x 2 cos x 2 ; г) y=sin | x | ; д) y=| sin x−0,5 | ; е) y=sin x−1 . Решение. а) Чтобы построить график функции y=| sin x | , нужно сохранить точки графика функции y=sin x , расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки графика функции y=sin x , расположенные ниже оси Ох (рис. 41).
б), в) Учащиеся должны обнаружить, что данную функцию можно записать в виде y=sin x , поэтому ее график — синусоида (см. рис. 40). г) Чтобы построить график функции y=sin | x | , нужно сохранить точки графика функции y=sin x , расположенные правее и на оси Оу, и, симметрично отразив эту часть графика функции y=sin x относительно оси Оу, получить вторую часть искомого графика функции (рис. 42).
д) Чтобы построить график функции y=| sin x−0,5 | , нужно перенести график функции y=sin x на 0,5 единицы вниз, затем сохранить точки полученного графика, расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки, расположенные ниже оси Ох (рис. 43).
е) График функции y=sin x−1 получен переносом графика функции y=sin x на 1 единицу вниз (рис. 44).
10.9. Сколько корней имеет уравнение: а) sin x= x 2 ; в) sin x= x 10 ; г) sin x= x 100 ? Решение. а) Функция f( x )=sin x принимает значения лишь из промежутка [ −1; 1 ] , а функция g( x )= x 2 принимает значения из того же промежутка лишь при x∈[ −1; 1 ] , поэтому уравнение может иметь корни лишь на отрезке [ −1; 1 ] . Построим графики функций y=sin x и y= x 2 (рис. 45).
При x∈[ −1; 0 ) имеем f( x )<0 , а g( x )>0 , поэтому на этом промежутке графики функций не имеют общих точек, а значит, уравнение sin x= x 2 не имеет корней. Так как f( 0 )=g( 0 ) , то x 1 =0 — корень уравнения sin x= x 2 . На промежутке ( 0; 1 ] графики функций имеют единственную общую точку, значит, уравнение sin x= x 2 имеет еще один корень. Итак, уравнение sin x= x 2 имеет два корня. Замечание. При решении этой задачи мы вынуждены опираться на графики функций. Вывод о существовании точки пересечения графиков на промежутке ( 0; 1 ] следует из того, что разность функций f( x )−g( x ) в точке π 6 положительна, а в точке 1 отрицательна. Значит, есть хотя бы одна точка из интервала ( π 6 ; 1 ) , где эта разность равна нулю. Вывод о единственности такой точки следует из возрастания обеих функций на промежутке [ π 6 ; 1 ] с сохранением выпуклости вверх одного графика и выпуклости вниз другого. Этот материал будет изучаться в 11 классе. в) Функция f( x )=sin x принимает все значения из промежутка [ −1; 1 ] , а функция g( x )= x 10 принимает все значения из того же промежутка при x∈[ −10; 10 ] . Поэтому уравнение имеет корни лишь на отрезке [ −10; 10 ] . Так как обе функции нечетные, то сначала рассмотрим их на промежутке [ 0; 10 ] (рис. 46). На промежутках [ π; 2π ] и [ 3π; 10 ] функция f( x ) принимает неположительные значения, а функция g( x ) — положительные. Поэтому на этих промежутках графики функций не пересекаются. На каждом из промежутков [ 0; π ] и [ 2π; 3π ] графики функций пересекаются в двух точках, следовательно, на промежутке [ 0; 10 ] графики функций пересекаются в четырех точках, поэтому на промежутке [ 0; 10 ] данное уравнение имеет 4 корня. Столько же корней оно имеет на промежутке [ −10; 0 ] . Но так как корень x=0 входит в оба эти промежутка (он учтен дважды), то исходное уравнение имеет всего 7 корней. Отметим, что и в этом решении мы вынуждены опираться на графики.
г) Функция f( x )=sin x принимает все значения из промежутка [ −1; 1 ] , а функция g( x )= x 100 принимает все значения из того же промежутка при x∈[ −100; 100 ] . Поэтому уравнение имеет корни лишь на отрезке [ −100; 100 ] . Рассмотрим эти функции на промежутке [ −100; 100 ] . В отрезке [ 0; 100 ] укладывается 15 полных периодов 2π и один неполный, изображенный на рисунке 47. На каждом из этих 16 промежутков графики функций пересекаются в двух точках. Всего на промежутке [ 0; 100 ] имеется 32 точки пересечения, считая и точку x=0 .
В силу симметричности графиков функций относительно начала координат на промежутке [ −100; 0 ] также имеется 32 точки пересечения, считая и точку x=0 , поэтому всего точек пересечения 32+32−1=63 (точка x=0 была учтена дважды). Следовательно, уравнение sin x= x 100 имеет 63 корня. И в этом решении мы вынуждены опираться на графики. Дополнительное задание. Постройте график функции y=| sin x |+sin x . Решение. При тех значениях x, для которых sin x≥0 , функция задается формулой y=2sin x ; при тех значениях x, для которых sin x<0 , функция задается формулой y=0 . На рисунке 48 график функции y=sin x изображен серой линией, а график функции y=| sin x |+sin x — черной линией.
