Суббота, 16.01.2021, 12:15
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 9
Гостей: 9
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Функция y=sin x
26.10.2014, 11:06
      В данном пункте дано определение функции y=sin x , сформулированы и обоснованы ее свойства, строится ее график. При построении графика можно рекомендовать учащимся использовать один и тот же единичный отрезок, равный 1 см, по осям Ох и Оу. Тогда точка π  на оси Ох будет правее точки 3. При правильном построении графика прямая y=x  должна оказаться касательной к графику функции y=sin x  в точке О (0; 0) (рис. 40). Этот факт можно сообщить учащимся для самоконтроля. Он будет доказан позже, при вычислении производной функции y=sin x  в точке x=0  (в 11 классе). Главным периодом функции y=sin x  является число T=2π , что будет доказано в п. 10.2.


      Решения и комментарии

      10.7. Сравните: а)   sin  π 7  и sin  3π 7 ;    г)   sin  3π 5  и sin  4π 5 .
      Решение. а) Числа π 7  и 3π 7  принадлежат промежутку [ − π 2 ;  π 2 ] , на котором функция y=sin x  возрастает, π 7 < 3π 7 , следовательно, sin  π 7 <sin  3π 7 .
      г) Числа 3π 5  и 4π 5  принадлежат промежутку [ π 2 ;  3π 2 ] , на котором функция y=sin x  убывает, 3π 5 < 4π 5 , следовательно, sin  3π 5 >sin  4π 5 .
      10.8. Постройте график функции:
      а)   y=| sin x | ;    б)   y=| sin ( π−x ) | ;    в)   y=2sin  x 2 cos  x 2 ;
      г)   y=sin | x | ;    д)   y=| sin x−0,5 | ;    е)   y=sin x−1 .
      Решение. а) Чтобы построить график функции y=| sin x | , нужно сохранить точки графика функции y=sin x , расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки графика функции y=sin x , расположенные ниже оси Ох (рис. 41).


      б), в) Учащиеся должны обнаружить, что данную функцию можно записать в виде y=sin x , поэтому ее график — синусоида (см. рис. 40).
      г) Чтобы построить график функции y=sin | x | , нужно сохранить точки графика функции y=sin x , расположенные правее и на оси Оу, и, симметрично отразив эту часть графика функции y=sin x  относительно оси Оу, получить вторую часть искомого графика функции (рис. 42).


      д) Чтобы построить график функции y=| sin x−0,5 | , нужно перенести график функции y=sin x  на 0,5 единицы вниз, затем сохранить точки полученного графика, расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки, расположенные ниже оси Ох (рис. 43).


      е) График функции y=sin x−1  получен переносом графика функции y=sin x  на 1 единицу вниз (рис. 44).


      10.9. Сколько корней имеет уравнение:
      а)   sin x= x 2 ;    в)   sin x= x 10 ;    г)   sin x= x 100 ?
      Решение. а) Функция f( x )=sin x  принимает значения лишь из промежутка [ −1; 1 ] , а функция g( x )= x 2  принимает значения из того же промежутка лишь при x∈[ −1; 1 ] , поэтому уравнение может иметь корни лишь на отрезке [ −1; 1 ] . Построим графики функций y=sin x  и y= x 2  (рис. 45).


      При x∈[ −1; 0 )  имеем f( x )<0 , а g( x )>0 , поэтому на этом промежутке графики функций не имеют общих точек, а значит, уравнение sin x= x 2  не имеет корней.
      Так как f( 0 )=g( 0 ) , то x 1 =0  — корень уравнения sin x= x 2 .
      На промежутке ( 0; 1 ]  графики функций имеют единственную общую точку, значит, уравнение sin x= x 2  имеет еще один корень.
      Итак, уравнение sin x= x 2  имеет два корня.
      Замечание. При решении этой задачи мы вынуждены опираться на графики функций. Вывод о существовании точки пересечения графиков на промежутке ( 0; 1 ]  следует из того, что разность функций f( x )−g( x )  в точке π 6 положительна, а в точке 1 отрицательна. Значит, есть хотя бы одна точка из интервала ( π 6 ; 1 ) , где эта разность равна нулю. Вывод о единственности такой точки следует из возрастания обеих функций на промежутке [ π 6 ; 1 ]  с сохранением выпуклости вверх одного графика и выпуклости вниз другого. Этот материал будет изучаться в 11 классе.
      в) Функция f( x )=sin x  принимает все значения из промежутка [ −1; 1 ] , а функция g( x )= x 10  принимает все значения из того же промежутка при x∈[ −10; 10 ] . Поэтому уравнение имеет корни лишь на отрезке [ −10; 10 ] .
      Так как обе функции нечетные, то сначала рассмотрим их на промежутке [ 0; 10 ]  (рис. 46). На промежутках [ π; 2π ]  и [ 3π; 10 ]  функция f( x )  принимает неположительные значения, а функция g( x )  — положительные. Поэтому на этих промежутках графики функций не пересекаются. На каждом из промежутков [ 0; π ]  и [ 2π; 3π ]  графики функций пересекаются в двух точках, следовательно, на промежутке [ 0; 10 ]  графики функций пересекаются в четырех точках, поэтому на промежутке [ 0; 10 ]  данное уравнение имеет 4 корня. Столько же корней оно имеет на промежутке [ −10; 0 ] . Но так как корень x=0  входит в оба эти промежутка (он учтен дважды), то исходное уравнение имеет всего 7 корней. Отметим, что и в этом решении мы вынуждены опираться на графики.


      г) Функция f( x )=sin x  принимает все значения из промежутка [ −1; 1 ] , а функция g( x )= x 100  принимает все значения из того же промежутка при x∈[ −100; 100 ] . Поэтому уравнение имеет корни лишь на отрезке [ −100; 100 ] . Рассмотрим эти функции на промежутке [ −100; 100 ] .
      В отрезке [ 0; 100 ]  укладывается 15 полных периодов 2π   и один неполный, изображенный на рисунке 47. На каждом из этих 16 промежутков графики функций пересекаются в двух точках. Всего на промежутке [ 0; 100 ]  имеется 32 точки пересечения, считая и точку x=0 .


      В силу симметричности графиков функций относительно начала координат на промежутке [ −100; 0 ]  также имеется 32 точки пересечения, считая и точку x=0 , поэтому всего точек пересечения 32+32−1=63  (точка x=0  была учтена дважды). Следовательно, уравнение sin x= x 100  имеет 63 корня. И в этом решении мы вынуждены опираться на графики.
      Дополнительное задание. Постройте график функции y=| sin x |+sin x .
      Решение. При тех значениях x, для которых sin x≥0 , функция задается формулой y=2sin x ; при тех значениях x, для которых sin x<0 , функция задается формулой y=0 . На рисунке 48 график функции y=sin x  изображен серой линией, а график функции y=| sin x |+sin x   — черной линией.


Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 3306 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru